2024-2025学年河北省邢台市名校协作体高二下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市名校协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一､单项选择题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A.10种 B.20种 C.25种 D.32种【答案】D【解析】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.故选：D.2.下列说法中，错误的命题是（）A.在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好B.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱C.设随机变量服从正态分布，则D.对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小【答案】B【解析】对于A：在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好，正确；对于B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，错误；对于C：由正太密度曲线的对称性可知：，正确；对于D：对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小，正确.故选：B3.某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，事件男生甲与两名女生被选中，则，因此，.故选：B.4.已知，则为（）A.180 B.150 C.120 D.200【答案】A【解析】因，其通项公式为：，令，可得：.故选：A5.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有()A.40种 B.60种 C.100种 D.120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B．6.已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5【答案】C【解析】因为分布列中概率和为，故可得，解得，又，则，又，故可得，则当时，的最大值为，又，故的最大值为.故选：C.7.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由表格数据知：，，代入，得，，即，，时，，故选：B．8.已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】从乙盒中取1个球时，甲盒红球个数记为，则的所有可能取值为2，3，则从乙盒中随机抽取1个篮球放入甲盒中的概率是,乙盒中随机抽取1个红球放入甲盒中的概率是,从乙盒中取2个球时，甲盒红球数记为，则的可能取值为，,．故选：A．二､多项选择题9.在某次数学测试中，学生的成绩，则（）A. B.若越大，则越大C. D.【答案】AC【解析】因为，所以，A正确；当时，，当时，，B不正确；因为，所以，C正确；根据正态曲线的对称性，D不正确.故选：AC.10.下列选项中正确的有（）.A.随机变量，则B.将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个6点”，则概率C.口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量.则的数学期望D.已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为【答案】AC【解析】对于A，随机变量服从二项分布，．则，故A正确；对于B，根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为，“两个点数都不相同”则只有一个6点，共种，故，故B错误；对于C，的所有可能取值为0，1，2，，可得，，．的分布列012，故C正确；对于D，某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为，故D错误．故选：AC．11.已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）A. B.C.第5次取出的球是红球的概率为 D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是【答案】AC【解析】依题意，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，对于第次，取出红球有两种情况．①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，对应，即，故B错误；所以，令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，故，所以，故选项A，C正确；第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，第3次取出球是红球的概率为，前3次取球恰有2次取到红球的概率是，故D错误；故选：AC．三､填空题12.若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】在二项展开式中二项式系数和为，故，，展开式通项为，要求常数项，则令，，因此常数项为.13.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.【答案】【解析】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，设学生答对试题为事件，则，，，，，，所以，所以.故答案为：14.某次大型联考10000名学生参加,考试成绩(满分100分)近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是__________名.附：若随机变量服从正态分布，则，【答案】1587【解析】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，由题意可得．，而即，解得．甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，又，即．学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．故答案：1587四､解答题15.用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）（1）无重复数字的四位偶数；（2）无重复数字且为5的倍数的四位数；（3）无重复数字且比1230大的四位数．解：（1）符合要求的四位偶数可分为两类．第一类，0在个位时有个；第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）．（2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个；第二类：5在个位时有个．故满足条件的四位数共有（个）．（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个；第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；第三类：形如124□，125□，共有个；第四类：形如123□，共有个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有（个）．