2024北京西城外国语学校初一12月月考数学试题及答案

试题试题2024北京西城外国语学校初一12月月考数学满分100分；考试时间：90分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题2分，共20分）1．如图1，A、B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小．如图2，连接AB，与l交于点C，则C点即为所求的码头的位置，这样做的理由是（

）A．垂线段最短 B．两点确定一条直线C．两点之间，线段最短 D．平行于同一条直线的两条直线平行2．下列方程中，方程的解为的是（

）A． B． C． D．3．如图框图内表示解方程3－5x＝2（2－x）的过程，其中依据“等式性质”是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．②④4．如图，A地和地都是海上观测站，A地在灯塔的北偏东30°方向，，则地在灯塔的（

）A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．南偏西方向 D．东偏南方向5．如图，在中，，，，是的外接圆，则下列说法正确的个数是（

）①和都是劣弧；②是中最长的弦；③，，三点能确定一个圆；④的半径为．A． B． C． D．6．线段，延长AB到C，使，再延长到D，使，则线段CD的长为（

）A． B． C． D．7．学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（

）A．11条 B．10条 C．9条 D．8条8．如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（

）A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区9．如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（

）A． B． C． D．10．杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．我国南宋数学家场辉所著《详解九章算术》（1261年）一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律．观察下列各式及其展开式：……请你推算展开式的第10项是（

）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（每题2分，共12分）11．若某多边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连结，可将多边形分成7个三角形，则该多边形是边形．12．王小毛同学做教室卫生时，发现座位很不整齐，他思考了一下，将第一座和最后一座固定之后，沿着第一座最后一座这条线就把座位摆整齐了！他利用了数学原理：．13．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，若∠AOC＝120°，则∠BOD等于．14．选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是．①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．15．若关于x的方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则k=．16．如图，有公共端点的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，，则线段的长为．三、解答题（共68分）17．（8分）解方程：(1)(2)．18．（6分）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断．情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题．.情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是．你赞同以上哪种做法？（填情境一或情境二）19．（6分）已知：点，，P在同一条直线上，线段，且线段，画图并计算：(1)若点P在线段上，求的长；(2)若点P在射线上，点是的中点，求线段的长．20．（6分）如图，已知线段，借助圆规和直尺作一条线段，使得（保留作图痕迹，不要求写出作法）．

21．（8分）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值．22．（8分）如图，已知轮船在灯塔的北偏西的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上．(1)求从灯塔看两轮船的视角（即）的度数；(2)轮船在的平分线上，则轮船在灯塔的什么方向上？23．（8分）请在括号中注明根据，在横线上补全步骤．如图，直线AB、CD相交于O，∠EOC＝90°，OF是∠AOE的角平分线，∠COF＝34°，求∠BOD的度数．解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°（已知），∴∠EOF＝°．∵OF是∠AOE的角平分线，∴∠AOF＝＝56°（角平分线的性质）．∴∠AOC＝°．∵∠AOC+＝90°，∠BOD+∠EOB＝90°，∴∠BOD＝∠AOC＝°（）．24．（8分）如图，线段在射线上运动，，且．(1)求线段、的长；(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长；(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：．25．（10分）已知直线，点P为平面上一点，连接与．

(1)如图①，点P在直线、之间，说明：；(2)如图②，点P在直线、之间，与的平分线相交于点Q，利用（1）中的结论，写出与∠BQD之间的数量关系，并说明理由；(3)如图③，点P落在与外，与的角平分线相交于点Q，（2）中与∠BQD之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由．

