2023-2024学年江苏省南京市六校联合体高二下学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于x，y两个变量,有四组样本数据,分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（）A. B.0.72 C. D.0.85【答案】A【解析】线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性相关性最强的是．故选：A.2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为.故选：C3.已知，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】令，则，即．故选：B.4.3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（）A.24 B.48 C.96 D.120【答案】B【解析】根据捆绑法，“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排，有种，女生自身“内排”有种，则女生相邻的排法个数是：.故选：B.5.已知函数，那么的值是（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因为，则，所以.故选：D.6.已知随机变量满足：，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】若，，则，解得，故，则，故A错误，而，故，可得，故B错误，而，故C错误，由题意得，故D正确.故选：D7.给出下列四个命题，其中真命题是（）A.若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使B.若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面C.直线a的方向向量为，平面的法向量为，则D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则【答案】B【解析】对于A，如果为非零向量，且与不共线，而与共线，则不成立，故A错误；对于B，运用四点共面定理推论可知B正确；对于C，，则，则，故C错误；对于D，向量是平面的法向量，则，，即，，又，，得且，解得，，则，故D错误.故选：B.8.若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（）A. B.C.的范围是 D.【答案】B【解析】对于AC，，有两个极值点且，所以，有两个零点，且在各自两边异号，所以与有两个交点，，记，则，易知：时，时，所以在上递增，在上递减，所以有最大值，且时，时，又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且，由上可得的图象如下，所以当且仅当时与有两个交点，且，故A，C正确；对于B，又，所以，即，故B错误.对于D，令，则，所以，则，，所以要证，只需证，只需证，令，则，所以在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9.，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（）A.B.若，，则C.若，则A与B独立D.【答案】ACD【解析】A选项，由对立事件性质可知，A正确；B选项，若，，则，B错误；C选项，若，则，故，A与B独立，C正确；D选项，，D正确.故选：ACD10.已知函数，下列选项正确的是（）A.若在区间上单调递减，则a的取值范围为B.若在区间上有极小值，则a取值范围为C.当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为D.若曲线的对称中心为，则【答案】BCD【解析】令若在区间上单调递减,则在区间上小于或者等于零恒成立，即恒成立，即，又在区间单调递增，则所以a的取值范围为，故选项A错误.若在区间上有极小值,则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零，则解得a的取值范围为.故选项B正确.当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为切线为又切线经过点，则有三解，即有三解，令则当时函数取极值，则实数m的取值范围为，故选项C正确.若曲线的对称中心为,则即解得.故选：BCD.11.在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（）A.若F在棱AD上时，存在点F使B.若F是棱AD的中点，则平面C.若平面，则F是AC上靠近C的四等分点D.若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为【答案】BCD【解析】A.如图建立空间直角坐标系，，，，，，，整理为，解得：或，都舍去，所以不存在点F使，故A错误；B.如图，取的中点，连结，因为点是的中点，所以，平面，平面，所以平面，同理，且，所以，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，平面，所以平面C.若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，，所以，，，，,所以，，且，平面，所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直，则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确；D.若点在棱上运动，设，，，,则点到的距离，当时，的最小值为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为______.【答案】【解析】根据点到面的距离公式，且，，可得点到平面的距离．故答案为：．13.从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则一共有______种选法.