2023-2024学年福建省泉州市安溪县高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前n项和为，若，，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】因为，所以,所以.故选：A.2.已知随机变量X服从正态分布，则（）（参考数据：，）A.0.3413 B.0.4772 C.0.6826 D.0.9544【答案】B【解析】随机变量X服从正态分布,,,根据正态分布对称性可得.故选：B.3.用4种不同的颜色对右侧图形中的4个区域进行着色，相邻两个区域颜色不同，则不同的着色方法种数等于（）A.16 B.24 C.48 D.256【答案】C【解析】利用分步计数原理，先涂两两挨着的3块，再涂最后一块，有种不同的方法.故选：C4.已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（）XY合计100ad200be合计300cnA. B. C. D.【答案】C【解析】同一个样本中，越小，说明两个变量的关系越弱，越大，说明两个变量的关系越强，对于A，当时，，对于B，当时，可得，则，对于C，当时，，对于D，当时，，即，此时，由以上分析可知，选项C能说明X与Y有关联.故选：C5.设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由导函数的图象可知当或时，当或时，所以在，上单调递减，在，上单调递增，且的图象关于原点对称，即为奇函数，设为偶函数，即，所以，所以为奇函数，即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数，A、B、D三个图象均关于轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意；C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C6.某公司为了解年研发资金x（单位：亿元）对年产值y（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，且经数据处理得到，，，则（）A. B.49.92 C.62.08 D.120.98【答案】A【解析】设，则，，则，，则，所以.故选：A7.如图为某公交线路图一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（）A.120 B.480 C.540 D.660【答案】D【解析】当实验小学站2人，种．实验小学站3人，种．则下车的不同方案种数为．故选：D．8.如图,已知正三角形的边长为2，且对任意，，，分别为，，的中点，记的周长为，则（）A. B. C.1023 D.2046【答案】D【解析】正三角形的边长为2，周长；正三角形的边长为4，周长；正三角形的边长为8，周长;……..正三角形的边长为，周长;.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某同学根据变量x与y的六组数据（，2，…，6）绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是（）A.残差平方和变小 B.相关系数r越趋于1C.决定系数变大 D.y与x线性相关程度变强【答案】ACD【解析】从图中可以看出B点较其他点，偏离直线远，所以去掉B点后，回归效果更好，A．残差平方和变小，拟合效果越好，故正确，符合题意；B．相关系数|r|越趋于1，拟合的回归方程越优，所以去掉B点后，相关系数r的绝对值越趋于1，故B错误，不符合题意；C．决定系数R2越接近于1，拟合的回归方程越优，即去掉B点后，变大，越趋于1，故正确，符合题意；D．解释变量x与预报变量y相关性增强，故正确，符合题意．故选：ACD．10.设A，B为随机事件，，则下列能推出的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】，利用韦恩图来形象表示，A．从图象上看，满足的样本点的部分为，满足的样本点的部分为，，相等，，，正确，符合题意；B．从图象上看，满足的样本点的部分，满足的样本点的部分为，，相等，，，正确，符合题意；C.从图象上看，满足的样本点的部分为，满足的样本点的部分为，，相等，，，正确，符合题意；D．从图象上看，满足的样本点的部分为，满足的样本点的部分为，，从图形上看表示为相同的部分，不能直接推出，错确，不符合题意；故选：ABC．11.已知函数，.对于不相等的实数，，设，，则下列说法正确的是（）A.对于任意不相等的实数，，都有B.对于任意的a及任意不相等的实数，，都有C.对于任意的a，存在不相等的实数，，使得D.对于任意的a，存在不相等的实数，，使得【答案】AC【解析】对于A，由对数函数的单调性可得在R上递增，即有，则A正确；对于B，由二次函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，则不恒成立，则B错误；对于C，由，可得，即，考查函数，，对于函数，时，，，故先单调递减后单调递增，所以C正确；对于D，由，可得，即考查函数，，当时，，此时函数单调递增，不符合要求，所以D不正确.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中含的系数等于2，则_____________.【答案】【解析】因为的展开式中含的系数等于2，即，解得.13.已知数列满足，，则_____________.【答案】【解析】因为数列满足，，所以，，，．故答案为：14.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件下，它是正常邮件的概率为；邮件在被标记为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率等于_____________.