2024-2025学年北京市西城区高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市西城区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题.1.已知集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，或，所以.故选：A.2.已知，且，下列不等式中一定成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】对于选项ABC，取，显然满足，此时，，，所以选项A、B和C错误；对于选项D，因为，所以，故选项D正确.故选：D.3.已知命题：，；命题：，，则（）A.和都是真命题 B.和都是假命题C.是真命题，是假命题 D.是假命题，是真命题【答案】C【解析】由，得到，解得或，所以命题为真命题，又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确.故选：C.4.将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】将函数的图象向左平移1个单位，得到，再向下平移1个单位，得到，所以.故选：A.5.下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设与向量共线的单位向量为，则，解得，所以或.故选：B.6.已知函数．下列区间中包含零点的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，当时，，则，，，因此在区间内有函数的零点，当时，，，当时，，，所以数的零点在区间内.故选：B7.甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为．根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】依题意，，，则；，，.故选：B.8.已知，，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由，得，而，则，所以.故选：D.9.已知集合，．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先看充分性：因为，当时，为偶数；当时，；当时，；当时，；则可表示所有奇数；综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数.因为，则，所以“”是“”的充分条件；再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.所以“”是“”的充要条件.故选：C.10.已知是定义域为R旳奇函数，满足，且当x∈0,1时．给出下列三个结论：①；②函数在区间内有且仅有3个零点；③不等式的解集为，．其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由题意，所以，所以，①正确；再结合，可得：，所以的周期为2，由时，，结合奇函数性质可知：当，，所以在一个周期内，的解集为，在结合函数周期为2，可得：的解集为：，；③正确；通过，令，可得，则，结合函数的周期为2，在内，结合函数值的正负情况有，所以函数在区间内有且仅有5个零点，②错误.故选：C.二、填空题.11.设方程的两根为和，则______．【答案】5【解析】方程的两根为和，则，所以.12.已知函数，则______；的单调递增区间为______．【答案】【解析】函数，则；函数在上单调递增，在上单调递增，而当时，，所以函数的单调递增区是.13.已知正方形的边长为，点满足，则______．【答案】【解析】由题意可得，，因为，所以，所以，故.14.已知函数，．当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为______．【答案】1（答案不唯一，）【解析】令函数，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，依题意，函数在有一个零点，因此，解得，所以实数的取值范围是，的一个取值为1.15.给定函数．若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数：①；②；③；④.其中具有“线性控制”性质的函数的序号是______．【答案】①④【解析】对于①，当时，因为恒成立，所以具有“线性控制”性质，对于②，当时，因为，当时，，此时，即，所以不具有“线性控制”性质，对于③，令，在同一坐标系中作出和的图象，由图1知与相交于，不妨设点的横坐标为，易知当时，，所以当时，不成立，故不具有“线性控制”性质，对于④，令，在同一坐标系中作出和图象，如图所示，由图2知，当时，的图象恒在下方，即，所以具有“线性控制”性质.三、解答题.16.已知实数，满足，．（1）求和的取值范围；（2）证明：．解：（1）因为，，所以，当，时，则，，此时，当，时，则，此时，得到，当，时，则，此时，得到，当，时，，又当或时，，综上，.（2）因为，又，，则，，所以，得到.17.已知函数．（1）求的定义域；（2）求不等式的解集．解：（1）函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为.（2）不等式，则，即，解得或，所以原不等式的解集为.18.根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）：从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下：男生：7.07.27.27.37.47.47.57.57.98.38.69.6女生：7.47.67.67.87.98.08.38.48.79.29.410.4假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（1）分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率；（2）从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率；（3）从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）解：（1）由给定数据得，12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人，高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人，所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为和.（2）该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为，高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为，抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为，则，由（1）知，，显然事件相互独立，因此，所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为.（3）依题意，，，，因此，所以与相互不独立.19.已知函数，其中．（1）证明：；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）求在区间上的取值范围．解：（1）因为，所以，故.（2）因为在上单调递减，则当，有.所以设，，因为，所以，，要使，则，故的取值范围为.（3）当时，由小问2得在上单调递减，，，故在区间上的取值范围为；当时，利用小问2的结论知，在上单调递增，，，故在区间上的取值范围为.综上：当时，取值范围为；当时，取值范围为.20.两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为．（1）把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数；（2）为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？