广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（含详解）

广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量，，若，则（

）A．1 B． C．0 D．2．若为实数，是纯虚数，则复数为（

）A． B． C． D．3．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．在△ABC中，已知角，，则角C=A． B．C． D．或5．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（

）A．4 B． C． D．6．某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某次计时前如图1所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6.75cm；四棱柱底面边长为6cm和2πcm，液体高是6.5cm.计时结束后如图2所示，此时液体所形成的上底面半径为2cm，下底面半径为6cm.求此时“沙漏”中液体的高度为（

）A．2cm B．3cm C．4cm D．4.5cm7．如图1，这是雁鸣塔，位于贵州省遵义娄山关景区，塔身巍然挺拔，直指苍穹，登塔可众览娄山好风光．某数学兴趣小组成员为测量雁鸣塔的高度，在点O的同一水平面上的A，B两处进行测量，如图2．已知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，且米，，则雁鸣塔的高度（

）A．30米 B．米 C．米 D．米8．已知，，．若点P是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值为（

）A．13 B． C． D．二、多选题9．已知平面向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．与的夹角为10．对于函数和，下列说法中正确的是（

）A．与有相同的零点B．与有相同的最小值C．函数的图象与的图象有相同的对称轴D．的图象可以由函数的图象向左平移个单位得到11．已知点在所在的平面内，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则为的垂心C．若且（，），则D．若，，，且，则的值为三、填空题12．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则．13．如图，在△ABC中，，，，，则＝14．如图，已知正三棱柱中，，，若点P从点A出发，沿着正三棱柱的表面，经过棱运动到点，则点P运动的最短路程为.四、解答题15．已知复数，．(1)若复数在复平面上对应的点在第三象限，求实数的取值范围．(2)若，求的共轭复数及的模．16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，若．(1)求的值；(2)若，，求b的值．17．已知长方体中，，求：

(1)长方体表面积；(2)三棱锥的体积．18．已知向量，，其中，且.（1）求和的值；（2）若，且，求角.19．已知.(1)求函数的最小正周期；(2)若，求；(3)若对于任意，恒成立，求的取值范围.

广东省清远市四校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题参考答案题号12345678910答案DDCDBDABACDBD题号11答案BCD1．D【详解】由，，且，得，解得.故选：D.2．D【详解】为实数，则，是纯虚数，则，则故选：D3．C【详解】由题意得，向量在向量上的投影向量为．4．D【详解】由正弦定理：可得：，则角C=或.本题选择D选项.5．B【详解】还原直观图为原图形，如图所示，因为，所以，还原回原图形后，，所以原图形面积为.故选：B6．D【详解】由已知可得：液体的体积为，如图，易知，、两个相似的直角三角形，因为圆锥的底面半径是，高是，所以圆锥的体积为，计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为，设计时结束后，“沙漏”中液体的高度为，则，，解得，所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为.故选：D.7．A【详解】设，依题意，，，在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以雁鸣塔的高度为30米.故选：A8．B【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P（x，y）则，可得，，所以，即，故，，所以，当且仅当即时等号成立．故选：B．9．ACD【详解】对于A,，A正确，对于B，，故B错误，对于C,，故，C正确，对于D，，故与的夹角为，故D正确，故选：ACD10．BD【详解】对于A，令中，可得，但，故A错误；对于B，由正余弦函数的值域可得两函数具有相同的最小值为，故B正确；对于C，函数的对称轴方程为，即，所以，故C错误；对于D，的图象向左平移个单位得到，故D正确；故选：BD11．BCD【详解】解：因为，所以点是外接圆的圆心，A．，即选项错误，不符合题意；B．若，则点是的中点，所以是圆的直径，即，所以点是的垂心，即选项正确，符合题意；C．由知，，，三点共线，设的以为底边的高为，则，即，故选项正确，符合题意；D．由知，，所以，即，整理得，由知，，同理可得，联立解得，，所以，即选项正确，符合题意．故选：BCD．12．或【详解】在中，，由正弦定理得，而，则或,所以或.故答案为：或13．【详解】在△ABC中，，，，，．故答案为：.14．【详解】如图所示：将翻折到与共面，故点P运动的最短路程为.在中，，故.故答案为：.15．(1)(2)，【详解】（1）因为，，所以．因为复数在复平面上对应的点在第三象限，所以解得，即实数的取值范围为．（2）因为，所以．．16．(1)(2)【详解】（1）由题意，整理得，所以由余弦定理有.（2）因为，，，所以，所以，所以由正弦定理有.17．(1)10；(2).【详解】（1）长方体中，，，因此长方体的侧面积，所以长方体的表面积.（2）的面积，显然三棱锥的高为，所以三棱锥的体积.

18．（1），；（2）.【详解】知

又

（1）（2）

又

又19．(1)；(2)；(3).【详解】（1）由题