【答案】【解析】设事件表示“正常邮件”，事件表示“标记为正常邮件”，则，，，，，故，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求的极值.解：（1）由，得切点为，，从而切线的斜率，故所求的切线方程为，即．（2）的定义域为，且，令，得或，当x变化时，，的变化情况如下表x0＋0－0＋单调递增单调递减0单调递增作出的图象，如图由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0．16.某学校共1000名学生，其中男生500人，女生500人，在一次调查“体育迷”的活动中，采用分层随机抽样的方法从中抽取100人，统计得到如下等高堆积条形图.（1）求抽取的男生人数和女生人数；（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表：体育迷非体育迷合计男生女生

合计

（3）据小概率值的独立性检验，能否认为性别是否与体育迷有关联？附：，．0.10.050.010.0050.001k2.7063.84166357.78910.828解：（1）根据分层抽样，得抽取的男生人数为，抽取的女生人数为；（2）男生中“体育迷”的人数为，“非体育迷”的人数为20，女生中“体育迷”的人数为，“非体育迷”的人数为30，故2×2列联表如下：体育迷非体育迷合计男生302050女生203050合计5050100（3）零假设为：性别与体育迷无关联．根据残联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与体育迷有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．17.已知数列满足，.（1）证明：数列为等比数列；（2）在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为d的等差数列,令，求数列的前n项和.解：（1）由，得，整理得，又，所以，故，．所以数列是以为首项，为公比的等比数列．故，从而．（2）依题意，得所以从而.18.某城市拟建立一个艺术公园，为此对资格初审入围的两家设计公司A，B进行招标问题测试，并聘请专家制定方案如下：先从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，A公司能正确回答其中4道题目，而B公司能正确回答每道题目的概率均为.假设A公司答对题数为X，B公司答对题数为Y，A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，互不影响的.（1）求的概率；（2）试从期望和方差的角度分析哪家公司通过测试的可能性更大？（3）设，求Z的分布列和数学期望.解：（1）因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，所以，（2）当时，，所以，.又，2，3，，，，所以X的分布列为：X123P故，．因为，，所以A公司竞标成功的可能性更大．（3）由，得，1，2，3，因为A，B两家公司对每道题的回答都是相互独立，所以.所以Z的分布列为：Z0123P故.19.曼哈顿距离，也被称为出租车距离，是指在平面上，一个点沿着网格线（即沿着水平或垂直方向）移动到另一个点的最短距离.它是一种简单而有效的度量方式，广泛应用于计算机科学中的图论、机器人路径规划、以及机器学习中作为距离度量等领域.已知在平面直角坐标系xOy中，A，B的曼哈顿距离记作，点M在函数的图象上.（1）若，，且，求n；（2）已知，求的取值范围；（3）已知点，为中点，记的最大值为，求的最小值.解：（1）由题意，得，从而可得，即，解得或；（2）设，则，①当时，，令，则，所以在单调递增，从而；②当时，则，令，则，所以在单调递减，从而，综上，可得的取值范围为．（3）设，，K为MN的中点，则，，所以，，令（），则，所以在单调递增，故；令（），则，当时，，所以在单调递减；当时，，所以在单调递增，故；从而，当且仅当时，等号成立，故的最小值为．福建省泉州市安溪县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前n项和为，若，，则（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】因为，所以,所以.故选：A.2.已知随机变量X服从正态分布，则（）（参考数据：，）A.0.3413 B.0.4772 C.0.6826 D.0.9544【答案】B【解析】随机变量X服从正态分布,,,根据正态分布对称性可得.故选：B.3.用4种不同的颜色对右侧图形中的4个区域进行着色，相邻两个区域颜色不同，则不同的着色方法种数等于（）A.16 B.24 C.48 D.256【答案】C【解析】利用分步计数原理，先涂两两挨着的3块，再涂最后一块，有种不同的方法.故选：C4.已知两个分类变量X，Y的数据列联表如下，则下列能说明X与Y有关联的是（）XY合计100ad200be合计300cnA. B. C. D.【答案】C【解析】同一个样本中，越小，说明两个变量的关系越弱，越大，说明两个变量的关系越强，对于A，当时，，对于B，当时，可得，则，对于C，当时，，对于D，当时，，即，此时，由以上分析可知，选项C能说明X与Y有关联.故选：C5.设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象不可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由导函数的图象可知当或时，当或时，所以在，上单调递减，在，上单调递增，且的图象关于原点对称，即为奇函数，设为偶函数，即，所以，所以为奇函数，即偶函数的导函数（导函数存在）为奇函数，A、B、D三个图象均关于轴对称，即为偶函数，满足导函数为奇函数，符合题意；C选项的图象对应的函数为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C6.