10 3　二项分布 超几何分布及正态分布-2026版53高考数学总复习A版精炼

10.3二项分布、超几何分布及正态分布高考新风向·回顾教材思维引导回归本质(多选)(2024新课标Ⅰ,9,6分,中)随着“一带一路”国际合作的深入,某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x,s2),则(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8413) ()A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8本题是对正态分布的考查,此类问题多利用正态分布曲线的对称性,本题也不例外.题目给出的实际上是两个随机变量,它们都满足正态分布,分析出它们对应的μ和σ,结合题目给出的概率数据,利用对称性就可以分析出四个选项中相应概率的范围.答案BC五年高考考点1二项分布1.(2019课标Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是.

答案0.182.(2018课标Ⅰ理,20,12分,易)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17·(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时,f'(当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0.所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>400,故应该对这箱余下的所有产品作检验.3.(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)解析(1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)=200600=13;故P(B)=300400(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为13;“该校女生支持方案一”的概率估计值为3设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为P(C)=13(3)p1<p0.由样本的频率估计总体概率,该校学生支持方案二的概率估计值为p0=350+150600+400该校一年级男生中支持方案二的约有350350+250×500≈292人,该校一年级女生中支持方案二的约有150250+150×300≈113人,假设一年级学生中支持方案二的概率为p2,则p2=(292+113)÷(500+300)=81160则p2>p0,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1<p0.考点2超几何分布1.(2022浙江,15,6分,中)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=,E(ξ)=.

答案1635;2.(2023全国甲理,19,12分,中)一项试验旨在研究臭氧效应,试验方案如下:选40只小白鼠,随机地将其中20只分配到试验组,另外20只分配到对照组,试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境,对照组的小白鼠饲养在正常环境,一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位:g).(1)设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数,求X的分布列和数学期望.(2)试验结果如下:对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数,完成如下列联表:<m≥m对照组试验组(ii)根据(i)中的列联表,能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异?附:K2=n(P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解析(1)依题意得,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C20P(X=1)=C20P(X=2)=C20∴X的分布列为X012P192019∴E(X)=0×1978+1×(2)(i)依题意可得m=23.2+23.62=23.4则对照组样本中小于m的数据的个数为6,试验组样本中小于m的数据的个数为14,则列联表为<m≥m对照组614试验组146(ii)由(i)中列联表可得K2=40×(6×6−14×14)220×20×20×20=6.4>3∴有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.考点3正态分布1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),则下列结论中不正确的是()A.σ越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大B.该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C.该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D.该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等答案D2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X>2.5)=.

答案0.143.(2017课标Ⅰ理,19,12分,中)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望.(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116i=116xi=9.97,116i=116(xi−x)2=116用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,0.008≈0.09.解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^−3σ^,剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为115×(16×9.97-9.22)=10i=116xi2=16×0.2122+16×9.97剔除(μ^−3σ^,μ^+3σ^)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115×(1591.134-9.222因此σ的估计值为0.008≈0.09.三年模拟基础强化练1.(2025届江苏前黄中学检测,4)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,随机变量ξ~N(μ,σ2),其正态密度曲线如图所示,若a1a2=E(ξ)D(ξ),则n的值为(A.5B.8C.9D.14答案A2.(2024湖南师大附中月考六,4)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B3.(2024广东江门二模,7)一箱苹果共有12个苹果,其中有n(2<n<7)个是烂果,从这箱苹果中随机抽取3个,恰有2个烂果的概率为3n55,则n=(A.3B.4C.5D.6答案B4.(2024河南开封第三次质量检测,6)在某项测验中,假设测验数据服从正态分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例将测验数据从大到小分为A,B,C,D四个等级,则等级为A的测验数据的最小值可能是()(附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)A.94B.86C.82D.78答案C5.(2025届重庆实验外国语学校第三次考试,16)某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况,在市内随机抽取了1000名市民进行问卷调查,问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.(1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数;(2)若本次问卷调查得分超过80分,则认为该市民对“数博会”的关注度较高,现从市内随机抽取3名市民,记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.解析(1)由问卷调查的成绩ξ近似服从正态分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3,得P(ξ>80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,1000×0.2=200,所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为200.(2)由(1)知,事件“对‘数博会’的关注度较高”的概率为P=15X的可能取值为0,1,2,3,易知X~B3,1则P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列为X0123P6448121X的数学期望为E(X)=3×15能力拔高练1.(2025届湖北新高考协作体开学考,8)小明有一枚质地不均匀的骰子,每次掷出后出现1点的概率为p(0<p<1),他掷了k次骰子,最终有6次出现1点,但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量X表示每掷N次骰子出现1点的次数,现以使P(X=6)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=6)最大,则取其中的最小N值)下列说法正确的是()A.E(X)>6B.E(X)<6C.E(X)=6D.E(X)与6的大小无法确定答案B2.(2024辽宁省三所重点中学第三次模拟,19)某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝动物数量有大幅度增加.已知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小组计划在该区域中捕捉100只动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立.(1)求X1的分布列.(2)记随机变量X=120i=120Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+(i)证明:E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1(ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分别代替E(X)和D(X),给出M,N的估计值.已知随机变量X服从超几何分布记为X~H(P,n,Q)(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则D(X)=nQP1−解析(1)依题意,X1服从超几何分布,故X1的分布列为P(X1=k)=CMkCN100−kCM+X101…99100PCC…CC(2)(i)证明:由题可知Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,所以E(X1)=E(X2)=…