2023-2024学年四川省眉山市东坡区高二下学期6月期末联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A2.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，…第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，故选：D3.如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知B在直角梯形中，因为B为的中点，，所以，连接，易证四边形为矩形，所以，所以为异面直线与所成的角，在中，，所以,连接，在中，由，，得；在中，，所以，故选：B.4.“”是“直线和直线平行”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线和直线平行且或；当时，直线和直线不平行；当时，直线和直线不平行．所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.故选：C．5.小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为，所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.故选：C.6.已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（）A.2 B. C.8 D.【答案】A【解析】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，由直线与直线垂直，得，解得，当时，圆：，即的圆心，半径，而圆：的圆心，半径，于是，则圆与圆相交，符合题意，所以的值为2.故选：A7.已知点，，，，则直线，的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.异面【答案】D【解析】因为点，，，，所以，，，因为不存在实数，使得，所以、不共线，所以直线，不平行，不重合，故选项A、D不正确；假设、、三个向量共面，设，则，此方程组无解，可得、、三个向量不共面，所以直线，不相交，所以直线，异面，故选：D.8.已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，，由，则，显然，则整理可得，由，则，解得，由双曲线的定义可知：，则，整理可得，化简可得，由，且，则，可得或，解得或，所以，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,C,其中,,，，，则（）A.事件A与B互斥 B.事件A与B相互独立C.事件A与C互斥 D.事件A与C相互独立【答案】AD【解析】因，由已知得：，，即事件A与B互斥，A正确；因，，，，事件A与B不独立，B不正确；因，由已知得：，，即事件A与C不互斥，C不正确；因，，，有，事件A与C相互独立，D正确.故选：AD10.如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（）A.三棱锥的体积是B.平面C.平面与平面所成的二面角为D.异面直线与所成角的范围是【答案】ABD【解析】A：，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时得，故A正确；B：连接，，，，易证面面，又面，所以面，故B正确；C：根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，故C错误；D：由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故D正确.故选：ABD．11.数列满是，则（）A.数列的最大项为 B.数列的最大项为C.数列的最小项为 D.数列的最小项为【答案】BD【解析】因为，所以，由，得到，且易知，时，，当时，，所以所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD.12.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（）A.C的准线方程为B.C.若点，则D.设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上【答案】AD【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，设直线，联立方程组，整理得，可得，所以，所以B错误；若点，则，所以，所以，，所以，所以C错误；又由直线，联立方程组，解得，由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线上一点到焦点的距离为__________．【答案】3【解析】因为，所以点在该抛物线上，又抛物线准线方程为：，所以点到焦点的距离为：，故答案为：314.已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是_______【答案】【解析】因为对一切正整数n均有且恒成立，所以，化简得到，的最小值为3.所以，故答案为：.15.已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________．【答案】【解析】设切线长最小时直线上对应的点为，则又，因为切线长的最小值为故，解得，故直线的斜率为.故答案为：.16.已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的_______①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线【答案】②③【解析】对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，对于A，，，，则，则，即此时仅有，所以轨迹是一个点，故①错误；对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，由于，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，若到直线，距离相等，即，因为，所以，则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确，对于③，若到直线，距离相等，面，面，所以，所以到直线的距离为到点的距离，则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确；故答案为：②③.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线；（1）证明：直线l过定点；（2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．解：（1）由直线方程可得，，，直线l过恒过定点.（2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，此时直线l与过点与定点的直线垂直，则过与定点的直线的斜率为，所以，所以．18.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.解：（1）设，由，得，化简得，所以P点的轨迹的方程为.（2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；当直线l的斜率存在时，设，即，于是，解得，因此直线的方程为，即，所以直线l的方程为或.19.已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．（1）求的值；（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．解：（1）当斜率为时，由得，恰好经过坐标原点，不妨设，则为抛物线上的点．代入抛物线的方程得，解得．（2）由（1）可知抛物线的焦点．当经过时，其方程为．将其与抛物线的方程联立得．设，，则，．因此的面积．20.眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响.（1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率；（2）求甲队得2分乙队得1分的概率.解：（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率；甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率；（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件；事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对，则，甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生，则．21.如图,在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．