2023-2024学年山东省青岛市莱西市高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，其中是实数集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得或，则，又，故.故选：B.2.命题“，使得”的否定形式是（）A.,使得B.使得,C.,使得D.,使得【答案】D【解析】根据全称命题与存在性命题互为否定关系，原命题的否定形式是“,使得”.故选：D3.若实数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D4.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，要使函数有意义，则，即，所以或或或，所以函数的定义域为，A不正确；对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确；对于C，对于函数，则，当时，，则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确，对于D，对于函数，定义域为，且，，当时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确.故选：D.5.“”是“函数（且）在上单调递减”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则的图象为：可知在上单调递增；若，则的图象为：可知在上单调递减；综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.故选：C．6.已知函数，若函数的图象关于点对称，则（）A.-3 B.-2 C. D.【答案】C【解析】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数，因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义，即，解得此时为奇函数，则解得故.故选：C．方法二：依题意恒成立，代入得化简得，,整理得：，即(*)，依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得，回代(*)可得，，即，故故选：C.7.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时【答案】C【解析】由已知得①，②，将①代入②得，则．当时，，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，故选：C．8.若，，，则以下不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，令，定义域为，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，又，所以，所以，即.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.9.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由，得或，解得或，故选：AC10.已知定义在上的函数满足，且，若，则（）A. B.的图象关于直线对称C.是周期函数 D.【答案】BCD【解析】由，得，则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确；令，得，则，因此，A错误；由，得，则，因此的图象关于直线对称，B正确；由，得的图象关于直线对称，因此直线及均为图象的对称轴，从而，令，得，即，则，故，D正确.故答案为：BCD11.已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则的最小值为2【答案】BC【解析】对于A，等价于，当时，显然不成立，故A错误；对于B，，，，故B正确；对于C，，，，故C正确；对于D，，，，所以，所以，所以当时，的最小值为2，此时，显然不满足，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数（，且）恒过的定点是______．【答案】【解析】令，解得，此时，所以函数（，且）恒过的定点是.故答案为：.13.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则______.【答案】3【解析】函数的定义域为，且图象关于点对称，所以，所以，又，当时，，所以.故答案为：3.14.已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由函数，可得，当或时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即为函数的极小值点；要使得函数在区间上有最小值，则满足，即，因为，可得，即，解得，所以，即实数的取值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，.（1）若在区间上最大值为2，求实数的值；（2）当时，求不等式的解集.解：（1）函数图象的对称轴为，当，即时，，解得，则；当，即时，，解得，矛盾，所以.（2）显然，而，因此不等式为，当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为，所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为当时，不等式解集为.16.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1），当时，，即，当时，，解得，即，当时，，解得，此时无解，综上：不等式的解集为；（2）时上述不等式显然成立，当时，上述不等式可化为，令，当且仅当时等号成立，所以，即实数的取值范围为．17.已知函数处取得极值，其中．（1）求的值；（2）当时，求的最大值和最小值．解：（1）由求导得，依题意可知，即，解得，此时，，由求得或，当时，，函数递增，当时，函数递减，故时，函数取得极大值，故.（2）由（1）得，令解得或，因，故当时，函数递减，当时，函数递增，当时，取得极小值，无极大值，所以，所以在区间上，的最大值为或，而．所以在区间上的最大值为4，最小值为．18.已知函数（且）．（1）求的定义域；（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围；（3）是否存在实数a,使得当定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由，得或．所以的定义域为．（2）令，可知在上为增函数，可得，且，可知的值域为，因为，则在定义域内为减函数，可得，所以函数在上的值域为，又因为函数在有且只有一个零点，即在上有且只有一个解，所以b的范围是．（3）存在，理由如下：假设存在这样的实数a，使得当的定义域为时，值域为，由且，可得，且．令，可知在上为增函数，因为，则在定义域内为减函数，所以在上为减函数，可得，可知在上有两个互异实根，可得，即有两个大于1相异实数根．则，解得，所以实数a的取值范围.19.已知函数，若过点可作曲线两条切线，求a的取值范围.