2023-2024学年河南省部分学校高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列满足，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】因为，所以，所以故选：B.2.已知空间向量，，，且，，共面，则实数（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】因共面，所以存在实数，使得，即所以，解得.故选：D.3.如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中点，连接，则，圆的半径，则，，所以.故选：B.4.过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（）A.e B.2 C. D.【答案】D【解析】设切点，则，故切点处的切线方程为，故，将代入得，故，解得或，若，则，此时无解，故不符合题意，若，则，故，此时满足题意，故选：D5.已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线方程得其渐近线方程为，由题知轴且过右焦点，令，得，.则的面积，解得.双曲线（），，解得.故选：.6.如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点，连接,四边形为的菱形，所以，由于平面平面，且两平面交线为，,平面，故平面,又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则,故,则，又故，故直线所成角的正弦值，故选：C7.若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，为单调递增函数；当时，，则，令，即，而，则可得，故要使得是R上的增函数，需满足，解得，故选：C8.已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（）A.1012 B.1013 C.2022 D.2023【答案】A【解析】由题意知，故，则，即，结合等比数列满足，公比，可知，由，得，即得，故，即，由此可得，故当最小时，，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点F的坐标为C.直线AQ与抛物线相切 D.【答案】AC【解析】将代入中可得，故，F1,0,A正确，B错误，,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，由于轴，所以不成立，故D错误，故选：AC10.从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（）A.事件相互独立B.事件为对立事件C.D.设事件发生的次数为，则【答案】AB【解析】对于A，，则，所以事件相互独立，故A正确；对于B，因为抽取到的数字是或或或，而事件不可能同时发生且必有一个发生，所以事件为对立事件，故B正确；对于C，，所以，故C错误；对于D，由题意可取，则，所以，故D错误.故选：AB.11.已知正方体的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线与夹角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】BD【解析】对于A,,,故A错误，对于B，,故，B正确，对于C，建立如图所示空间直角坐标系，则,可得,故，所以直线与夹角的余弦值为，C错误，对于D，由，可得，其中为点到平面距离，故D正确，故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，则________．【答案】【解析】,故答案为：13.将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为________．【答案】12【解析】每个小组安排一个女生，有种方法，每个小组安排一名男生，有种方法，故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有种方法，故答案为：1214.将（）的展开式中第m项的系数记作，则________（用数字作答）．【答案】【解析】由题意可得，则.故答案为：.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和（）．（1）求的值；（2）证明：；（3）证明：．解：（1）当时，，又，所以.（2）因为，所以（时取“”）.所以，即（当且仅当时取“”）.（3）由（2）（当且仅当时取“”）.所以，，，…，.各式相加得：.即.16.如图，在三棱锥中，，，，．（1）证明：平面PAB；（2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，，所以.在中，，，，因为，所以.即，又，平面，，所以平面.因为平面，所以，又，平面，，所以平面（2）如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系.因为平面平面，且为中点，则为中点.则,,,,,.所以，，.设平面的法向量为，则，取；设平面的法向量为，则，取.设二面角为，则，所以.17.已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，O为坐标原点，当的面积最大时，求直线l的方程．解：（1）直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，故,由于是线段的三等分点，所以,故，将代入椭圆方程可得，故椭圆方程为，（2）设直线：，则，设,则，故，点到直线的距离，故，当且仅当，即时等号成立，时，，符合题意，故的面积最大时，求直线l的方程为18.已知函数．（1）当时，证明：函数为增函数；（2）当时，证明：．解：（1）当时，，，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以函数为增函数；（2）当时，，，，因为函数在上都是增函数，所以函数在上是增函数，又，所以存在，使得，此时，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，令，则，所以函数在上单调递减，所以，即，所以．