【答案】65【解析】从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，当A为空集时，B可以包含1，2，3，4个元素，所以共有种选法；当A只含有1个元素时，B可以包含2，3，4个元素，所以共有种选法；当A只含有2个元素时，B可以包含3，4个元素，所以共有种选法；当A只含有3个元素时，B包含4个元素，所以共有种选法.故共有种选法.故答案为：65.14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______.【答案】；【解析】第一空：，第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球，乙盒中还剩下两个红球或者两个白球.则故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，左表数据：（1）求a，b的值，并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？（2）经调查，学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x（单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见下表，求y关于x的线性回归方程.附：（1）（2），解：（1）依题意，得，解得，，假设：认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，，所以根据的独立性检验，认为不成立，即有的把握认为学生的性别与喜欢运动有关联；（2）由题意得，，，，，，所以回归方程为.16.已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列.（1）求的值；（2）求的近似值（精确到0.01）；（3）求的二项展开式中系数最大的项.解：（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，∴，整理得,解得，又∵，∴（2）（3）依题意得，，即,解之，，又∵，∴故展开式中系数最大得项为17.如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.解：（1）连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，，，∴，，∴，∴.（2），，设平面的法向量为，则，取.取平面的法向量为，所以，，，设二面角的平面角为，.∴由图可知二面角的余弦值为18.某校举行投篮趣味比赛，甲、乙两位选手进入决赛，每位选手各投篮4次，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分比本次得分多1分；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分.已知甲同学每次投进的概率为，乙同学每次投进的概率为，且甲、乙每次投篮相互独立.（1）求甲最后得3分的概率；（2）记甲最后得分为X，求X的概率分布和数学期望；（3）记事件B为“甲、乙总分之和为7”，求.解：（1）记事件A为“甲得3分”，分析3分是，不可能是，所以在这四次投篮中，连续两次投中，另两次没中，记甲得3分，所以（2）X的取值为0，1，2，3，4，6，10，，，，，01234610（3）记为乙最后得分，则事件为“甲1分，乙6分”，“甲3分，乙4分”，“甲4分，乙3分”，“甲6分，乙1分”，，故19.定义：如果函数与的图象上分别存在点M和点N关于x轴对称，则称函数和具有“伙伴”关系.（1）判断函数与是否具有“伙伴”关系；（2）已知函数，，，.①若两函数具有“伙伴”关系，求a的取值范围；②若两函数不具有“伙伴”关系，求证：，其中n为正整数.解：（1）函数与具有“伙伴”关系，理由如下：根据定义，若与具有“伙伴”关系，则在与的定义域的交集上存在x，使得.所以，即，解得，所以与具有“伙伴”关系.（2）函数，，，，令，，，①两函数具有“伙伴”关系，则函数在上有零点.当时，，所以在上递减，所以，此时函数无零点，不符合题意.当时，令，则，，则，故在上递增，在上递减，且时，，当时，函数的导函数，所以该函数在上递减，所以，所以，从而，即此时，取所以从而，又函数图象在上连续不间断，由零点存在定理可得，函数在上存在唯一零点，即存在，使得综上可得，若两函数具有“伙伴”关系，a的取值范围为②由①可得若两函数不具有“伙伴”关系，a的取值范围为，且当时，恒有成立，即在恒成立所以当时，可得同理，，……，两边分别累加得：即即.江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高二下学期期末调研测试数学试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于x，y两个变量,有四组样本数据,分别算出它们的线性相关系数r（如下）：，则线性相关性最强的是（）A. B.0.72 C. D.0.85【答案】A【解析】线性相关系数的绝对值越接近1，线性相关性越强，则线性相关性最强的是．故选：A.2.在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标为.故选：C3.已知，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】令，则，即．故选：B.4.3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（）A.24 B.48 C.96 D.120【答案】B【解析】根据捆绑法，“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排，有种，女生自身“内排”有种，则女生相邻的排法个数是：.故选：B.5.已知函数，那么的值是（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因为，则，所以.故选：D.6.已知随机变量满足：，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】若，，则，解得，故，则，故A错误，而，故，可得，故B错误，而，故C错误，由题意得，故D正确.故选：D7.