某公司为了解年研发资金x（单位：亿元）对年产值y（单位：亿元）的影响，对公司近8年的年研发资金和年产值（，）的数据对比分析中，利用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为，且经数据处理得到，，，则（）A. B.49.92 C.62.08 D.120.98【答案】A【解析】设，则，，则，，则，所以.故选：A7.如图为某公交线路图一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（）A.120 B.480 C.540 D.660【答案】D【解析】当实验小学站2人，种．实验小学站3人，种．则下车的不同方案种数为．故选：D．8.如图,已知正三角形的边长为2，且对任意，，，分别为，，的中点，记的周长为，则（）A. B. C.1023 D.2046【答案】D【解析】正三角形的边长为2，周长；正三角形的边长为4，周长；正三角形的边长为8，周长;……..正三角形的边长为，周长;.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某同学根据变量x与y的六组数据（，2，…，6）绘制了如下散点图，并选择一元线性回归模型进行拟合，若去掉B点，则下列说法正确的是（）A.残差平方和变小 B.相关系数r越趋于1C.决定系数变大 D.y与x线性相关程度变强【答案】ACD【解析】从图中可以看出B点较其他点，偏离直线远，所以去掉B点后，回归效果更好，A．残差平方和变小，拟合效果越好，故正确，符合题意；B．相关系数|r|越趋于1，拟合的回归方程越优，所以去掉B点后，相关系数r的绝对值越趋于1，故B错误，不符合题意；C．决定系数R2越接近于1，拟合的回归方程越优，即去掉B点后，变大，越趋于1，故正确，符合题意；D．解释变量x与预报变量y相关性增强，故正确，符合题意．故选：ACD．10.设A，B为随机事件，，则下列能推出的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】，利用韦恩图来形象表示，A．从图象上看，满足的样本点的部分为，满足的样本点的部分为，，相等，，，正确，符合题意；B．从图象上看，满足的样本点的部分，满足的样本点的部分为，，相等，，，正确，符合题意；C.从图象上看，满足的样本点的部分为，满足的样本点的部分为，，相等，，，正确，符合题意；D．从图象上看，满足的样本点的部分为，满足的样本点的部分为，，从图形上看表示为相同的部分，不能直接推出，错确，不符合题意；故选：ABC．11.已知函数，.对于不相等的实数，，设，，则下列说法正确的是（）A.对于任意不相等的实数，，都有B.对于任意的a及任意不相等的实数，，都有C.对于任意的a，存在不相等的实数，，使得D.对于任意的a，存在不相等的实数，，使得【答案】AC【解析】对于A，由对数函数的单调性可得在R上递增，即有，则A正确；对于B，由二次函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，则不恒成立，则B错误；对于C，由，可得，即，考查函数，，对于函数，时，，，故先单调递减后单调递增，所以C正确；对于D，由，可得，即考查函数，，当时，，此时函数单调递增，不符合要求，所以D不正确.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中含的系数等于2，则_____________.【答案】【解析】因为的展开式中含的系数等于2，即，解得.13.已知数列满足，，则_____________.【答案】【解析】因为数列满足，，所以，，，．故答案为：14.有一个邮件过滤系统，它可以根据邮件的内容和发件人等信息，判断邮件是不是垃圾邮件，并将其标记为垃圾邮件或正常邮件.对这个系统的测试具有以下结果：每封邮件被标记为垃圾邮件的概率为；邮件在被标记为垃圾邮件的条件下，它是正常邮件的概率为；邮件在被标记为正常邮件的条件下，它是垃圾邮件的概率为，则垃圾邮件被该系统成功过滤（即垃圾邮件被标记为垃圾邮件）的概率等于_____________.【答案】【解析】设事件表示“正常邮件”，事件表示“标记为正常邮件”，则，，，，，故，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求的极值.解：（1）由，得切点为，，从而切线的斜率，故所求的切线方程为，即．（2）的定义域为，且，令，得或，当x变化时，，的变化情况如下表x0＋0－0＋单调递增单调递减0单调递增作出的图象，如图由图可知当时，取得极大值；当x=0时，取得极小值0．16.某学校共1000名学生，其中男生500人，女生500人，在一次调查“体育迷”的活动中，采用分层随机抽样的方法从中抽取100人，统计得到如下等高堆积条形图.（1）求抽取的男生人数和女生人数；（2）根据已知条件完成下面的2×2列联表：体育迷非体育迷合计男生女生

合计

（3）据小概率值的独立性检验，能否认为性别是否与体育迷有关联？附：，．0.10.050.010.0050.001k2.7063.84166357.78910.828解：（1）根据分层抽样，得抽取的男生人数为，抽取的女生人数为；（2）男生中“体育迷”的人数为，“非体育迷”的人数为20，女生中“体育迷”的人数为，“非体育迷”的人数为30，故2×2列联表如下：体育迷非体育迷合计男生302050女生203050合计5050100（3）零假设为：性别与体育迷无关联．根据残联表中的数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与体育迷有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05．