2024-2025学年北京市房山区高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市房山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D．2.掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（）A.， B.，C. D.【答案】B【解析】首先，我们知道投掷的点数有，对于，符合条件的有，对于，符合条件的有，故，，故B正确.故选：B3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在上单调递减，不合题意；因为不是奇函数，不合题意；因为不是奇函数，不合题意；因为在上单调递增，且，是奇函数，符合题意.故选：C.4.函数的零点个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，在同一坐标系作出两函数图象，从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点，又，所以也是的两个零点，且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点，则总共有3个零点.故选：D.5.供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A.在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人B.在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人C.在这位居民中，月份人均用电量为度D.从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为【答案】C【解析】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是，有（人），故选项A正确；对于B：12月份用电量不低于20度的频率是，有（人），故选项B正确；对于C：12月份人均用电量为：（度），故选项C错误；对于D，用电量在的有：人，所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确.故选：C.6.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为向量，，，所以，即，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.7.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意在平行四边形中，，又是的中点，则，又与交于点，所以，则，所以，又，所以.故选：A.8.若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，任取定义域内任意的，且使，故，，由基本不等式得，当且仅当时取等，而，达不到取等条件，得到成立，即具有性质，故A错误，对于B，令，则，，故，，由对数函数性质得，故，即不具有性质，故B正确，对于C，任取定义域内任意的，且使，，，故，故成立，即具有性质，故C错误，对于D，任取定义域内任意的，且使，，，故，故成立，即具有性质，故D错误.故选：B.9.已知函数且，那么下列命题中的假命题是（）A.若，则或B.若，且，则C.存在正数，使得函数恰有个零点D.不存在实数，使得函数恰有个零点【答案】D【解析】对于A，且，所以或，故A正确；对于B，因为函数，且，为单调函数，，且，所以，故B正确；对于C，当时，作出函数以及函数在点处的切线和函数图象如图所示，由图可知存在正数，使得函数恰有个零点，故C正确；对于D，因为与图象关于直线对称，如图：由图可知当与图象均与直线相交于两点时，图象与函数图象相交于3个点，所以存在实数，使得函数恰有个零点，故D错误.故选：D.10.已知函数且，给出下列四个结论：①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④函数的图象过定点.其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，此时，而，，故函数在其定义域内不单调递减，函数的值域不可能为；即①，②错误，因为，的定义域关于原点对称，故，即，得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确，当时，，故函数的图象过定点，即④正确.综上，其中正确结论的个数是，故B正确.故选：B.二、填空题.11.函数的定义域为_______.【答案】【解析】由题可知，解得12.某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为_______.【答案】【解析】因为抽样比例为，所以岁及以上的职工应抽取(人).13.向量在正方形网格中的位置如图所示.若，则=_______.【答案】4【解析】记正方形网格边长为1，向右的单位向量为，向上的单位向量为，则，，，由得，解得，所以.14.若幂函数同时具有以下三个性质：①的定义域为；②是奇函数；③当时，.则的一个解析式是_______．【答案】（答案不唯一）【解析】满足题设三个性质的函数，如反比例（幂函数）（这类函数就有无数个）.15.已知函数若，则_______；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是_______．【答案】【解析】得（舍去），得，因此的解为和4；再作函数的图象，作直线，由图象可知时，有三个解，当时，，，因此，所以.16.据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为.你认为，，，四个数中与最接近的是_______．（参考数据：）【答案】【解析】，因为，所以，所以，，，四个数中与最接近的是.三、解答题.17.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是.（1）求甲、乙两人都解出这道题目的概率；（2）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；（3）求这道题目被甲、乙两人解出的概率.解：（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”，则.（2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，则.（3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”，则.18.已知向量，．（1）求；（2）若向量满足，求向量；（3）在（2）条件下，若，求实数的值.解：（1）因为向量，，所以.所以.（2）因为，所以.所以.（3）因为，由（2）知，.所以，所以即19.已已知函数的定义域是．（1）求实数a的取值范围；（2）解关于x不等式．解：（1）∵函数的定义域是，∴恒成立，则，解得，∴实数a的取值范围为．（2），即，∵，∴，即，解得，故不等式的解集为．20.已随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大的便利.为了解用户对某款的满意度，随机调研了名用户，调研结果如下表（单位：人）：（1）从所有参与调研的人中随机选取人，求此人“不满意”的概率；（2）若用频率估计概率，从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率；（3）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各选取人，这种抽样是否合理？说明理由．解：（1）所有参与调研的人共有人，不满意的人数是.记事件“从所有参与调研的人中随机选取人，此人不满意”，则所求概率为.（2）参与调研的青年人共有人，满意的有人.记事件“从使用该款的青年人中随机选取人，此人满意”，则的估计值为.参与调研的中年人共有人，满意的有人.记事件“从使用该款的中年人中随机选取人，此人满意”，则的估计值为.则从使用该款的青年人和中年人中各随机选取人，恰有人“满意”的概率估计为，.（3）这种抽样不合理.