给出下列四个命题，其中真命题是（）A.若向量与向量，共面，则存在实数x，y，使B.若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面C.直线a的方向向量为，平面的法向量为，则D.若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则【答案】B【解析】对于A，如果为非零向量，且与不共线，而与共线，则不成立，故A错误；对于B，运用四点共面定理推论可知B正确；对于C，，则，则，故C错误；对于D，向量是平面的法向量，则，，即，，又，，得且，解得，，则，故D错误.故选：B.8.若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（）A. B.C.的范围是 D.【答案】B【解析】对于AC，，有两个极值点且，所以，有两个零点，且在各自两边异号，所以与有两个交点，，记，则，易知：时，时，所以在上递增，在上递减，所以有最大值，且时，时，又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且，由上可得的图象如下，所以当且仅当时与有两个交点，且，故A，C正确；对于B，又，所以，即，故B错误.对于D，令，则，所以，则，，所以要证，只需证，只需证，令，则，所以在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.9.，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（）A.B.若，，则C.若，则A与B独立D.【答案】ACD【解析】A选项，由对立事件性质可知，A正确；B选项，若，，则，B错误；C选项，若，则，故，A与B独立，C正确；D选项，，D正确.故选：ACD10.已知函数，下列选项正确的是（）A.若在区间上单调递减，则a的取值范围为B.若在区间上有极小值，则a取值范围为C.当时，若经过点可以作出曲线的三条切线，则实数m的取值范围为D.若曲线的对称中心为，则【答案】BCD【解析】令若在区间上单调递减,则在区间上小于或者等于零恒成立，即恒成立，即，又在区间单调递增，则所以a的取值范围为，故选项A错误.若在区间上有极小值,则在区间上有零点，且在零点左端小于零，在零点右端大于零，则解得a的取值范围为.故选项B正确.当时,设经过点作出曲线的三条切线切点为，则切线斜率为切线为又切线经过点，则有三解，即有三解，令则当时函数取极值，则实数m的取值范围为，故选项C正确.若曲线的对称中心为,则即解得.故选：BCD.11.在棱长为1的正方体中，点F在底面ABCD内运动（含边界），点E是棱的中点，则（）A.若F在棱AD上时，存在点F使B.若F是棱AD的中点，则平面C.若平面，则F是AC上靠近C的四等分点D.若F在棱AB上运动，则点F到直线的距离最小值为【答案】BCD【解析】A.如图建立空间直角坐标系，，，，，，，整理为，解得：或，都舍去，所以不存在点F使，故A错误；B.如图，取的中点，连结，因为点是的中点，所以，平面，平面，所以平面，同理，且，所以，平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，平面，所以平面C.若F是AC上靠近C的四等分点，则，，，，所以，，，，,所以，，且，平面，所以平面，且过点只有1条直线和平面垂直，则点是唯一的，点是上靠近的四等分点，故C正确；D.若点在棱上运动，设，，，,则点到的距离，当时，的最小值为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面过点，其法向量为，则点到平面的距离为______.【答案】【解析】根据点到面的距离公式，且，，可得点到平面的距离．故答案为：．13.从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，则一共有______种选法.【答案】65【解析】从集合的子集中选出2个不同的子集A，B，且，当A为空集时，B可以包含1，2，3，4个元素，所以共有种选法；当A只含有1个元素时，B可以包含2，3，4个元素，所以共有种选法；当A只含有2个元素时，B可以包含3，4个元素，所以共有种选法；当A只含有3个元素时，B包含4个元素，所以共有种选法.故共有种选法.故答案为：65.14.现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则______，______.【答案】；【解析】第一空：，第二空：从甲盒中取出的是一个红球和一个白球，乙盒中还剩下两个红球或者两个白球.则故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.为了研究学生的性别与喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下，左表数据：（1）求a，b的值，并判断是否有的把握认为“学生的性别与喜欢运动有关联”？（2）经调查，学生的学习效率指数y与每天锻炼时间x（单位：拾分钟）呈线性相关关系，统计数据见下表，求y关于x的线性回归方程.附：（1）（2），解：（1）依题意，得，解得，，假设：认为学生的性别与是否喜欢运动无关联，，所以根据的独立性检验，认为不成立，即有的把握认为学生的性别与喜欢运动有关联；（2）由题意得，，，，，，所以回归方程为.16.已知（，）的展开式中，第2，3，4项的二项式系数成等差数列.（1）求的值；（2）求的近似值（精确到0.01）；（3）求的二项展开式中系数最大的项.解：（1）∵展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，∴，整理得,解得，又∵，∴（2）（3）依题意得，，即,解之，，又∵，∴故展开式中系数最大得项为17.如图，所有棱长均为2的正四棱锥，点，分别是，上靠近，的三等分点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.解：（1）连接交于，建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，，，∴，，∴，∴.（2），，设平面的法向量为，则，取.取平面的法向量为，所以，，，设二面角的平面角为，.∴由图可知二面角的余弦值