2023-2024学年山东省部分学校高二下学期期末联合教学质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联合教学质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由图可知：阴影部分表示的集合为.因为集合，所以，则，所以阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：B.2.已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，所以，所以，其在复平面内的对应点为，位于第一象限．故选：A．3.已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为随机变量，满足，且，所以对于A，，所以A不正确；对于B，，，，所以B不正确；对于C，，，，所以C不正确；根据,由,则，，故选：D.4.若样本空间中的事件，，满足，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，，，所以，所以，解得，因为所以.故选：A.5.已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，当时，单调递增；当时，单调递减．又，，，所以在0,3和上各有1个零点．又因为有4个根，所以当时，有2个零点，因为，所以，即，解得．故选：B．6.北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（）A.24 B.48 C.360 D.720【答案】B【解析】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法，由分步乘法计数原理得不同排法种数是.故选：B7.已知则（）A B. C. D.【答案】A【解析】令，则，所以单调递增，又，所以，即，所以，所以，即，所以，设，则，所以单调递减，，即，故，，即，所以，所以，故选：A.8.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，两边同时加，得：.设，则，所以在上单调递增.所以.设，，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.由.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.二项式系数最大的项为 B.常数项为2C.第6项与第7项的系数相等 D.含的项的系数为448【答案】ACD【解析】展开式的通项为，因为，所以二项式系数最大的项为，故A正确；令，得常数项为，故B错误；第6项为，第7项为，所以第6项与第7项的系数相等，故C正确；含的项为，其系数为，故D正确.故选：ACD.10.某篮球队员进行投篮练习，根据历史数据可知，该队员每次投篮的命中率均为，若该队员投篮4次，投进球的个数记为，且，则（）A. B.C. D.至少进1个球的概率为0.9919【答案】ABD【解析】由题意知，，则，解得，所以，，所以至少进1个球的概率为.故选：ABD11.三次函数的图像与轴有两个交点，则（）A.有唯一的极值B.C.存在等差数列，使D.过点可作曲线的两条切线【答案】BCD【解析】A.，得或，，变化情况如表所示，-1,11,+f单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数有2个极值，故A错误；B.极小值，若函数的图象与轴的交点有2个，则，即，即函数其中极大值点就是一个零点，另一个零点是2，所以，故B正确；C.当时，满足，则，，同理，满足，故C正确；D.设过点2,0作曲线的切线的切点为，则，，则，即，即，得，或，有两个切点，所以过点2,0可作曲线y=fx的两条切线，故D正确故选：BCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为______【答案】【解析】已知函数，则，且，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.13.某研究机构对高三学生记忆力和判断力进行统计分析，得表数据.6810122356请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程_______，据此可预测判断力为的同学的记忆力为____.（回归直线方程是：，其中，）【答案】；【解析】设y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点由表格数据得，，，，故根据最小二乘原理知，所以，即线性回归方程为；将代入方程，得，即可预测判断力为4的同学的记忆力为.故答案为：；.14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量,若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数,有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______.【答案】1250【解析】由题意知，所以，，若，则，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则，解，所以估计信号发射次数n的最小值为1250.故答案为：1250四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知且满足各项的二项式系数之和为256．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以，二项式展开式的通项为，所以；（2）令，得，令，得，所以．16.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；（3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列.解：（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则；（2）的所有可能值为，且综上知，分布列为123（3）由题意知的所有可能值为，且，.综上知，的分布列为12317.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．解：（1）易知定义域为R，，所以，，，．故单调增区间：，单调减区间：．（2）因为，，所以曲线在点处的切线为把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解，即且，即，解得或．18.将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20182019202020212022年份编号x12345销量y(万台)23.52.589（1）求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：了解不了解合计男生25女生20合计（i）根据已知条件，填写上述2×2列联表；（ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关?参考公式：1.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为2.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解：（1）年份编号的平均数，销量的平均数，所以，又所以，于是，所以关于的经验回归方程为，又因为年份2024对应的编号为7，所以，故可以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：

