2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知为虚数单位，若复数，则的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】为虚数单位，复数，则的虚部为．故选：B．2.函数与的图象（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称【答案】C【解析】令，则与的图象关于原点对称，与的图象关于原点对称.故选：C.3.求的展开式中的系数（）A.32 B. C.24 D.【答案】B【解析】的展开式的通项是，依题意，，因此，的系数.故选：B．4.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（）．A.若，满足，且与同向，则 B.C. D.【答案】B【解析】对于A，向量之间不能比较大小，故A错误；由于，故C错误；则，所以，即，故B正确；所以，即，故D错误.故选：B.5.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（）0120.36A.0.68 B.0.6 C.0.2976 D.3.88【答案】A【解析】由概率之和为1，得，解得，或（舍），，，．故选：A．6.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（）A.变量与独立B.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.变量与不独立D.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】A【解析】由于，故变量与独立，A正确，BCD均错误.故选：A7.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（）A. B.C D.【答案】C【解析】函数的图象向左平移单位后，得到函数的图象．故选：C．8.长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】法1：令“玩手机超过1h的学生”，“玩手机不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥；依题意，，；由全概率公式；即；；法2：设该校有100名学生，整理得到如下列联表：学生100人玩手机时间合计超1h不超1h近视103040不近视105060合计2080100依题意有：.故选：B．二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则（）A.这组数据的极差为 B.这组数据的众数为C.这组数据的中位数为或 D.这组数据的第百分位数为【答案】ABD【解析】对于A，极差为，故A正确；对于B，这组数据从小到大依次：，，，，，，，，，，所以众数为，故B正确；对于C，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，所以中位数为，故C错误；对于D，因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．故选：ABD10.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱B.经验回归方程相对于点的残差为C.在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为，，则【答案】ABD【解析】对于A项，两个变量的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，故A正确；对于B，残差=观测值减去预测值=，故B正确；对于，在回归分析中，越接近于1，模型的拟合效果越好，∴为0.98的模型比为0.89的模型拟合的更好，故C错误；对于，某人在10次答题中，答对题数为，则数学期望，故D正确．故选：ABD.11.已知函数，，则（）A.是偶函数B.恒成立C.的值域是D.的值域是【答案】AB【解析】A，，故是偶函数，故A正确；B，，，故B正确；C，，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；D，，当时，，故D错误．故选：AB三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______.【答案】【解析】从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果；满足两个数相差为2的有、共个结果；所以两个数相差为2的概率；故答案为：13.某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是_________分．【答案】75【解析】设考试成绩为随机变量，则，所以，因为按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，所以等级和等级一共占，所以等级的最低分为75分.故答案为：7514.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______.【答案】【解析】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，设“次传球后球在甲手中”，则，则．即，所以，，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，所以5次传球后球在甲手中的概率为．故答案为：.四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式；（2）原式16.三角形的内角、、所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若，求面积的最大值．解：（1），，，，为三角形内角，．-（2），，由余弦定理得；，即；，所以面积的最大值为．17.某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1：表1数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀7354127不优秀61212273合计134266400表2数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀614不优秀626合计40（1）根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表．①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率．（2）从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（，）解：（1）记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”，则与相互独立，①，②．（2）表2整理如下：数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀8614不优秀62026合计142640零假设：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得：-依据的独立性检验，我们可以推断不成立；即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误概率不超过．18.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，侧面是正三角形，侧面底面．（1）求与底面所成角的正切值；（2）求侧面与底面所成二面角的大小；（3）若是上的点，且平面，求四面体的体积．解：（1）如图所示：设是的中点，连接；又侧面是正三角形，是的中点，又因为侧面底面，平面平面；平面ABCD，是与底面所成角；-在中，．（2）因为在菱形中，，所以为等边三角形，又为的中点，所以，由（1）知，，且，所以平面，又平面，则，是侧面与底面所成二面角的平面角；而在中，，所以；所以侧面与底面所成二面角大小为．（3）连结交于点，连结，因为底面为菱形，且平面，平面平面，所以，又因为在中，为中点，所以为中点．又平面，所以故点到平面距离等于点到平面的距离，即．