湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期7月期末质量检测数学试题（含答案）

第第页湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期7月期末质量检测数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A=x1<x2<9A．−3,2 B．−2,3C．−3,−2∪2,3 2．若复数z=1+i，则iA．1 B．5 C．255 3．已知a,b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为12b，则向量A．30° B．60° C．90° D．120°4．已知α∈0,π2，且cosA．3 B．5 C．7 D．155．将5本不同的书（2本文学书、2本科学书和1本体育书）分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为（）A．78 B．92 C．100 D．1226．已知等差数列an的公差为π3，且集合M=xx=sinA．14 B．−14 C．17．如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，点P是双曲线C的渐近线上的一点，点MA．3 B．2 C．5 D．38．已知函数f(x)=lnx,x>11−x3A．−34,0 B．−∞,−34 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列命题正确的是（）A．数据4,6,7,7,8,9,11,14,15,19的75%B．已知变量x,y的线性回归方程y=0.3x−x，且yC．已知随机变量X∼B7,0.5,PX=kD．已知随机变量X∼N0,1,P10．六氟化硫，化学式为SF6A．该正八面体结构的表面积为2B．该正八面体结构的体积为2C．该正八面体结构的外接球表面积为2D．该正八面体结构的内切球表面积为211．“最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为x=Rθ−sinθy=R1−cosθA．点PπB．函数fxC．函数fxD．当R=1时，函数f（x）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，c=acosB+2cosA，2b=c，若cosC=−13．已知椭圆C：x2a2+y2=1a>1的左，右焦点分别是F1,F2,P是椭圆C上第一象限内的一点，且△PF1F2的周长为4+23.过点P作C的切线14．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且a4+b4+c4四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15．已知函数f(x)=e（1）当a=1时，求f(x)在区间[0,π]上的最值；（2）当x∈(0,π]时，f(x)>0，求a的取值范围．16．已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1如图所示，底面ABCD为平行四边形，其中点D（1）求证：平面A1BD⊥平面（2）已知点E在线段C1D上（不含端点位置），且平面A1BE与平面BCC17．某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B（1）记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为1①求Qn②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.18．过抛物线外一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称△PAB为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点P是圆Q:x2+(y+5)2=4上的动点，△PAB是抛物线Γ:（1）求抛物线Γ的方程；（2）利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；（3）设D是“圆边形”的抛物线弧AB上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线l交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：AM⋅19．若数列xn满足：存在等差数列cn，使得集合xn+cn∣n∈（1）已知数列an满足a1=2，an+1=an（2）若数列an有Qk1性质，数列bn有Qk（3）记Tn为数列fn的前n项和，若数列Tn具有Qk性质，是否存在m∈N

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A=x1<xB=x所以A∩B=−2,−1故选：D.

【分析】先求出两个集合，再根据交集的定义（交集是由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，‌称为集合A和B的交集）即可得解.2．【答案】D【解析】【解答】解：iz+1故选：D．

【分析】利用复数的四则运算（加法和减法的运算法则是将两个复数的实部和虚部分别相加或相减，结果仍然是一个复数。乘法的运算法则是将两个复数的实部和虚部分别相乘，然后按照特定的方式组合，结果也是一个复数）先化简iz+13．【答案】B【解析】【解答】解：因为向量a在向量b上的投影向量为12b，所以acos所以cosa,b所以a,所以a⋅又a=1所以cosa,a所以向量a与向量a−b的夹角为π3故选：B.

【分析】由条件结合投影向量的定义（投影向量是将一个向量投影到另一个向量上得到的向量）可求a,4．【答案】D【解析】【解答】解：因为α∈0,π2所以cosα−由题意知α≠π所以sinπ4−α所以sinπ则tanα+故选：D

【分析】根据题意，由正弦的二倍角公式代入计算可得sinπ5．【答案】C【解析】【解答】解：若将体育书分给甲，当剩余4本书恰好分给乙、丙时，此时的分配方法有C4当剩余4本书恰好分给甲、乙、丙三人时，此时的分配方法有C4综上，将体育书分给甲，不同的分配方法数是14+36=50.同理，将体育书分给乙，不同的分配方法数也是50.故不同的分配方法数是50+50=100.故选：C

【分析】分体育书分给甲和乙两种情况求解.6．【答案】A【解析】【解答】解：有等差数列可知an=nπ3+a1−π3，x=sinnπ3+a由题意知，这6个式子只能取到4个不同的值.借助三角函数的定义，即在单位圆上有6个点均分圆周，且这6个点的纵坐标只能取到4个不同的值（如图所示），于是集合M=−1,−即所有元素乘积为−1×故选：A.