16.已知在的展开式中,前3项的系数分别为,且满足.求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.解：（1）因为展开式的通项公式为，，所以依题意得，即，由已知,所以，所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，所以.（2）由（1）知，，设展开式中系数最大的项为第项，则，即，即，解得，所以或，所以展开式中系数最大的项为和.（3）由为有理项知，为整数，得，，所以展开式中所有有理项为和.17.某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引进就业人数数据（单位：万），统计如下（年份代码1-10分别代表2011-2020年）其中，，,.年份代码12345678910引进人数3.45.77.38.59.610.210.811.311.611.8（1）根据数据画出散点图，并判断，，，哪一个适合作为该市人才引进就业人数y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）5.59.022.141.5182.54.8472.29.6718.41（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（所有过程保留两位小数）（3）试预测该市2022年的人才引进就业人数.参考公式：，.解：（1）图像：适合作为该市人才引进就业人数y关于年份代码x的回归方程类型（2），（3）将x=12代入得．18.2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图．（1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关；项目经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计捐款超过500元60捐款不超过500元10总计100（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从该地区大量受灾居民中，采用随机抽样的方法每次抽取1户居民，抽取3次，记被抽取的3户居民中自家经济损失超过4000元的户数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列，期望和方差．附：，n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由频率分布直方图可得，在抽取的100户中，经济损失不超过4000元的有70户，经济损失超过4000元的有30户，补全表格数据如下：项目经济损失不超过4000元经济损失超过4000元总计捐款超过500元602080捐款不超过500元101020总计7030100零假设：捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失否超过4000元无关，则，根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立，即认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关；（2）由频率分布直方图可知抽到自家经济损失超过4000元的居民的频率为0.3，将频率视为概率，由题意知的可能取值为0，1，2，3，且，，，，，从而ξ的分布列为：0123P，.19.某校在90周年校庆到来之际，为了丰富教师的学习和生活，特举行了答题竞赛．在竞赛中,每位参赛教师答题若干次，每一次答题的赋分方法如下：第1次答题,答对得20分，答错得10分，从第2次答题开始，答对则获得上一次答题所得分数两倍的得分，答错得10分，教师甲参加答题竞赛，每次答对的概率均为，每次答题是否答对互不影响.（1）求甲前3次答题得分之和为70分的概率．（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为．（ⅰ）求，，，并猜想当时，与之间的关系式；（ⅱ）若，求n的最小值．解：（1）由题意，前3次的得分分别为20（对），40（对），10（错）或10（错），20（对），40（对），所以甲前3次答题的得分之和为70分的概率为.（2）（ⅰ）甲第1次答题得分20分，10分的概率分别为，则，甲第2次答题得分40分，20分，10分的概率分别为，则，甲第3次答题得分80分，40分，20，10嗯分的概率分别为，则，当时，因为甲第次答题所得分数的数学期望为，所以第次答对题所得分数为，答错题所的分数为分，其概率为，所以，可猜想：.（ⅱ）由（i）知数列是以15为首项，5为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式，可得，当时，，当时，，所以实数最小值为.河北省邢台市名校协作体2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题一､单项选择题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（）A.10种 B.20种 C.25种 D.32种【答案】D【解析】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.故选：D.2.下列说法中，错误的命题是（）A.在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好B.线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱C.设随机变量服从正态分布，则D.对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小【答案】B【解析】对于A：在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好，正确；对于B：线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，错误；对于C：由正太密度曲线的对称性可知：，正确；对于D：对分类变量与，若计算出的越大，则判断“与有关系”的犯错误的概率越小，正确.故选：B3.某班要从8名班干部（其中5名男生，3名女生）中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件：男生甲被选中，事件：有两名女生被选中，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，事件男生甲与两名女生被选中，则，因此，.故选：B.4.已知，则为（）A.180 B.150 C.120 D.200【答案】A【解析】因，其通项公式为：，令，可得：.故选：A5.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有()A.40种 B.60种 C.100种 D.120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B．6.已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（）X123Pab2b—aA. B.3C.6 D.5【答案】C【解析】因为分布列中概率和为，故可得，解得，又，则，又，故可得，则当时，的最大值为，又，故的最大值为.故选：C.7.