解：（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时，所以，.（2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，而，则当，即时，，取得最小值；当，即时，，取得最小值，所以当时，货车应以km/h的速度行驶，全程运输成本最小；当时，货车应以km/h的速度行驶，全程运输成本最小.21.给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定．（1）当时，写出一组和；（2）是否存在集合与正整数，使？说明理由；（3）当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知，若，则；（若，则；若，则；写出一组即可）.（2）不存在集合，使．下面用反证法证明.证明：假设存在集合，使．因为，故集合中必有1或同时有．①若时，不妨设，则．因为与必为一个奇数一个偶数，而，则，且，这与中元素均为奇数矛盾．②若且，则，这与矛盾．综上所述，假设错误，故不存在集合，使．（3）当时，存在，使．原因如下：当时，令，，则；令，，则；令，，则；令，，则.北京市西城区2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷一、单选题.1.已知集合，或，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，或，所以.故选：A.2.已知，且，下列不等式中一定成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】对于选项ABC，取，显然满足，此时，，，所以选项A、B和C错误；对于选项D，因为，所以，故选项D正确.故选：D.3.已知命题：，；命题：，，则（）A.和都是真命题 B.和都是假命题C.是真命题，是假命题 D.是假命题，是真命题【答案】C【解析】由，得到，解得或，所以命题为真命题，又当时，，所以命题是假命题，故选项A，B和D错误，选项C正确.故选：C.4.将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】将函数的图象向左平移1个单位，得到，再向下平移1个单位，得到，所以.故选：A.5.下列向量中，与向量共线的一个单位向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设与向量共线的单位向量为，则，解得，所以或.故选：B.6.已知函数．下列区间中包含零点的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，当时，，则，，，因此在区间内有函数的零点，当时，，，当时，，，所以数的零点在区间内.故选：B7.甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下：记这7天甲地每天最低气温的平均数为，标准差为；记这7天乙地每天最低气温的平均数为，标准差为．根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】依题意，，，则；，，.故选：B.8.已知，，则（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由，得，而，则，所以.故选：D.9.已知集合，．则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先看充分性：因为，当时，为偶数；当时，；当时，；当时，；则可表示所有奇数；综上，可表示所有整数，即可表示所有偶数.因为，则，所以“”是“”的充分条件；再看必要性：因为，，所以“”是“”的充分条件，即“”是“”的必要条件.所以“”是“”的充要条件.故选：C.10.已知是定义域为R旳奇函数，满足，且当x∈0,1时．给出下列三个结论：①；②函数在区间内有且仅有3个零点；③不等式的解集为，．其中，正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】由题意，所以，所以，①正确；再结合，可得：，所以的周期为2，由时，，结合奇函数性质可知：当，，所以在一个周期内，的解集为，在结合函数周期为2，可得：的解集为：，；③正确；通过，令，可得，则，结合函数的周期为2，在内，结合函数值的正负情况有，所以函数在区间内有且仅有5个零点，②错误.故选：C.二、填空题.11.设方程的两根为和，则______．【答案】5【解析】方程的两根为和，则，所以.12.已知函数，则______；的单调递增区间为______．【答案】【解析】函数，则；函数在上单调递增，在上单调递增，而当时，，所以函数的单调递增区是.13.已知正方形的边长为，点满足，则______．【答案】【解析】由题意可得，，因为，所以，所以，故.14.已知函数，．当时，若曲线和有一个公共点，则实数的一个取值为______．【答案】1（答案不唯一，）【解析】令函数，函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，依题意，函数在有一个零点，因此，解得，所以实数的取值范围是，的一个取值为1.15.给定函数．若曲线上任意一点的坐标满足，则称函数具有“线性控制”性质．给出下列四个函数：①；②；③；④.其中具有“线性控制”性质的函数的序号是______．【答案】①④【解析】对于①，当时，因为恒成立，所以具有“线性控制”性质，对于②，当时，因为，当时，，此时，即，所以不具有“线性控制”性质，对于③，令，在同一坐标系中作出和的图象，由图1知与相交于，不妨设点的横坐标为，易知当时，，所以当时，不成立，故不具有“线性控制”性质，对于④，令，在同一坐标系中作出和图象，如图所示，由图2知，当时，的图象恒在下方，即，所以具有“线性控制”性质.三、解答题.16.已知实数，满足，．（1）求和的取值范围；（2）证明：．解：（1）因为，，所以，当，时，则，，此时，当，时，则，此时，得到，当，时，则，此时，得到，当，时，，又当或时，，综上，.（2）因为，又，，则，，所以，得到.17.已知函数．（1）求的定义域；（2）求不等式的解集．解：（1）函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为.（2）不等式，则，即，解得或，所以原不等式的解集为.18.根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生50米跑单项等级如下（单位：秒）：从某校高一男生和女生中各随机抽取12名同学，将其50米跑测试成绩整理如下：男生：7.07.27.27.37.47.47.57.57.98.38.69.6女生：7.47.67.67.87.98.08.38.48.79.29.410.4假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．（1）分别估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率；（2）从该校高一男生中随机抽取1人，高一女生中随机抽取1人，求2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率；（3）从该校高一女生中随机抽取2人．记“2人的50米跑单项至少有1个是优秀”为事件，记“2人的50米跑单项至多有1个是优秀”为事件．判断与是否相互独立．（结论不要求证明）解：（1）由给定数据得，12名高一男生50米跑测试成绩在7.3及以下的有4人，高一女生50米跑测试成绩在8.0及以下的有6人，所以估计该校高一男生和女生50米跑单项的优秀率分别为和.（2）该校高一男生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为，高一女生中随机抽取1人50米跑单项等级是优秀的事件为，抽取的2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的事件为，则，由（1）知，，显然事件相互独立，因此，所以2人中恰有1人50米跑单项等级是优秀的概率为.（3）依题意，，，，因此，所以与相互不独立.19.已知函数，其中．（1）证明：；（2）若在上单调递减，求的取值范围；（3）求在区间上的取值范围．解：（1）因为，所以，故.（2）因为在上单调递减，则当，有.所以设，，因为，所以，，要使，则，故的取值范围为.（3）当时，由小问2得在上单调递减，，，故在