2023-2024学年山东省淄博市高二下学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省淄博市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列，则（）A.-5 B.18 C.23 D.28【答案】B【解析】.故选：B.2.若函数满足则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据导数的定义知，，则.故选：A.3.设是等比数列，且，则公比（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】由是等比数列，又，则；则；可得，即；故选：A4.在的展开式中，含的项的系数为（）A. B.280 C.560 D.【答案】B【解析】的二项式展开式的通项公式为，,令，可得，所以，故含项的系数为.故选：B.5.某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（）A.12种 B.24种 C.30种 D.60种【答案】C【解析】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区，所以不同选法有（种）.故选：C6.直线与曲线相切，则实数k的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】设直线与曲线的切点为由，所以，解得所以故选：C7.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.8.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数．原不等式可化为，即，结合，可得，所以原不等式的解集为．故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C. D.【答案】AC【解析】由随机变量可得；若，利用期望值性质可得，即A正确；若，由方差性质可得，即B错误；由正态分布密度曲线可知其关于对称，利用对称性可得，即C正确；利用对称性可得，显然，即，所以，而，所以；即D错误；故选：AC10.若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（）A有两个极大值点 B.有一个极小值点C. D.【答案】AB【解析】由题意可知：当时，f'x当时，；可知在内单调递增，在单调递减，可知：，，且的极大值点为，极小值点为，故AB正确；CD错误.故选：AB.11.南宋数学家杨辉在《详析九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，则数被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为，设其通项公式则下列结论中正确的是（）A.数列的公差为2 B.C.数列的前7项和最大 D.【答案】BD【解析】因为二阶等差数列，其前6项分别为4，8，10，10，8，4，从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前5项为，易知新数列的公差为，即数列的公差为，即A错误.易知是以首项为4，公差为的等差数列，利用等差数列前项和公式可得,即B正确.由等差数列通项公式可得，所以，，……，，累加可得；，利用二次函数性质可知当时，数列单调递减，且前6项均为正数，易知，所以，因此数列的前6项和最大，即C错误；由可得，即D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若二项展开式,则______.【答案】2【解析】令，于是得，而，所以.故答案为：213.已知随机变量的分布列如下：012若，则________．【答案】【解析】由，得，解得，依题意.故答案为：14.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为.根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____．【答案】【解析】记“利率下调”为事件，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件，由题意知：，，，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求并写出的表达式；（2）证明：.解：（1）由有，取得到，解得.将代入可得.（2）设，则，故当时，当时.所以在上递减，在上递增，故.从而.16.近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为.（1）随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：成年男性成年女性合计养宠物386098不养宠物6240102合计100100200依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关?（2）记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元）,由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y,关于x的回归方程为，且.求相关系数r并判断该回归方程是否有价值.参考公式及数据：，其中.0.100.050.012.7063.8416.635回归方程其中，相关系数；若，则认为y与x有较强的相关性.其中.解：（1）零假设为：认为养宠物与性别无关；，依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关.（2）由的取值依次为得，回归方程为，，，，,与有较强的相关性，该回归方程有价值.17.在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数.（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和；（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和；解：（1）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，所以随机变量，所以，.（2）由小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，且每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，随机变量X服从超几何分布，则，可得，所以的分布列为23418.已知数列的前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）数列的通项，求的前项和；（3）在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前项和，求的值．解：（1）因为，所以，则，当时，，当时，，当时也成立，所以an通项公式为.（2）由（1）可知，所以，所以，则，所以；（3）由题意，数列元素依次为，在到之间的个数为，故到处共有个元素，所以前项中含及个，故.19.已知函数．