2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市朝阳区青苗国际学校常营校区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以，故选：A.2.下列关系中正确的个数是（）①；②；③；④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】对①：为有理数，则成立，①正确；对②：为实数，则不成立，②错误；对③：为自然数，成立，③正确；对④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误；故正确的有2个.故选：B.3.“”是“关于x的函数单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，由一次函数的性质得，函数单调递增，故充分；若函数单调递增，则，故必要；所以“”是“关于x的函数单调递增”的充要条件，故选：C4.设，，则两数最精确的关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.5.若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A：当，时满足，但是，故A错误；对于B：当，时满足，但是，故B错误；对于C：当，时满足，但是，故C错误；对于D：若，则，所以，则，故D正确；故选：D6.一元二次不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】不等式可化为，解得，不等式的解集为．故选：．7.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；对于D中，函数定义域为，的定义域为，且，所以它们是同一函数，故D正确；故选：D.8.函数y＝|x－3|－|x＋1|的()A.最小值是0，最大值是4 B.最小值是－4，最大值是0C.最小值是－4，最大值是4 D.没有最大值也没有最小值【答案】C【解析】因为y＝|x－3|－|x＋1|，所以最小值是－4，最大值是4，选C.9.若实数，且，则（）A.有最大值为 B.有最小值为C.有最小值为 D.无最小值【答案】B【解析】因为，所以当且仅当即时取“”，故选：B.10.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|<1解集的补集是（）A.（-1，2） B.（1，4）C.（-∞，1]∪[4，+∞） D.（-∞，-1]∪[2，+∞）【答案】D【解析】不等式可变形为，∵，是函数图象上两点，∴，，∴等价于不等式，又因为函数是上的增函数，∴等价于，解得，∴不等式的解集为：，∴其补集为：．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知集合，，若，则的取值范围是___________.【答案】[2,+∞)【解析】∵集合，，，∴.∴的取值范围是[2,+∞).故答案为：[2,+∞).12.用符号语言表示命题：对于所有的实数x，满足：__________；该命题的否定为：___________.【答案】①，；②，.【解析】命题“对于所有的实数x，满足”的符号语言表示：，；该命题的否定为：，.故答案为：，；，.13.已知，则的最小值为________．【答案】4【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：414.若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______________.【答案】【解析】当时，则化为（不恒成立，舍），当时，要使对一切恒成立，需，即，即a的取值范围是.故答案为：.15.已知是偶函数，当时，，则当时，_________．【答案】【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：16.若，若则________.【答案】或【解析】当时，由，得，解得．当时，由，得，即，所以解得或（舍去）．故答案为：或．三、解答题：本大题共4小题，共30分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合,，且,求x的值.解：，，,根据集合的性质，当，解得：或，当时，解得或0，根据集合的互异性可知，，故，或．18.某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？解：设广告牌的长为，则宽为.设广告牌的面积为.则.当时，y取最大值.此时宽为.∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大.19.已知幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，（1）求的值.（2）若，求的取值范围.解：（1）因为幂函数在上单调递减，所以，解得，又，所以，当时，，当时，，因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，因此；（2）由（1）可得，故为，因为在上均为减函数，所以等价于：或或解得或，故的取值范围为或.20.已知函数，．（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当时，证明：函数在上单调递减；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．（1）解：函数为奇函数，理由如下：函数的定义域为，关于原点对称.，所以是奇函数.（2）证明：任取，则.因为，所以，又，所以，所以，所以函数在0,1上单调递减.（3）解：.令(且)，则有恒成立.当时显然恒成立；当时，因为对称轴为，故有，即.综上所述，的取值范围是.北京市朝阳区青苗国际学校常营校区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以，故选：A.2.下列关系中正确的个数是（）①；②；③；④A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】对①：为有理数，则成立，①正确；对②：为实数，则不成立，②错误；对③：为自然数，成立，③正确；对④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误；故正确的有2个.故选：B.3.“”是“关于x的函数单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，由一次函数的性质得，函数单调递增，故充分；若函数单调递增，则，故必要；所以“”是“关于x的函数单调递增”的充要条件，故选：C4.设，，则两数最精确的关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.5.若，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】对于A：当，时满足，但是，故A错误；对于B：当，时满足，但是，故B错误；对于C：当，时满足，但是，故C错误；对于D：若，则，所以，则，故D正确；故选：D6.一元二次不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】不等式可化为，解得，不等式的解集为．故选：．7.下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】对于A中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；对于B中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；对于C中，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；对于D中，函数定义域为，的定义域为，且，所以它们是同一函数，故D正确；故选：D.8.函数y＝|x－3|－|x＋1|的()A.最小值是0，最大值是4 B.最小值是－4，最大值是0C.最小值是－4，最大值是4 D.没有最大值也没有最小值【答案】C【解析】因为y＝|x－3|－|x＋1|，所以最小值是－4，最大值是4，选C.9.若实数，且，则（）A.有最大值为 B.有最小值为C.有最小值为 D.无最小值【答案】B【解析】因为，所以当且仅当即时取“”，故选：B.10.已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，-1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|<1解集的补集是（）A.（-1，2） B.（1，4）C.（-∞，1]∪[4，+∞） D.（-∞，-1]∪[2，+∞）【答案】D【解析】不等式可变形为，∵，是函数图象上两点，∴，，∴等价于不等式，又因为函数是上的增函数，∴等价于，解得，∴不等式的解集为：，∴其补集为：．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知集合，，若，则的取值范围是___________.【答案】[2,+∞)【解析】∵集合，，，∴.∴的取值范围是[2,+∞).故答案为：[2,+∞).12.用符号语言表示命题：对于所有的实数x，满足：__________；该命题的否定为：___________.【答案】①，；②，.【解析】命题“对于所有的实数x，满足”的符号语言表示：，；该命题的否定为：，.故答案为：，；，.13.已知，则的最小值为________．【答案】4【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.故答案为：414.若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是______________.【答案】【解析】当时，则化为（不恒成立，舍），当时，要使对一切恒成立，需，即，即a的取值范围是.故答案为：.15.已知是偶函数，当时，，则当时，_________．【答案】【解析】由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：16.若，若则________.【答案】或【解析】当时，由，得，解得．当时，由，得，即，所以解得或（舍去）．故答案为：或．三、解答题：本大题共4小题，共30分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设集合,，且,求x的值.解：，，,根据集合的性质，当，解得：或，当时，解得或0，根据集合的互异性可知，，故，或．18.某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？解：设广告牌的长为，则宽为.设广告牌的面积为.则.当时，y取最大值.此时宽为.∴当这个广告牌为边长为的正方形时，面积最大.19.已知幂函数图像关于轴对称，且在上是减函数，（1）求的值.（2）若，求的取值范围.解：（1）因为幂函数在上单调递减，所以，解得，又，所以，当时，，当时，，因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，因此；（2）由（1）可