从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由表格数据知：，，代入，得，，即，，时，，故选：B．8.已知甲盒中有2个球且都为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（1）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（2）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】从乙盒中取1个球时，甲盒红球个数记为，则的所有可能取值为2，3，则从乙盒中随机抽取1个篮球放入甲盒中的概率是,乙盒中随机抽取1个红球放入甲盒中的概率是,从乙盒中取2个球时，甲盒红球数记为，则的可能取值为，,．故选：A．二､多项选择题9.在某次数学测试中，学生的成绩，则（）A. B.若越大，则越大C. D.【答案】AC【解析】因为，所以，A正确；当时，，当时，，B不正确；因为，所以，C正确；根据正态曲线的对称性，D不正确.故选：AC.10.下列选项中正确的有（）.A.随机变量，则B.将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”，“至少出现一个6点”，则概率C.口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量.则的数学期望D.已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为【答案】AC【解析】对于A，随机变量服从二项分布，．则，故A正确；对于B，根据条件概率的含义，其含义为在发生的情况下，发生的概率，即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个6点”的情况数目为，“两个点数都不相同”则只有一个6点，共种，故，故B错误；对于C，的所有可能取值为0，1，2，，可得，，．的分布列012，故C正确；对于D，某种药物对某种疾病的治愈率为，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为，故D错误．故选：AC．11.已知红箱内有6个红球、3个白球，白箱内有3个红球、6个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依此类推，第次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第次取出的球是红球的概率为，则下列说法正确的是（）A. B.C.第5次取出的球是红球的概率为 D.前3次取球恰有2次取到红球的概率是【答案】AC【解析】依题意，设第次取出球是红球的概率为，则白球概率为，对于第次，取出红球有两种情况．①从红箱取出的概率为，②从白箱取出的概率为，对应，即，故B错误；所以，令，则数列为等比数列，公比为，因为，所以，故，所以，故选项A，C正确；第1次取出球是红球的概率为，第2次取出球是红球的概率为，第3次取出球是红球的概率为，前3次取球恰有2次取到红球的概率是，故D错误；故选：AC．三､填空题12.若的二项展开式中，所有二项式系数和为，则该展开式中的常数项为________．【答案】15【解析】在二项展开式中二项式系数和为，故，，展开式通项为，要求常数项，则令，，因此常数项为.13.某学校组织学生进行答题比赛，已知共有4道类试题，8道类试题，12道类试题，学生从中任选1道试题作答，学生甲答对这3类试题的概率分别为，，.若学生甲答对了所选试题，则这道试题是类试题的概率为_____________.【答案】【解析】设学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，学生选道类试题为事件，设学生答对试题为事件，则，，，，，，所以，所以.故答案为：14.某次大型联考10000名学生参加,考试成绩(满分100分)近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是__________名.附：若随机变量服从正态分布，则，【答案】1587【解析】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布，由题意可得．，而即，解得．甲市学生在该次考试中成绩为76分，且，又，即．学生在甲市本次考试的大致名次为1587名．故答案：1587四､解答题15.用0，1，2，3，4，5这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？（运算结果以数字作答）（1）无重复数字的四位偶数；（2）无重复数字且为5的倍数的四位数；（3）无重复数字且比1230大的四位数．解：（1）符合要求的四位偶数可分为两类．第一类，0在个位时有个；第二类，2或4在个位时，首位从1，3，4（或2），5中选（有种情况），十位和百位从余下的数字中选（有种情况），于是有个．由分类加法计数原理知，共有四位偶数（个）．（2）符合要求的数可分为两类：第一类：0在个位时有个；第二类：5在个位时有个．故满足条件的四位数共有（个）．（3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有个；第二类：形如13□□，14□□，15□□，共有个；第三类：形如124□，125□，共有个；第四类：形如123□，共有个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1230大的四位数共有（个）．16.已知在的展开式中,前3项的系数分别为,且满足.求：（1）展开式中二项式系数最大项的项；（2）展开式中系数最大的项；（3）展开式中所有有理项.解：（1）因为展开式的通项公式为，，所以依题意得，即，由已知,所以，所以的展开式有9项，二项式系数最大的项为第5项，所以.（2）由（1）知，，设展开式中系数最大的项为第项，则，即，即，解得，所以或，所以展开式中系数最大的项为和.（3）由为有理项知，为整数，得，，所以展开式中所有有理项为和.17.某市为吸引大学生人才来本市就业，大力实行人才引进计划，提供现金补贴，为了解政策的效果，收集了2011-2020年人才引进就业人数数据（单位：万），统计如下（年份代码1-10分别代表2011-2020年）其中，，,.年份代码12345678910引进人数3.45.77.38.59.610.210.811.311.611.8（1）根据数据画出散点图，并判断，，，哪一个适合作为该市人才引进就业人数y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）5.59.022.141.5182.54.8472.29.6718.41（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（所有过程保留两位小数）（3）试预测该市2022年的人才引进就业人数.参考公式：，.解：（1）图像：适合作为该市人才引进就业人数y关于年份代码x的回归方程类型（2），（3）将x=12代入得．18.2021年7月，台风“烟花”导致多地受灾，某调查小组调查了某受灾小区的100户居民由于台风造成的经济损失(单位：元)，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图所示的频率分布直方图．（1）遭受台风后居委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小张调查的100户居民捐款情况如下表所示，在表格空白处填写正确数字，并判断能否在小概率值α＝0.05的独立性检验下，认为捐款数额超过或不超过500元和自家经济损失是否超过4000元有关；项目经济损失不超过4