【分析】根据等差数列的通项公式可得an，进而可得x=sinnπ37．【答案】A【解析】【解答】解：因为四边形OFPM是一个平行四边形，且OM⊥OP，如图所示：

可得∠OPF=90o，即FP⊥OP由双曲线C:x2a2−y2可得PF=bcb因为直线OP:y=bax又因为MP=OF=c，所以M(代入双曲线C方程，可得b4a2所以b4−a4=所以离心率e=1+故选：A.【分析】根据题意，得到FP⊥OP，求得PF=b且OP=a，进而得到P(a2c,abc)8．【答案】C【解析】【解答】解：函数f(x)=ln①因为当直线y=ax−1与曲线y=lnx相切于点1,0所以当a=0或a≥1时，直线y=ax−1与函数f(x)当0<a<1时，直线y=ax−1与函数f(x)②当直线y=ax−1与曲线y=1−设切点为x0,1−x化简得−3x02x0−1=1−x0当−34<a<0时，直线y=a当a=−34或a≤−3时，直线y=ax−1当−3<a<−34时，直线y=ax−1综上a的取值范围是−3,−3故选：C.

【分析】画出函数的图象，数形结合讨论，将零点转换成分段函数f(x)与函数y=ax−1的交点，①当直线y=ax−1与曲线y=lnx相切于点1,0时，a=1，推出直线y=ax−1与函数f(x)的图象恰有3个交点时a的范围；②当直线y=ax−1与曲线y=1−x3相切时，设切点为x0,1−x03，通过a9．【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，因为10×75%=7.5，所以这组数据的对于B，因y=0.3x−x过点(x,y对于C,由PX=kP由8k−1>1⇔1≤k<4,此时，8k−1=1⇔k=4,此时，8k−1<1⇔4<k≤7此时故P(X=0)<P(X=1)<P(X=2)<P(X=3)=P(X=4)>P(X=5)>P(X=6)>P(X=7)，即PX=k最大时，k对于D，X∼N0,1故选：BD.

【分析】对于A，利用百分位数的定义（‌百分位数的计算方法是将一组数据从小到大排序，并计算相应的累计百分位，则某一百分位所对应数据的值就称为这一百分位的百分位数）即可求得；对于B，因线性回归方程必经过样本中心点，代入(x,y)即可求得；对于C，作商PX=kPX=k−1，对结果进行分类讨论，从而完成P10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对A：由题知，各侧面均为边长为m的正三角形，故该正八面体结构的表面积S=8×3对B：连接AS,PS，则AS=PS=22m，PS⊥故该正八面体结构的体积V=2×1对C：底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径R=PS=2故该正八面体结构的外接球表面积S'对D：该正八面体结构的内切球半径r=3V故内切球的表面积S″故选：ACD．

【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：当θ=π时，x=因−x=−R故当x变为−x时，θ变为−θ，此时y的值不变，即f−x=fx因x+2πy=R所以当x变为x+2πR时，θ变为θ+2πR，此时故函数fx是周期为2πR当R=1时，x=θ−sinθ,x当x=1−π2时，θ=−π2，当而y=1−cosθ在即当x∈1−π2，0时，θ随着x的增加在−故y=fx在1−故选：ABD.

【分析】用θ=π来可判断A选项；由奇偶性的定义（一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x）=f(x)，那么函数f(x)就叫偶函数。一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x），那么函数f(x)就叫奇函数）可判断B选项；结合周期函数的定义，x变为x+2πR即可判断C选项；先利用导数判断x=θ−sinθ的单调性，进而求x12．【答案】3【解析】【解答】解：由三角形中的射影定理c=acosB+bcosA又∵2b=c，∴c=4，由c2=a解得a=3(负值舍去)，∴三角形的面积为12故答案为：3154.

【分析】由三角形中的射影定理c=acosB+bcosA13．【答案】2【解析】【解答】解：设直线方程为y=kx+mk<0,m>0因为△PF1F2的周长为4+23所以a=2,c=3，所以椭圆C:联立y=kx+mx2+4所以Δ=64k2m又因为y=kx+mk<0,m>0与坐标轴交于−所以S△AOB取等号时k=−1所以△AOB面积的最小值为2，故答案为：2.