理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为，满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各选取人不合理.合理的抽样方法是采用分层抽样，根据，，的具体数值来确定抽样的数目.21.已已知函数的定义域为，对任意实数，都有，且当时，.（1）求；（2）证明：当时，；（3）当时，求实数的取值范围.解：（1）因为函数的定义域为，对任意实数都有，且当时，，所以当，时，，即，所以.（2）因为当时，，所以，即，由（1）知，，所以，所以，因为，所以，所以.（3）任取，且，则，由已知条件及（1），（2）可知，.又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以函数的是上的减函数，当时，不等式转化为.因为函数的是上的减函数，所以不等式转化为，即，解得，所以实数的取值范围是或.北京市房山区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷一、单项选择题.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，，所以.故选：D．2.掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件“点数为奇数”，事件“点数为的整数倍”，若，分别表示事件，发生的概率，则（）A.， B.，C. D.【答案】B【解析】首先，我们知道投掷的点数有，对于，符合条件的有，对于，符合条件的有，故，，故B正确.故选：B3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为在上单调递减，不合题意；因为不是奇函数，不合题意；因为不是奇函数，不合题意；因为在上单调递增，且，是奇函数，符合题意.故选：C.4.函数的零点个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，则，在同一坐标系作出两函数图象，从图像知当时，两函数有1个交点，则在上有1个零点，又，所以也是的两个零点，且在时，指数函数增长快于，则后面两函数不会有交点，则总共有3个零点.故选：D.5.供电部门对某社区位居民年月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量（单位：度）分为，，，，五组，整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A.在这位居民中，月份人均用电量人数最多的一组有人B.在这位居民中，月份人均用电量不低于度的有人C.在这位居民中，月份人均用电量为度D.从这位居民中，任选位担任安全用电宣传员，选到的居民人均用电量在一组的概率为【答案】C【解析】对于A：根据频率分布直方图知，人数最多的一组是，有（人），故选项A正确；对于B：12月份用电量不低于20度的频率是，有（人），故选项B正确；对于C：12月份人均用电量为：（度），故选项C错误；对于D，用电量在的有：人，所以1000位居民中任选1位，选到的居民用电量在一组的概率为，故选项D正确.故选：C.6.已知向量，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为向量，，，所以，即，故“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.7.如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依题意在平行四边形中，，又是的中点，则，又与交于点，所以，则，所以，又，所以.故选：A.8.若函数满足：对定义域内任意的，都有，则称函数具有性质.下列函数中不具有性质的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，任取定义域内任意的，且使，故，，由基本不等式得，当且仅当时取等，而，达不到取等条件，得到成立，即具有性质，故A错误，对于B，令，则，，故，，由对数函数性质得，故，即不具有性质，故B正确，对于C，任取定义域内任意的，且使，，，故，故成立，即具有性质，故C错误，对于D，任取定义域内任意的，且使，，，故，故成立，即具有性质，故D错误.故选：B.9.已知函数且，那么下列命题中的假命题是（）A.若，则或B.若，且，则C.存在正数，使得函数恰有个零点D.不存在实数，使得函数恰有个零点【答案】D【解析】对于A，且，所以或，故A正确；对于B，因为函数，且，为单调函数，，且，所以，故B正确；对于C，当时，作出函数以及函数在点处的切线和函数图象如图所示，由图可知存在正数，使得函数恰有个零点，故C正确；对于D，因为与图象关于直线对称，如图：由图可知当与图象均与直线相交于两点时，图象与函数图象相交于3个点，所以存在实数，使得函数恰有个零点，故D错误.故选：D.10.已知函数且，给出下列四个结论：①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④函数的图象过定点.其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，此时，而，，故函数在其定义域内不单调递减，函数的值域不可能为；即①，②错误，因为，的定义域关于原点对称，故，即，得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确，当时，，故函数的图象过定点，即④正确.综上，其中正确结论的个数是，故B正确.故选：B.二、填空题.11.函数的定义域为_______.【答案】【解析】由题可知，解得12.某单位共有名职工，其中岁以下的有人，-岁的有人，岁及以上的有人.现用分层抽样的方法，从中抽取名职工进行问卷调查，则抽取的岁及以上的职工人数为_______.【答案】【解析】因为抽样比例为，所以岁及以上的职工应抽取(人).13.向量在正方形网格中的位置如图所示.若，则=_______.【答案】4【解析】记正方形网格边长为1，向右的单位向量为，向上的单位向量为，则，，，由得，解得，所以.14.若幂函数同时具有以下三个性质：①的定义域为；②是奇函数；③当时，.则的一个解析式是_______．【答案】（答案不唯一）【解析】满足题设三个性质的函数，如反比例（幂函数）（这类函数就有无数个）.15.已知函数若，则_______；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是_______．【答案】【解析】得（舍去），得，因此的解为和4；再作函数的图象，作直线，由图象可知时，有三个解，当时，，，因此，所以.16.据说古印度国王为了奖赏国际象棋的发明者，让他提一个要求.发明者说：我想在棋盘的第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，在第个格子里放上颗麦粒，，每个格子放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的倍，直到第个格子，国王欣然同意.通过计算，该发明者所要求的麦粒数为.你认为，，，四个数中与最接近的是_______．（参考数据：）【答案】【解析】，因为，所以，所以，，，四个数中与最接近的是.三、解答题.17.甲、乙两人独立解同一道数学题目，甲解出这道题目的概率是，乙解出这道题目的概率是.（1）求甲、乙两人都解出这道题目的概率；（2）求甲、乙两人恰有一人解出这道题目的概率；（3）求这道题目被甲、乙两人解出的概率.解：（1）设事件“甲、乙两人都解出这道题目”，则.（2）设事件“甲、乙两人恰有一人解出这道题目”，则.（3）设事件“这道题目被甲、乙两人解出”，则.18.已知向量，．（1）求；（2）若向量满足，求向量；（3）在（2）条件下，若，求实数的值.解：（1）因为向量，，所以.所以.（2）因为，所以.所以.（3）因为，由（2）知，.所以，所以即19.已已知函数的定义域是．（1）求实数a的取值范围；（2）解关于x不等式．解：（1）∵函数的定义域是，∴恒成立，则，解得，∴实数a的取值范围为．（2），即，∵，∴，即，解得，故不等式的解集为．20.已随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称）获取新闻资讯，手机应用程序已经成为人们生活中不可或缺的一部分，它悄无声息的改变着人们的生活习惯，也为人们的生活提供了极大