2024-2025学年安徽省皖江名校高一上学期12月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省皖江名校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A2.命题p：“”否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】“”改为“”，“”改为“”，因此是“”.故选：C．3.计算（）A.14 B.49 C. D.【答案】B【解析】因为．故选：B．4.函数的图象大致形状是（）A B.C. D.【答案】A【解析】由题设易知，而时，幂函数在上单调递减，又函数为偶函数.故选：A5.设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】．设，则．因为，所以，当时，；当时，．故选：A．6.设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根．反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出．所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件．故选：D．7.下列四个数中最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，所以最大,故选：C．8.已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数在区间内有且仅有两个零点，等价于在区间内有且仅有两个实数根，又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，因为，由图知，即，解得．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的既不充分也不必要条件D.“”是“”的充要条件【答案】AD【解析】对于A，由，所以，若，例如，则得不到，故A正确；对于B，由，则，若，例如，则没意义，故“”是“”充分不必要条件，故B错误；对于C，若“”，则“”，反过来，若，例如，则，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，由，则，反过来，若，则，故“”是“”的充要条件，故D正确；故选：AD．10.下列几个不等式中，能取到等号是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对A，，当且仅当时等号成立；对B，∵，∴，，当且仅当时等号成立；对C，∵，则，所以，，则，当且仅当时等号成立；对D，∵，∴，当且仅当，即时等号成立，而，因此中的等号取不到．故选：ABC.11.设，下列四个命题中，正确的是（）A.当时的单调递增区间是和B.当时的图象与直线有两个交点C.在内单调递减的充要条件是D.若的最小值是零，则【答案】AC【解析】对于A，当时，二次函数与x轴交于点和，画出函数fx的单增区间是和，故A正确；对于B，当时，二次函数与x轴交于点和，顶点是，画出函数fx的图象与直线有三个交点，故B不正确；对于C，当时，在内单调递减；当时，在内单减，故C正确．对于D，若的最小值是零，则，均可以，故D不正确．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则其解析式__________.【答案】【解析】设，则，解得．故答案为：．13.设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是__________.【答案】19【解析】由不等式的解集是可知：的两根为，2，所以，所以，所以就是，于是．故答案为：19.14.若正数a，b满足，则的最大值是__________.【答案】【解析】因为对任意实数x，y都有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立．故的最大值是．故答案为：.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知命题．（1）若不等式的解集是，求a的值；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）由题意知，是方程的两根，所以，且，解得．（2）因为，即，所以．因为p是q的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集．因此，解得．故实数a的取值范围是．16.某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用年后所需要的各种维护费用总计为万元，2024年为第一年（1）写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求的最大值；（2）第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？解：（1），因为，所以当时，取最大值56.（2）年平均利润为，当且仅当，即时取等号，故第6后年平均利润最大.17.一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.（1）确定a，b的值；（2）求的零点.当时，是上的增函数，所以，即，解得；当时，是上的减函数，所以，即，解得；故或（2）当时，，令，所以的两个零点分别是和；当时，，令，所以的两个零点分别是和；故的零点为和或和.18.定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有．（1）证明：当时，；（2）判断在上的单调性；（3）解不等．（1）证明：令，则，所以．当时，，则．在中，令，则，所以（2）解：设，则，所以．于是，故在上是增函数．（3）解：由题意知，原不等式等价于由（2），在上是增函数得到，，且，解得．故原不等式的解集是．19.我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：（1）求代数式的最大值；（2）已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；（3）若a，b，，证明：．