2024-2025学年安徽省宿州市省、市示范高中高一上学期1月期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，解得或.故选：D.2.若幂函数在上是减函数，则实数m等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由幂函数在上是减函数，得，所以.故选：A.3.点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为，，即为第二象限角，为第四象限角，所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限.故选：C.4.已知是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，时，满足，此时，即充分性不满足；因为，所以，所以，因为，所以，即必要性满足，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对数函数、在上均为增函数，所以，，因为指数函数在上为减函数，则，即，因此，.故选：D.6.函数在区间的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且定义域为R，所以为奇函数，其图象关于原点对称，C错误；观察A，B，D项图象的差异，主要在于函数值的正负．当时，单调递增，且，所以当时，，而当时，，当时，，所以当时，，当时，，可得B，D错误.故选：A．7.已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，，，函数的值域为.故选：C.8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当时，，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则，当时，；当时，；当时，．又因为，所以的取值范围是.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若集合，集合，则下列说法正确的是（

）A． B．C．， D．，【答案】BC【解析】对于AB，，则，，A错误，B正确；对于C，，，C正确；对于D，，，D错误.故选：BC.10.已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象向右移个单位长度后，图象关于轴对称，则的最小值为D．若关于的方程在上有两个实数根，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】对A，，则的最小正周期为，故A正确；对B，因为，所以函数的图象关于点对称，故B错误；对C，将函数的图象向右移个单位长度后可得函数的图象，因为的图象关于轴对称，所以，即，又，所以的最小值为，故C正确；对D，由得，，若，则，若关于的方程有两个实数根，则与图象有两个交点，所以，解得，故D正确.故选：ACD.11.已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，所以，所以.因为，取，得.因为，取，得，又，所以，故A正确；由在区间上单调递减，得，又，且，所以，故B正确；因为，所以函数的图象关于点对称，因为函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，因为，则，所以，故C错误；由，取，得，又，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若函数是定义在上的奇函数，则.【答案】1【解析】由题意得，，解得，所以.13.已知，且，，则.【答案】【解析】因为，，所以，即，所以，由，得，则.14.已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【解析】令，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，且，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.解：（1）由题意得，，是方程的两根，则，解得.（2）由（1）得，正实数，满足，所以，当且仅当，且，即时等号成立，所以的最小值为.16.“大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.（1）求常数的值；（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）解：（1）茶水温度从开始，当时，，.（2）当时，，当时，，，，，刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感.17.已知.（1）化简；（2）若，求的值；（3）若为第三象限角，且，求的值.解：（1）由题意可得.（2）若，则.（3）因为，所以，又为第三象限角，所以，所以.18.已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得，经检验，对于，成立，所以．（2）由（1）可得，因为，所以，，，，，所以当时的值域，又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即实数m的取值范围是．19.若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对.（1）若，当满足什么条件时，为“可平衡”函数，并说明理由；（2）是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解：（1）当为“可平衡”函数时，由题意可得对于定义域内的任意实数成立，即对于定义域内的任意实数成立，所以，即对于定义域内的任意实数成立，则，解得，综上，当，时，函数为“可平衡”函数.（2）假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则对于定义域内的任意实数成立，即，即，即对于定义域内的任意实数成立，因为，所以，所以，即，，解得，综上，当，时，函数为“可平衡”函数.安徽省宿州市省、市示范高中2024-2025学年高一上学期1月期末教学质量检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，解得或.故选：D.2.若幂函数在上是减函数，则实数m等于（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】由幂函数在上是减函数，得，所以.故选：A.3.点在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因为，，即为第二象限角，为第四象限角，所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限.故选：C.4.已知是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当，时，满足，此时，即充分性不满足；因为，所以，所以，因为，所以，即必要性满足，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为对数函数、在上均为增函数，所以，，因为指数函数在上为减函数，则，即，因此，.故选：D.6.函数在区间的大致图象为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，且定义域为R，所以为奇函数，其图象关于原点对称，C错误；观察A，B，D项图象的差异，主要在于函数值的正负．当时，单调递增，且，所以当时，，而当时，，当时，，所以当时，，当时，，可得B，D错误.故选：A．7.已知，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，，，，函数的值域为.故选：C.8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，当时，，因为函数在上存在最值，则，解得，当时，，因为函数在上单调，则，所以其中，解得，所以，解得，又因为，则，当时，；当时，；当时，．又因为，所以的取值范围是.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若集合，集合，则下列说法正确的是（

）A． B．C．， D．，【答案】BC【解析】对于AB，，则，，A错误，B正确；对于C，，，C正确；对于D，，，D错误.故选：BC.10.已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．函数的图象关于点对称C．函数的图象向右移个单位长度后，图象关于轴对称，则的最小值为D．若关于的方程在上有两个实数根，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】对A，，则的最小正周期为，故A正确；对B，因为，所以函数的图象关于点对称，故B错误；对C，将函数的图象向右移个单位长度后可得函数的图象，因为的图象关于轴对称，所以，即，又，所以的最小值为，故C正确；对D，由得，，若，则，若关于的方程有两个实数根，则与图象有两个交点，所以，解得，故D正确.故选：ACD.11.已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因为，所以，所以.因为，取，得.因为，取，得，又，所以，故A正确；由在区间上单调递减，得，又，且，所以，故B正确；因为，所以函数的图象关于点对称，因为函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，因为，则，所以，故C错误；由，取，得，又，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，若函数是定义在上的奇函数，则.【答案】1【解析】由题意得，，解得，所以.13.已知，且，，则.【答案】【解析】因为，，所以，即，所以，由，得，则.14.已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【解析】令，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，且，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）若正实数，满足，求的最小值.解：（1）由题意得，，是方程的两根，则，解得.（2）由（1）得，正实数，满足，所以，当且仅当，且，即时等号成立，所以的最小值为.16.“大禹门前树，千年苔子茶.”11月21日18时许，中央广播电视总台综合频道推出系列纪录片《农耕探文明》，本期正好关注到《四川北川苔子茶复合栽培系统》.北川苔子茶的“毛峰绿茶”以其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.经验表明，在室温下，该茶用的水泡制，汤色青绿明亮，入口滋味较薄有熟栗子香，无苦涩感，再等到茶水温度降至50°C时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.（1）求常数的值；（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：，）解：（1）茶水温度从开始，当时，，.（2）当时，，当时，，，，，刚泡好的茶水大约需要放置9.5分钟才能达到最佳饮用口感.17.已知.（1）化简；（2）若，求的值；（3）若为第三象限角，且，求的值.解：（1）由题意可得.（2）若，则.（3）因为，所以，又为第三象限角，所以，所以.18.已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）由题意可得，函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，可得，经检验，对于，成立，所以．（2）由（1）可得，因为，所以，，，，，所以当时的值域，又，，设，，则，当时，取最小值为，当时，取最大值为，即在上的值域，又对任意的，总存在，使得成立，即，所以，解得，即实数m的取值范围是．19.若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为