2024-2025学年福建省福州福清市高一上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省福州福清市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.，使得 D.，使得【答案】C【解析】“，”的否定是“，使得”.故选：C2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.3.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得，所以不等式的解集为.故选：C.4.“”是“函数是上的增函数”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若函数是上的增函数，则，解得，显然是的真子集，所以“”是“函数是上的增函数”的必要不充分条件.故选：B.5.用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设该矩形相邻的两边长为，则，即.由，，则，得，当且仅当时，等号成立.故该矩形面积的最大值为.故选：A.6.下列四个函数中，与表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数；B，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，不是同一函数；C，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，表示同一函数；D，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数.故选：C.7.命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若命题“，”为真命题，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.8.已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】因为函数是定义在上的偶函数，则，且在区间上单调递减，可得，结合选项可知D正确，ABC错误.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】根据图象可知，阴影部分表示集合是，所以AB选项正确、C选项错误.而，不符合题意，D选项错误.故选：AB10.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，即，故A正确；对于B，因为，所以，即，故B错误；对于C，因为，，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，即，故D错误.故选：AC.11.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BCD【解析】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；C选项，当时，，C选项为真命题；D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.已知，则的最大值为______．【答案】【解析】因为，当且仅当，即时取得最大值.故答案为：.13.，则________.【答案】0【解析】根据集合的元素具有互异性，由集合,得，,则，,所以，

故答案为:0.14.已知函数，则__________（用含a的式子表示）；若在定义域上是减函数，则a的取值范围为__________.【答案】①.②.【解析】由题意可知：，所以；若在定义域上是减函数，则，解得，所以a的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，，（1）若，求实数a的值.（2）请写出所有满足A的集合M.解：（1）集合，对于集合，当时，，满足；当时，集合，而，则或，可得或；综上所述：实数a的值为0或或1．（2）因为，且A，可知集合M必含有元素1，2，元素3，4，5中至少含有1个，所以集合M可以是，，，，，，.16.已知，.（1）比较与的大小；（2）若，求ab的最小值.解：（1）因为，因为，，则，可得a2+a-2ab-（2）由，得，因为，即，整理可得，且，则，可得，当且仅当时，等号成立，故ab的最小值为9．17.已知，，x∈R，表示，的最小者，记为.（1）请在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并写出解析式；（2）请判断函数的单调性，并说明单调区间及值域（无需说明理由）；（3）若，求实数a的取值范围.解：（1）令，即，解得或；令，即-x+1>x-12，解得；综上所述：，函数的图象如图所示：（2）由图象可知：是R上的减函数，且单调递减区间为，不存在单调递增区间；值域为R．（3）因为，且是R上的减函数，则，即，解得或，故实数a的取值范围是．18.设.（1）求证：；（2）证明：为奇函数；（3）试判断在上的单调性，并说明理由.（1）证明：因为，所以．（2）证明：由题意可知：的定义域，关于原点对称，且，所以为奇函数．（3）解：在0,+∞上为增函数，证明如下：，，且，则因为，则，，，可得，即，故在0,+∞上为增函数．19.若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一个2元“完美集”，这是因为.（1）请再写出一个不同于的2元“完美集”（无需写出求解过程）；（2）求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4；（3）是否存在某个2元“完美集”，其元素均为正整数？若存在，求出所有符合条件的2元“完美集”；若不存在，说明理由.（1）解：因为，所以2元“完美集”可以为（答案不唯一，满足均可）．（2）证明：设2元“完美集”为，其中，则，由得，，因为，所以．（3）解：若为2元“完美集”，x，，且，则，由x，得，或，即或这与矛盾，故不存在满足题意的2元“完美集”．福建省福州福清市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.，使得 D.，使得【答案】C【解析】“，”的否定是“，使得”.故选：C2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.3.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得，所以不等式的解集为.故选：C.4.“”是“函数是上的增函数”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若函数是上的增函数，则，解得，显然是的真子集，所以“”是“函数是上的增函数”的必要不充分条件.故选：B.5.用长的铁丝折成一个矩形，则该矩形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设该矩形相邻的两边长为，则，即.由，，则，得，当且仅当时，等号成立.故该矩形面积的最大值为.故选：A.6.下列四个函数中，与表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数；B，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，不是同一函数；C，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，表示同一函数；D，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数.故选：C.7.命题“，”为真命题，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若命题“，”为真命题，则，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.8.已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上单调递减，则下列关系式中成立的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】因为函数是定义在上的偶函数，则，且在区间上单调递减，可得，结合选项可知D正确，ABC错误.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】根据图象可知，阴影部分表示集合是，所以AB选项正确、C选项错误.而，不符合题意，D选项错误.故选：AB10.若，，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】对于A，因为，所以，即，故A正确；对于B，因为，所以，即，故B错误；对于C，因为，，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，即，故D错误.故选：AC.11.已知，函数，若满足关于的方程，则下列命题为真命题的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】BCD【解析】因为满足关于的方程，所以，所以在处取得最小值.由A选项，得在处取得最大值，A选项为假命题；由B选项，得在处取得最小值，B选项为真命题；C选项，当时，，C选项为真命题；D选项，因为在处取得最小值，所以，是真命题.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.12.已知，则的最大值为______．【答案】【解析】因为，当且仅当，即时取得最大值.故答案为：.13.，则________.【答案】0【解析】根据集合的元素具有互异性，由集合,得，,则，,所以，

故答案为:0.14.已知函数，则__________（用含a的式子表示）；若在定义域上是减函数，则a的取值范围为__________.【答案】①.②.【解析】由题意可知：，所以；若在定义域上是减函数，则，解得，所以a的取值范围为.故答案为：；.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，，（1）若，求实数a的值.（2）请写出所有满足A的集合M.解：（1）集合，对于集合，当时，，满足；当时，集合，而，则或，可得或；综上所述：实数a的值为0或或1．（2）因为，且A，可知集合M必含有元素1，2，元素3，4，5中至少含有1个，所以集合M可以是，，，，，，.16.已知，.（1）比较与的大小；（2）若，求ab的最小值.解：（1）因为，因为，，则，可得a2+a-2ab-（2）由，得，因为，即，整理可得，且，则，可得，当且仅当时，等号成立，故ab的最小值为9．17.已知，，x∈R，表示，的最小者，记为.（1）请在如图所示的坐标系中作出函数的图象，并写出解析式；（2）请判断函数的单调性，并说明单调区间及值域（无需说明理由）；（3）若，求实数a的取值范围.解：（1）令，即，解得或；令，即-x+1>x-12，解得；综上所述：，函数的图象如图所示：（2）由图象可知：是R上的减函数，且单调递减区间为，不存在单调递增区间；值域为R．（3）因为，且是R上的减函数，则，即，解得或，故实数a的取值范围是．18.设.（1）求证：；（2）证明：为奇函数；（3）试判断在上的单调性，并说明理由.（1）证明：因为，所以．（2）证明：由题意可知：的定义域，关于原点对称，且，所以为奇函数．（3）解：在0,+∞上为增函数，证明如下：，，且，则因为，则，，，可得，即，故在0,+∞上为增函数．19.若一个集合仅有2个元素，且这2个元素之和等于这2个元素之积，则称该集合为2元“完美集”.例如就是一