解：依题意，，设过点直线与曲线相切时的切点为，则斜率，所以切线方程为：又点在切线上，所以，即有，由过点可作曲线两条切线，得方程有两个不相等的实数根，令，则函数有2个零点，求导得，若，由，得或，由，得，即函数在，上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，又，当时，恒成立，所以函数最多1个零点，不合题意；若恒成立，函数在上单调递增，因此函数最多1个零点，不合题意；若，由，得或，由，得，即函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得极大值，当时，取得极小值，又，显然当时，恒成立，所以函数最多1个零点，不合题意；若，显然，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，要函数有2个零点，必有，得，当时，，而函数在(0,1)上的值域为，因此在上的值域为，当时，令，求导得，所以函数在上单调递减，则，，而函数在上单调递减，值域为，因此函数在上的值域为，于是当时，函数有两个零点，所以过点可作曲线两条切线时，所以的取值范围是山东省青岛市莱西市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，请将答题卡上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，其中是实数集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得或，则，又，故.故选：B.2.命题“，使得”的否定形式是（）A.,使得B.使得,C.,使得D.,使得【答案】D【解析】根据全称命题与存在性命题互为否定关系，原命题的否定形式是“,使得”.故选：D3.若实数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，当且仅当，即时，等号成立.故选：D4.如图是下列四个函数中某一个的部分图象，则该函数为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，要使函数有意义，则，即，所以或或或，所以函数的定义域为，A不正确；对于B，，而已知函数图象过原点，B不正确；对于C，对于函数，则，当时，，则函数在上单调递增，不符合题中图象，C不正确，对于D，对于函数，定义域为，且，，当时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，符合图象，故D正确.故选：D.5.“”是“函数（且）在上单调递减”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则的图象为：可知在上单调递增；若，则的图象为：可知在上单调递减；综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.故选：C．6.已知函数，若函数的图象关于点对称，则（）A.-3 B.-2 C. D.【答案】C【解析】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数，因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义，即，解得此时为奇函数，则解得故.故选：C．方法二：依题意恒成立，代入得化简得，,整理得：，即(*)，依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得，回代(*)可得，，即，故故选：C.7.某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A.16小时 B.20小时 C.24小时 D.28小时【答案】C【解析】由已知得①，②，将①代入②得，则．当时，，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时，故选：C．8.若，，，则以下不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，令，定义域为，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以，又，所以，所以，即.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.9.已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由，得或，解得或，故选：AC10.已知定义在上的函数满足，且，若，则（）A. B.的图象关于直线对称C.是周期函数 D.【答案】BCD【解析】由，得，则，即，因此是周期为4的周期函数，C正确；令，得，则，因此，A错误；由，得，则，因此的图象关于直线对称，B正确；由，得的图象关于直线对称，因此直线及均为图象的对称轴，从而，令，得，即，则，故，D正确.故答案为：BCD11.已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.若，则的最小值为2【答案】BC【解析】对于A，等价于，当时，显然不成立，故A错误；对于B，，，，故B正确；对于C，，，，故C正确；对于D，，，，所以，所以，所以当时，的最小值为2，此时，显然不满足，故D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数（，且）恒过的定点是______．【答案】【解析】令，解得，此时，所以函数（，且）恒过的定点是.故答案为：.13.定义在上的两个函数和，已知，.若图象关于点对称，则______.【答案】3【解析】函数的定义域为，且图象关于点对称，所以，所以，又，当时，，所以.故答案为：3.14.已知在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由函数，可得，当或时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，即为函数的极小值点；要使得函数在区间上有最小值，则满足，即，因为，可得，即，解得，所以，即实数的取值为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，.（1）若在区间上最大值为2，求实数的值；（2）当时，求不等式的解集.解：（1）函数图象的对称轴为，当，即时，，解得，则；当，即时，，解得，矛盾，所以.（2）显然，而，因此不等式为，当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为；当，即时，不等式解集为，所以当时，不等式解集为；当时，不等式解集为当时，不等式解集为.16.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围解：（1），当时，，即，当时，，解得，即，当时，，解得，此时无解，综上：不等式的解集为；（2）时上述不等式显然成立，当时，上述不等式可化为，令，当且仅当时等号成立，所以，即实数的取值范围为．17.已知函数处取得极值，其中．（1）求的值；（2）当时，求的最大值和最小值．解：（1）由求导得，依题意可知，即，解得，此时，，由求得或，当时，，函数递增，当时，函数递减，故时，函数取得极大值，故.（2）由（1）得，令解得或，因，故当时，函数递减，当时，函数递增，当时，取得极小值，无极大值，所以，所以在区间上，的最大值为或，而．所以在区间上的最大值为4，最小值为．18.已知函数（且）．（1）求的定义域；（2）若当时，函数在有且只有一个零点，求实数b的范围；（3）是否存在实数a,使得当定义域为时，值域为，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）由，得或．所以的定义域为．（2）令，可知在上为增函数，可得，且，可知的值