【分析】设出直线l的方程y=kx+mk<0,m>0，根据焦点三角形的周长求解出a,c的值，则椭圆方程可求，联立椭圆方程与抛物线方程并根据相切关系对应的Δ=0求解出k,m的关系式，然后表示出△AOB14．【答案】(1,【解析】【解答】解：在△ABC中，由a4+b两边加a2b2得(解得a2+b当a2+b2−则C=π3，由c为最大边，得C为最大角，于是A=B=C=π3，当a2+b2−c2=−ab时，令A=π6+θ,B=由正弦定理得a+bc所以a+bc的取值范围是(1,故填：(1,233]∪{2}

【分析】变形给定的等式，结合余弦定理（三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即c2=a2+b2−2abcosC）求得C=π15．【答案】解：（1）当a=1时，f(x)=ex当x∈[0，π]时，ex−1⩾e0−1=0∴f(x)在[0，π]上单调递增，∴f(x)min=f(0)=0（2）当x∈(0，π]时，f(x)>0⇔f'∵x∈(0，π]，∴ex−1>0∴当a⩾0时，f'∴f(x)在[0，π]上单调递增，∴f(x)∴1−a⩾0，∴0⩽a⩽1，∴a的取值范围为[0，1]．【解析】【分析】（1）先求出函数f(x)的导数，根据x的范围可得f'（2）先得到x∈(0，π]时，f(x)>0⇔(ex16．【答案】（1）证明：不妨设AD=1，因为A1D⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，故在△ADB中，AB=2,AD=1,∠DAB=60由余弦定理，BD得BD=3，故AD2因为A1D∩DB=D,A1D,DB⊂平面A而AD⊂平面ADD1A1，所以平面（2）解：由（1）知，DA,DB,DA如图所示，以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系D−xyz，则D0,0,0故AC=∴C1−2,设DE=λDC10<λ<1所以A1设n=x1则n⋅令z1=2λ，则y1因为y轴⊥平面BCC1B1，则可取设平面A1EB与平面BCC则cosα=解得λ=14，故​​​​​​​【解析】【分析】（1）不妨设AD=1，根据线面垂直的性质（如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面）证明A1D⊥AD，利用勾股定理（直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方）证明（2）以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系D−xyz，利用向量法求解即可.（1）不妨设AD=1，因为A1D⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD，故在△ADB中，AB=2,AD=1,∠DAB=60由余弦定理，BD得BD=3，故AD2因为A1D∩DB=D,A1D,DB⊂平面A而AD⊂平面ADD1A1，所以平面（2）由（1）知，DA,DB,DA如图所示，以D为坐标原点，建立的空间直角坐标系D−xyz，则D0,0,0故AC=∴C1−2,设DE=λDC10<λ<1所以A1设n=x1则n⋅令z1=2λ，则y1因为y轴⊥平面BCC1B1，则可取设平面A1EB与平面BCC则cosα=解得λ=14，故17．【答案】解：（1）若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2，A3玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各②若其中两个玩偶各2个，另外两个玩偶1个，则共有C3故PE若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为故PF（2）①由题可知：Q1当n≥2时，Qn=14Qn−1+121−Q所以Qn−2②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n→+∞，所以，其购买甲系列的概率近似于25假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ∼B100,所以Eξ=100×25=40所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个.【解析】【分析】（1）计算一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，利用排列与组合计算当集齐A1，A2，A3玩偶的所有情况总数，然后得到（2）①由题意可得Q1=23，当n≥2时，Qn=14Q18．【答案】（1）解：由题意得，因为Q0,−5所以|PF|所以Γ​​​​​​（2）解：设AB:y=kx+m,Ax1,x1212,Bx2,x2212，联立x2=12yy=kx+m⇒x2−12kx−12m=0，Δ=483k2+m>0，

设方程的两根为x1,x2，则x1+x2=12k,x1x2=−12m，

因为x2=12y⇒y'=x6，所以PA:y−x12（3）证明：由（2）知，xP设Bx3,y3，过B过B点切线交PA:y=x16因为AMMPNPBN所以AMMP=NP【解析】【分析】（1）根据圆的几何性质可知|PF|min=|QF|−r（2）根据弦长公式求出弦长AB，根据点到直线的距离公式可得点P到直线的距离，可得出△PAB面积，由P点在圆上，参数m的取值范围，进而可得面积取值范围，再由“囧边形”面积与△PAB面积关系得解；（3）求出过D点切线方程，联立PA,PB可得M,N横坐标，据此利用横坐标可得AMMP（1）由题意得，Q0,−5由|PF|所以Γ（2）设AB:联立x2=12yy=kx+m设方程的两根为x1,x由x