19.一个袋子中有大小、形状、质地完全相同的n（）个球，号码分别标为1，2，，…，，从中有放回地随机摸球3次，每次摸球2个，把每次摸到的2个球号码之和记下，分别为，，．（1）若，求的概率；（2）求的值．解：（1）当时，4个小球得编号为：1，2，4，8，从中取2个，其编号和记为，则为：3，5，6，9，10，12，且（）记事件：，则.（2）因为是有放回抽取，所以，所以.用表示每次摸到的2个球号码之和，则可以为：，，…，，，，…，，，…，.共个不同的结果，且每个结果出现的可能性相同，对应概率均为.所以所以.河南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知等差数列满足，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】因为，所以，所以故选：B.2.已知空间向量，，，且，，共面，则实数（）A. B. C.0 D.1【答案】D【解析】因共面，所以存在实数，使得，即所以，解得.故选：D.3.如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取的中点，连接，则，圆的半径，则，，所以.故选：B.4.过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（）A.e B.2 C. D.【答案】D【解析】设切点，则，故切点处的切线方程为，故，将代入得，故，解得或，若，则，此时无解，故不符合题意，若，则，故，此时满足题意，故选：D5.已知双曲线（）的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由双曲线方程得其渐近线方程为，由题知轴且过右焦点，令，得，.则的面积，解得.双曲线（），，解得.故选：.6.如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】取的中点，连接,四边形为的菱形，所以，由于平面平面，且两平面交线为，,平面，故平面,又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则,故,则，又故，故直线所成角的正弦值，故选：C7.若是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】当时，为单调递增函数；当时，，则，令，即，而，则可得，故要使得是R上的增函数，需满足，解得，故选：C8.已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（）A.1012 B.1013 C.2022 D.2023【答案】A【解析】由题意知，故，则，即，结合等比数列满足，公比，可知，由，得，即得，故，即，由此可得，故当最小时，，故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（）A. B.点F的坐标为C.直线AQ与抛物线相切 D.【答案】AC【解析】将代入中可得，故，F1,0,A正确，B错误，,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，由于轴，所以不成立，故D错误，故选：AC10.从1，2，3，4四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字1或数字2”，事件“取到数字1或数字3”，事件“取到数字2或数字4”，则下列说法正确的是（）A.事件相互独立B.事件为对立事件C.D.设事件发生的次数为，则【答案】AB【解析】对于A，，则，所以事件相互独立，故A正确；对于B，因为抽取到的数字是或或或，而事件不可能同时发生且必有一个发生，所以事件为对立事件，故B正确；对于C，，所以，故C错误；对于D，由题意可取，则，所以，故D错误.故选：AB.11.已知正方体的棱长为1，且E为AB的中点，则下列说法正确的是（）A.B.C.直线与夹角的余弦值为D.点到平面的距离为【答案】BD【解析】对于A,,,故A错误，对于B，,故，B正确，对于C，建立如图所示空间直角坐标系，则,可得,故，所以直线与夹角的余弦值为，C错误，对于D，由，可得，其中为点到平面距离，故D正确，故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，且，则________．【答案】【解析】,故答案为：13.将2名女生和3名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各1人，则不同的分法种数为________．【答案】12【解析】每个小组安排一个女生，有种方法，每个小组安排一名男生，有种方法，故每个兴趣小组分配男生女生各1人，共有种方法，故答案为：1214.将（）的展开式中第m项的系数记作，则________（用数字作答）．【答案】【解析】由题意可得，则.故答案为：.四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项和（）．（1）求的值；（2）证明：；（3）证明：．解：（1）当时，，又，所以.（2）因为，所以（时取“”）.所以，即（当且仅当时取“”）.（3）由（2）（当且仅当时取“”）.所以，，，…，.各式相加得：.即.16.如图，在三棱锥中，，，，．（1）证明：平面PAB；（2）过的中点作平面与平面ABC平行，并分别交，于点，，且E为的中点，求二面角的正弦值．解：（1）在中，，，所以.在中，，，，因为，所以.即，又，平面，，所以平面.因为平面，所以，又，平面，，所以平面（2）如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系.因为平面平面，且为中点，则为中点.则,,,,,.所以，，.设平面的法向量为，则，取；设平面的法向量为，则，取.设二面角为，则，所以.17.已知直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，并交椭圆C：（）于不同的两点，且三等分线段．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为1的直线l交