了解不了解合计男生352560女生204060合计5565120（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据可得：，依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.19.已知函数为的导函数，记，其中为常数.（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，①求的取值范围；②求证：.解：（1）定义域为.，，，当时，恒成立，在上单调递增，当时，令，则，解得，令，则，解得，在单调递增，在单调递减.综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故，函数有两个极值点，在0,+∞有两个不同零点的必要条件是，解得，当，在单调递增，在单调递减，，由零点存在性定理得：在，各有1个零点，的取值范围是.②函数有两个极值点，①②①②得：，要证，即证，即证，即证，令，则，令，则，在上单调递增，，在上成立，，得证.山东省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联合教学质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】由图可知：阴影部分表示的集合为.因为集合，所以，则，所以阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：B.2.已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】，所以，所以，其在复平面内的对应点为，位于第一象限．故选：A．3.已知随机变量满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为随机变量，满足，且，所以对于A，，所以A不正确；对于B，，，，所以B不正确；对于C，，，，所以C不正确；根据,由,则，，故选：D.4.若样本空间中的事件，，满足，，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，，，所以，所以，解得，因为所以.故选：A.5.已知，若函数有4个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，，当时，单调递增；当时，单调递减．又，，，所以在0,3和上各有1个零点．又因为有4个根，所以当时，有2个零点，因为，所以，即，解得．故选：B．6.北京时间2024年4月26日，神舟十七号航天员乘组和神舟十八号航天员乘组胜利会师“天宫”.随后，两个乘组要拍张“全家福”照片，向全国人民报平安.已知两个乘组各3人，每个乘组有一名指令长.拍照时，要求站两排，前排2人，后排4人.若两个指令长在前排，则不同的排法种数为（）A.24 B.48 C.360 D.720【答案】B【解析】依题意，排前排2人有种方法，排后排4人有种方法，由分步乘法计数原理得不同排法种数是.故选：B7.已知则（）A B. C. D.【答案】A【解析】令，则，所以单调递增，又，所以，即，所以，所以，即，所以，设，则，所以单调递减，，即，故，，即，所以，所以，故选：A.8.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，两边同时加，得：.设，则，所以在上单调递增.所以.设，，则，由；由.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.由.故选：C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.在的展开式中，下列说法正确的是（）A.二项式系数最大的项为 B.常数项为2C.第6项与第7项的系数相等 D.含的项的系数为448【答案】ACD【解析】展开式的通项为，因为，所以二项式系数最大的项为，故A正确；令，得常数项为，故B错误；第6项为，第7项为，所以第6项与第7项的系数相等，故C正确；含的项为，其系数为，故D正确.故选：ACD.10.某篮球队员进行投篮练习，根据历史数据可知，该队员每次投篮的命中率均为，若该队员投篮4次，投进球的个数记为，且，则（）A. B.C. D.至少进1个球的概率为0.9919【答案】ABD【解析】由题意知，，则，解得，所以，，所以至少进1个球的概率为.故选：ABD11.三次函数的图像与轴有两个交点，则（）A.有唯一的极值B.C.存在等差数列，使D.过点可作曲线的两条切线【答案】BCD【解析】A.，得或，，变化情况如表所示，-1,11,+f单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数有2个极值，故A错误；B.极小值，若函数的图象与轴的交点有2个，则，即，即函数其中极大值点就是一个零点，另一个零点是2，所以，故B正确；C.当时，满足，则，，同理，满足，故C正确；D.设过点2,0作曲线的切线的切点为，则，，则，即，即，得，或，有两个切点，所以过点2,0可作曲线y=fx的两条切线，故D正确故选：BCD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知函数，则曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为______【答案】【解析】已知函数，则，且，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.13.某研究机构对高三学生记忆力和判断力进行统计分析，得表数据.6810122356请根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程_______，据此可预测判断力为的同学的记忆力为____.（回归直线方程是：，其中，）【答案】；【解析】设y关于x的线性回归方程为，直线过样本中心点由表格数据得，，，，故根据最小二乘原理知，所以，即线性回归方程为；将代入方程，得，即可预测判断力为4的同学的记忆力为.故答案为：；.14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量,若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数,有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______.【答案】1250【解析】由题意知，所以，，若，则，即，即，由切比雪夫不等式知，要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，则，解，所以估计信号发射次数n的最小值为1250.故答案为：1250四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知且满足各项的二项式系数之和为256．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因为各项的二项式系数之和为256，所以，所以，二项式展开式的通项为，所以；（2）令，得，令，得，所以．16.端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设表示取到的豆沙粽个数，求的分布列；（3）设表示取到的粽子的种类，求的分布列.解：（1）令表示事件“三种粽子各取到1个”，则；（2）的所有可能值为，且综上知，分布列为123（3）由题意知的所有可能值为，且，.综上知，的分布列为12317.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线与二次曲线只有一个公共点，求实数a的值．解：（1）易知定义域为R，，所以，，，．故单调增区间：，单调减区间：．（2）因为，，所以曲线在点处的切线为把切线方程代入二次曲线方程，得有唯一解，即且，即，解得或．18.将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份20182019202020212022年