2023-2024学年湖南省永州市名校联盟高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省永州市名校联盟2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合则()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，.故选：C2.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设（a，），则.因为，所以,即，整理得，所以，解得，所以.故选：C3.设均为单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.4.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为锐角，所以，又，所以，所以.故选：D.5.已知等比数列是其前项和，，则（）A. B.8 C.7 D.14【答案】C【解析】设等比数列的公比为，因为，可得，即，所以，所以.故选：C.6.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有种选择方案.故选：D.7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）A.36 B.46 C.56 D.66【答案】C【解析】由，，，，且，则交于同一点，该“刍童”为四棱台，矩形的面积为,矩形的面积为,且上下底面的高为3，所以四棱台的体积.故选：C.8.若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆：的圆心，半径，双曲线：则，，，设左焦点为，则，即，所以，当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.不存在常数项 B.二项式系数和为1C.第4项和第5项二项式系数最大 D.所有项的系数和为128【答案】AC【解析】因为展开式的通项公式为，对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；对B，二项式系数和为，故B错误；对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；对D，令，得所有项的系数和为，故D错误；故选：AC.10.已知函数，则（）A. B.有两个极值点C.点是曲线对称中心 D.有两个零点【答案】ABC【解析】，故A正确；令，解得，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极小值，在取得极大值，即，，只有一个零点，故B正确D错误；，所以关于对称，故C正确。故选：ABC11.如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（）A.三棱锥的体积为 B.线段的长为C.点的轨迹长为 D.的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，在正方体中，易证平面，平面平面，且两平面间的距离为，又的面积，所以三棱锥的体积故A正确；对于B，如图①所示，设中心为，则，故B错误；对于C，如图②所示，由知，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半故C正确；对于D，，为在方向上的投影，由图①可知，当位于点或的位置时，最小，此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，则，，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为奇函数，则的值为_____________.【答案】【解析】函数中，，方程的根为，由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为，，即函数为奇函数，所以的值为.故答案为：13.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为________米.【答案】【解析】设在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因为,所以，即，.故答案为：14.设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为__.若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为___.【答案】；6【解析】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，则，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理得，即有，∴.设内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，则，则,解之得又由内切圆圆心的横坐标为2，得，故.故答案为：，6四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．解：（1）因为，由余弦定理可得，又，所以，又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，又，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，，且，因为，所以，所以，，所以．16.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）因为底面底面，所以.因为底面是矩形，所以.又，且平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.所以.设平面的法向量为，则，则取，得.设平面的法向量为，则，则取，得.设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒购物群数量/个12183218（1）求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；（2）假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若，则，，.解：（1）由题意得，，解得.则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为.（2）由题意，则，故，故“级群”约有个；，故“特级群”约有个；则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.18.已知椭圆及直线．（1）若直线与椭圆没有公共点，求实数取值范围；（2）为椭圆上一动点，若点到直线距离的最大值为，求直线的方程．解：（1）联立方程组，整理得，因为直线与椭圆没有公共点，所以，解得或，所以实数t的取值范围为.（2）由题意，点到直线距离的最大值，等价于与直线平行且与椭圆相切的直线与直线间的距离，由（1）中，，解得或，此时直线或直线与椭圆相切，当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去）；当与之间的距离为时，可得，解得或（舍去），综上可得，所求直线的方程为或.19.设函数．（1）当，求在点处的切线方程；（2）证明：当时，；解：（1）当时，，则，即，所以在点处的切线方程为，即.（2）因为，因为为单调递增函数，也为单调递增函数，所以为单调递增函数，又，且，所以在上存在唯一零点，设为，当时，，为单调递减函数；当时，，为单调递增函数；所以，由可得，即，所以，当且仅当时取等号，所以当时，，湖南省永州市名校联盟2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合则()A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，.故选：C2.已知，则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设（a，），则.因为，所以,即，整理得，所以，解得，所以.故选：C3.设均为单位向量，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.4.已知锐角满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为锐角，所以，又，所以，所以.故选：D.5.已知等比数列是其前项和，，则（）A. B.8 C.7 D.14【答案】C【解析】设等比数列的公比为，因为，可得，即，所以，所以.故选：C.6.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】D【解析】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有种选择方案.故选：D.7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童中，，平面与平面之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）A.36 B.46 C.56 D.66【答案】C【解析】由，，，，且，则交于同一点，该“刍童”为四棱台，矩形的面积为,矩形的面积为,且上下底面的高为3，所以四棱台的体积.故选：C.8.若，分别是双曲线：的右支和圆：上的动点，且是双曲线的右焦点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆：的圆心，半径，双曲线：则，，，设左焦点为，则，即，所以，当且仅当、在线段与双曲线右支、圆的交点时取等号.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.不存在常数项 B.二项式系数和为1C.第4项和第5项二项式系数最大 D.所有项的系数和为128【答案】AC【解析】因为展开式的通项公式为，对A，由，得(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；对B，二项式系数和为，故B错误；对C，展开式共有项，所以第4项和第5项二项式系数最大，故C正确；对D，令，得所有项的系数和为，故D错误；故选：AC.10.已知函数，则（）A. B.有两个极值点C.点是曲线对称中心 D.有两个零点【答案】ABC【解析】，故A正确；令，解得，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，故函数在处取得极小值，在取得极大值，即，，只有一个零点，故B正确D错误；，所以关于对称，故C正确。故选：ABC11.如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（）A.三棱锥的体积为 B.线段的长为C.点的轨迹长为 D.的最大值为【答案】ACD【解析】对于A，在正方体中，易证平面，平面平面，且两平面间的距离为，又的面积，所以三棱锥的体积故A正确；对于B，如图①所示，设中心为，则，故B错误；对于C，如图②所示，由知，，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半故C正确；对于D，，为在方向上的投影，由图①可知，当位于点或的位置时，最小，此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，则，，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数为奇函数，则的值为_____________.【答案】【解析】函数中，，方程的根为，由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为，，即函数为奇函数，所以的值为.故答案为：13.镇江西津渡的云台阁，是一座宋元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则云台阁的高度为________米.【答案】【解析】设在中，，.在中，,,在中，,.在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：,因为,所以，即，.故答案为：14.设，是双曲线：的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且，则双曲线C的离心率为__.若内切圆圆心I的横坐标为2，则的面积为___.【答案】；6【解析】设以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点设为，则，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理得，即有，∴.设内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，则，则,解之得又由内切圆圆心的横坐标为2，得，故.故答案为：，6四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记内角，，的对边分别为，，，已知，．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．解：（1）因为，由余弦定理可得，又，所以，又因为，由正弦定理可得，则，所以为锐角，又，所以，所以，所以．（2）由（1）可得，，且，因为，所以，所以，，所以．16.如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.解：（1）因为底面底面，所以.因为底面是矩形，所以.又，且平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）以为原点，所在直线为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.所以.设平面的法向量为，则，则取，得.设平面的法向量为，则，则取，得.设平面与平面的夹角为，则所以平面与平面的夹角的余弦值为.17.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒购物群数量/个12183218（1）求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；（2）假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均