由（1）知，平面平面，且平面平面，平面，所以底面，因为等边的边长为2，所以．又因为为中点，所以点到底面的距离为，因为为边长为2的等边三角形，所以三棱锥的体积为：．19.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点．（1）求；（2）求的坐标；（3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值．解：（1）依题意可得，，-；（2），，，，，，，所以四边形是平行四边形，即，，是的中点，，，又，，；（3）设，，则，，因三点共线，则设，，，，，，，当且仅当时取等号，所以的最小值为．或者：由，得，所以，所以，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，所以的最小值为．湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知为虚数单位，若复数，则的虚部为（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】为虚数单位，复数，则的虚部为．故选：B．2.函数与的图象（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称【答案】C【解析】令，则与的图象关于原点对称，与的图象关于原点对称.故选：C.3.求的展开式中的系数（）A.32 B. C.24 D.【答案】B【解析】的展开式的通项是，依题意，，因此，的系数.故选：B．4.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（）．A.若，满足，且与同向，则 B.C. D.【答案】B【解析】对于A，向量之间不能比较大小，故A错误；由于，故C错误；则，所以，即，故B正确；所以，即，故D错误.故选：B.5.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（）0120.36A.0.68 B.0.6 C.0.2976 D.3.88【答案】A【解析】由概率之和为1，得，解得，或（舍），，，．故选：A．6.根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．已知，依据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（）A.变量与独立B.变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.变量与不独立D.变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05【答案】A【解析】由于，故变量与独立，A正确，BCD均错误.故选：A7.将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（）A. B.C D.【答案】C【解析】函数的图象向左平移单位后，得到函数的图象．故选：C．8.长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】法1：令“玩手机超过1h的学生”，“玩手机不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人近视”，则，且互斥；依题意，，；由全概率公式；即；；法2：设该校有100名学生，整理得到如下列联表：学生100人玩手机时间合计超1h不超1h近视103040不近视105060合计2080100依题意有：.故选：B．二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.为调研某地空气质量，连续天测得该地是衡量空气质量的重要指标，单位：的日均值，依次为，，，，，，，，，，则（）A.这组数据的极差为 B.这组数据的众数为C.这组数据的中位数为或 D.这组数据的第百分位数为【答案】ABD【解析】对于A，极差为，故A正确；对于B，这组数据从小到大依次：，，，，，，，，，，所以众数为，故B正确；对于C，这组数据从小到大依次是：，，，，，，，，，，所以中位数为，故C错误；对于D，因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．故选：ABD10.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱B.经验回归方程相对于点的残差为C.在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为，，则【答案】ABD【解析】对于A项，两个变量的相关系数为，越小，与之间的相关性越弱，故A正确；对于B，残差=观测值减去预测值=，故B正确；对于，在回归分析中，越接近于1，模型的拟合效果越好，∴为0.98的模型比为0.89的模型拟合的更好，故C错误；对于，某人在10次答题中，答对题数为，则数学期望，故D正确．故选：ABD.11.已知函数，，则（）A.是偶函数B.恒成立C.的值域是D.的值域是【答案】AB【解析】A，，故是偶函数，故A正确；B，，，故B正确；C，，当且仅当，即时，等号成立，故C错误；D，，当时，，故D错误．故选：AB三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12.从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是______.【答案】【解析】从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果；满足两个数相差为2的有、共个结果；所以两个数相差为2的概率；故答案为：13.某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是_________分．【答案】75【解析】设考试成绩为随机变量，则，所以，因为按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，所以等级和等级一共占，所以等级的最低分为75分.故答案为：7514.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为______.【答案】【解析】设次传球后球在甲手中的概率为，当时，，设“次传球后球在甲手中”，则，则．即，所以，，且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，所以，所以5次传球后球在甲手中的概率为．故答案为：.四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.计算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式；（2）原式16.三角形的内角、、所对的边分别为，，，．（1）求；（2）若，求面积的最大值．解：（1），，，，为三角形内角，．-（2），，由余弦定理得；，即；，所以面积的最大值为．17.某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1：表1数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀7354127不优秀61212273合计134266400表2数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀614不优秀626合计40（1）根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表．①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率．（2）从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？（，）解：（1）记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”，则与相互独立，①，②．（2）表2整理如下：数学成绩语文成绩合计优秀不优秀优秀8614不优秀62026合计142640零假设：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2