解：（1）因为，点O是的中点，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，而平面，所以；（2）设为的中点，连接，因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面，所以，因此建立如图所示的空间直角坐标系，，因为平面平面，平面平面，，所以平面，因此平面的法向量为，设平面的法向量为，，于是有，二面角的余弦值为：；（3）假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此，由（2）可知平面的法向量为，因为平面，所以，因此假设成立，.22.已知椭圆的一个顶点为，焦距为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．解：（1）依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得.四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题注意事项：1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A2.图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2，第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3，第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4，…第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为，故选：D3.如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知B在直角梯形中，因为B为的中点，，所以，连接，易证四边形为矩形，所以，所以为异面直线与所成的角，在中，，所以,连接，在中，由，，得；在中，，所以，故选：B.4.“”是“直线和直线平行”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线和直线平行且或；当时，直线和直线不平行；当时，直线和直线不平行．所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.故选：C．5.小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为，所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为.故选：C.6.已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（）A.2 B. C.8 D.【答案】A【解析】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，由直线与直线垂直，得，解得，当时，圆：，即的圆心，半径，而圆：的圆心，半径，于是，则圆与圆相交，符合题意，所以的值为2.故选：A7.已知点，，，，则直线，的位置关系是（）A.平行 B.相交 C.重合 D.异面【答案】D【解析】因为点，，，，所以，，，因为不存在实数，使得，所以、不共线，所以直线，不平行，不重合，故选项A、D不正确；假设、、三个向量共面，设，则，此方程组无解，可得、、三个向量不共面，所以直线，不相交，所以直线，异面，故选：D.8.已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，，，由，则，显然，则整理可得，由，则，解得，由双曲线的定义可知：，则，整理可得，化简可得，由，且，则，可得或，解得或，所以，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于一个古典概型的样本空间和事件A,B,C,其中,,，，，则（）A.事件A与B互斥 B.事件A与B相互独立C.事件A与C互斥 D.事件A与C相互独立【答案】AD【解析】因，由已知得：，，即事件A与B互斥，A正确；因，，，，事件A与B不独立，B不正确；因，由已知得：，，即事件A与C不互斥，C不正确；因，，，有，事件A与C相互独立，D正确.故选：AD10.如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（）A.三棱锥的体积是B.平面C.平面与平面所成的二面角为D.异面直线与所成角的范围是【答案】ABD【解析】A：，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时得，故A正确；B：连接，，，，易证面面，又面，所以面，故B正确；C：根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，故C错误；D：由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故D正确.故选：ABD．11.数列满是，则（）A.数列的最大项为 B.数列的最大项为C.数列的最小项为 D.数列的最小项为【答案】BD【解析】因为，所以，由，得到，且易知，时，，当时，，所以所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD.12.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（）A.C的准线方程为B.C.若点，则D.设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上【答案】AD【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，设直线，联立方程组，整理得，可得，所以，所以B错误；若点，则，所以，所以，，所以，所以C错误；又由直线，联立方程组，解得，由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.抛物线上一点到焦点的距离为__________．【答案】3【解析】因为，所以点在该抛物线上，又抛物线准线方程为：，所以点到焦点的距离为：，故答案为：314.已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是_______【答案】【解析】因为对一切正整数n均有且恒成立，所以，化简得到，的最小值为3.所以，故答案为：.15.已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________．【答案】【解析】设切线长最小时直线上对应的点为，则又，因为切线长的最小值为故，解得，故直线的斜率为.故答案为：.16.已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的_______①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线【答案】②③【解析】对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为，对于A，，，，则，则，即此时仅有，所以轨迹是一个点，故①错误；对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为，由于，又因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以，若到直线，距离相等，即，因为，所以，则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确，对于③，若到直线，距离相等，面，面，所以，所以到直线的距离为到点的距离，则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确；故答案为：②③.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线；（1）证明：直线l过定点；（2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值．解：（1）由直线方程可得，，，直线l过恒过定点.（2）由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离，此时直线l与过点与定点的直线垂直，则过与定点的直线的斜率为，所以，所以．18.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足（1）求动点P的轨迹C的方程（2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.解：（1）设，由，得，化简得，所以P点的轨迹的方程为.（2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；当直线l的斜率存在时，设，即，于是，解得，因此直线的方程为，即，所以直线l的方程为或.19.已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．（1）求的值；（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．解：（1）当斜率为时，由得，恰好经过坐标原点，不妨设，则为抛物线上的点．代入抛物线的方程得，解得．（2）由（1）