（1）讨论函数单调性；（2）若函数有两个极值点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：函数有且只有一个零点．解：（1）函数的定义域为，且，当时，恒成立，所以在单调递减；当时，令，即，解得，，因为，所以，则，所以当时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时，此时，所以时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减．综上可得：当时在单调递减；当时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；当时在上单调递增，在上单调递减．（2）（ⅰ）由（1）可知．（ⅱ）由（1）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，所以，则，又，又，所以在上没有零点，又，则，则，，则，所以，所以在上存在一个零点，综上可得函数有且只有一个零点．山东省淄博市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列，则（）A.-5 B.18 C.23 D.28【答案】B【解析】.故选：B.2.若函数满足则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据导数的定义知，，则.故选：A.3.设是等比数列，且，则公比（）A. B.2 C. D.8【答案】A【解析】由是等比数列，又，则；则；可得，即；故选：A4.在的展开式中，含的项的系数为（）A. B.280 C.560 D.【答案】B【解析】的二项式展开式的通项公式为，,令，可得，所以，故含项的系数为.故选：B.5.某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（）A.12种 B.24种 C.30种 D.60种【答案】C【解析】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区，所以不同选法有（种）.故选：C6.直线与曲线相切，则实数k的值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】设直线与曲线的切点为由，所以，解得所以故选：C7.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.8.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】设，则，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数．原不等式可化为，即，结合，可得，所以原不等式的解集为．故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知随机变量，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C. D.【答案】AC【解析】由随机变量可得；若，利用期望值性质可得，即A正确；若，由方差性质可得，即B错误；由正态分布密度曲线可知其关于对称，利用对称性可得，即C正确；利用对称性可得，显然，即，所以，而，所以；即D错误；故选：AC10.若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（）A有两个极大值点 B.有一个极小值点C. D.【答案】AB【解析】由题意可知：当时，f'x当时，；可知在内单调递增，在单调递减，可知：，，且的极大值点为，极小值点为，故AB正确；CD错误.故选：AB.11.南宋数学家杨辉在《详析九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列，则数被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为，设其通项公式则下列结论中正确的是（）A.数列的公差为2 B.C.数列的前7项和最大 D.【答案】BD【解析】因为二阶等差数列，其前6项分别为4，8，10，10，8，4，从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前5项为，易知新数列的公差为，即数列的公差为，即A错误.易知是以首项为4，公差为的等差数列，利用等差数列前项和公式可得,即B正确.由等差数列通项公式可得，所以，，……，，累加可得；，利用二次函数性质可知当时，数列单调递减，且前6项均为正数，易知，所以，因此数列的前6项和最大，即C错误；由可得，即D正确.故选：BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若二项展开式,则______.【答案】2【解析】令，于是得，而，所以.故答案为：213.已知随机变量的分布列如下：012若，则________．【答案】【解析】由，得，解得，依题意.故答案为：14.人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为，利率不变的概率为.根据经验,人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为，则该支股票将上涨的概率为_____．【答案】【解析】记“利率下调”为事件，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件，由题意知：，，，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知.（1）求并写出的表达式；（2）证明：.解：（1）由有，取得到，解得.将代入可得.（2）设，则，故当时，当时.所以在上递减，在上递增，故.从而.16.近年来，养宠物的人越来越多，在供需端及资本的共同推动下中国宠物经济产业迅速增长，数据显示，目前中国养宠户数在全国户数中占比为.（1）随机抽取200名成年人，并调查这200名成年人养宠物的情况，统计后得到如下列联表：成年男性成年女性合计养宠物386098不养宠物6240102合计100100200依据小概率值的独立性检验，判断能否认为养宠物与性别有关?（2）记2018-2023年的年份代码x依次为中国宠物经济产业年规模为y（单位：亿元）,由这6年中国宠物经济产业年规模数据求得y,关于x的回归方程为，且.求相关系数r并判断该回归方程是否有价值.参考公式及数据：，其中.0.100.050.012.7063.8416.635回归方程其中，相关系数；若，则认为y与x有较强的相关性.其中.解：（1）零假设为：认为养宠物与性别无关；，依据小概率值的独立性检验，可以认为养宠物与性别有关.（2）由的取值依次为得，回归方程为，，，，,与有较强的相关性，该回归方程有价值.17.在一个不透明的密闭纸箱中装有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球，2个黑球.小张每次从纸箱中随机摸出一个小球观察其颜色，连续摸4次，记随机变量为小张摸出白球的个数.（1）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后放回纸箱，求和；（2）若小张每次从纸箱中随机摸出一个小球后不放回纸箱，求的分布列和；解：（1）由小张每次从纸箱