（1）解：当时，有，即，当且仅当，即时等号成立．而，故代数式的最大值为．（2）解：当时，有，所以，即，当且仅当时等号成立．因此的最小值为．恒成立恒成立．故实数m的取值范围是．（3）证明：因为，所以，当且仅当时等号成立．故a，b，．安徽省皖江名校2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，故选：A2.命题p：“”否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】“”改为“”，“”改为“”，因此是“”.故选：C．3.计算（）A.14 B.49 C. D.【答案】B【解析】因为．故选：B．4.函数的图象大致形状是（）A B.C. D.【答案】A【解析】由题设易知，而时，幂函数在上单调递减，又函数为偶函数.故选：A5.设，若函数在上的最小值是2，则其在上的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】．设，则．因为，所以，当时，；当时，．故选：A．6.设，则“”是“关于x的方程有两个负实根”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】方程的判别式，当时，的符号可正可负，即由推不出方程有两个负实根．反之，若方程有两个负实根，则，且，因此．由不能推出．所以“”是“方程有两个负实根”的既不充分也不必要条件．故选：D．7.下列四个数中最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以，所以最大,故选：C．8.已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函数在区间内有且仅有两个零点，等价于在区间内有且仅有两个实数根，又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点，因为，由图知，即，解得．故选：C．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.“”是“”的充分不必要条件B.“”是“”的必要不充分条件C.“”是“”的既不充分也不必要条件D.“”是“”的充要条件【答案】AD【解析】对于A，由，所以，若，例如，则得不到，故A正确；对于B，由，则，若，例如，则没意义，故“”是“”充分不必要条件，故B错误；对于C，若“”，则“”，反过来，若，例如，则，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；对于D，由，则，反过来，若，则，故“”是“”的充要条件，故D正确；故选：AD．10.下列几个不等式中，能取到等号是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对A，，当且仅当时等号成立；对B，∵，∴，，当且仅当时等号成立；对C，∵，则，所以，，则，当且仅当时等号成立；对D，∵，∴，当且仅当，即时等号成立，而，因此中的等号取不到．故选：ABC.11.设，下列四个命题中，正确的是（）A.当时的单调递增区间是和B.当时的图象与直线有两个交点C.在内单调递减的充要条件是D.若的最小值是零，则【答案】AC【解析】对于A，当时，二次函数与x轴交于点和，画出函数fx的单增区间是和，故A正确；对于B，当时，二次函数与x轴交于点和，顶点是，画出函数fx的图象与直线有三个交点，故B不正确；对于C，当时，在内单调递减；当时，在内单减，故C正确．对于D，若的最小值是零，则，均可以，故D不正确．故选：AC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知幂函数的图象过点，则其解析式__________.【答案】【解析】设，则，解得．故答案为：．13.设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是__________.【答案】19【解析】由不等式的解集是可知：的两根为，2，所以，所以，所以就是，于是．故答案为：19.14.若正数a，b满足，则的最大值是__________.【答案】【解析】因为对任意实数x，y都有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立．故的最大值是．故答案为：.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知命题．（1）若不等式的解集是，求a的值；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：（1）由题意知，是方程的两根，所以，且，解得．（2）因为，即，所以．因为p是q的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集．因此，解得．故实数a的取值范围是．16.某医院为改善医疗技术，2024年初以72万元的价格购进一套医疗设备.已知该套医疗设备每年获得的总收入为40万元，使用年后所需要的各种维护费用总计为万元，2024年为第一年（1）写出该套医疗设备的利润函数的表达式，并求的最大值；（2）第几年后，该套医疗设备的年平均利润最大？解：（1），因为，所以当时，取最大值56.（2）年平均利润为，当且仅当，即时取等号，故第6后年平均利润最大.17.一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.（1）确定a，b的值；（2）求的零点.当时，是上的增函数，所以，即，解得；当时，是上的减函数，所以，即，解得；故或（2）当时，，令，所以的两个零点分别是和；当时，，令，所以的两个零点分别是和；故的零点为和或和.18.定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有．（1）证明：当时，；（2）判断在上的单调性；（3）解不等．（1）证明：令，则，所以．当时，，则．在中，令，则，所以（2）解：设，则，所以．于是，故在上是增函数．（3）解：由题意知，原不等式等价于由（2），在上是增函数得到，，且