参考答案第I卷（选择题）一、单选题（每题2分，共20分）1．【答案】C【分析】利用线段的性质解答即可．【详解】解：A，B两个村庄在一条河l（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A、B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求的码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短.故选：C．【点睛】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．2．【答案】D【分析】将逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断．【详解】解：A、当时，，故不是此方程的解；B、当时，，故不是此方程的解；C、当时，，故不是此方程的解；D、当时，，故是此方程的解；故选：D．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．3．【答案】D【分析】利用等式的性质判断即可．【详解】解：如图框图内表示解方程3-5x=2（2-x）的流程，其中依据“等式性质”是②④，故选：D．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．【答案】B【分析】此题考查了方向角的求解，解题的关键是熟练掌握方向角的有关知识．设正南方向，正北方向以及正东方向分别为点，根据题意求得的度数即可求解．【详解】解：设正南方向，正北方向以及正东方向分别为点，如下图：由题意可得：，，，∴，即地在灯塔的南偏东方向，故选：B．5．【答案】C【分析】本题考查了圆的相关知识，涉及劣弧的定义，弦长，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关的知识．根据劣弧的定义，弦长，勾股定理逐一判断即可．【详解】①和都用两个字母表示，是小于半圆的弧，是劣弧，故①正确；②，是的直径，又直径是圆中最长的弦，故②正确；③过同一条直线上的三个点不能作圆，故③错误；④，，，，的半径为，故④正确．故选:C．6．【答案】D【分析】根据已知分别求出、CD的长，即可得出结论．【详解】解：如图，

∵，，∴，又∵，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查线段的和差，根据已知画出图形是解题的关键．7．【答案】C【分析】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线，五边形从一个顶点出发，可以画条对角线，六边形从一个顶点出发，可以画条对角线，∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线，故选：C．8．【答案】B【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．【详解】解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×(200+50)+6(2×50+200)＝7050(m)，当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6(50+200)＝7000(m)，当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(50+200)+5×200+6×50＝8800(m)，当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×(2×50+200)+5(50+200)+20×50＝11900(m)，因为7000＜7050＜8800＜11900，所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键．9．【答案】C【分析】本题主要考查了度分秒的换算，三角板内角度的求解，根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数．【详解】解：，，，，故选：C．10．【答案】C【分析】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．根据图形中的规律即可求出的展开式的第10项．【详解】解：找规律发现展开式的第二项为；展开式的第三项为；展开式的第四项为；展开式的第五项为；；∴展开式的第n项为；∴展开式的第十项是．故选：C．第II卷（非选择题）二、填空题（每题2分，共12分）11．【答案】九【分析】本题主要考查了多边形对角线的问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数【详解】解：设多边形有条边，则，解得．故这个多边形是九边形．故答案为：九．12．【答案】两点确定一条直线【分析】由题知，将教室座位看作一个个点，座位整齐否，只需要观察每个点是否在同一条直线即可，根据直线的性质解答．【详解】王小毛利用的数学原理：两点确定一条直线；故答案为：两点确定一条直线．【点睛】本题考查直线的性质及定义，难点在于对实际问题数学模型化，寻找对应的原理．13．【答案】60°【分析】由图可知∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠BOC+∠BOD=∠COD，依此角之间的和差关系，即可求解．【详解】∠AOC+∠DOB=∠AOB+∠BOC+∠DOB=∠AOB+∠COD=90°+90°=180°，∵∠AOC=120°，∴∠BOD=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的定义，根据题意列出式子是解题关键．14．【答案】①②③【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．【详解】①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满；②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满；③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满；④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满．故答案为：①②③．【点睛】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．15．【答案】15【分析】分别解两个方程，根据方程的解互为相反数，列出方程，解出k即可；【详解】解：，，，，，解方程：，，，，根据题意列出方程，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查解一元一次方程，依据解方程步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行计算，解题关键正确应用运算法则．16．【答案】4或16【分析】根据题意分两种情况画图解答即可．【详解】解：①如图，，，点是折线的“折中点”，点为线段的中点，；②如图，，，点是折线的“折中点”，点为线段的中点，．综上所述，的长为4或16．故答案为：4或16．【点睛】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是根据题意画出两个图形进行解答．三、解答题（共68分）17．【答案】(1)x=2；(2)x=1【分析】本题考查了解一元一次方程；（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程；（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．【详解】（1）解：，去括号，，移项，，合并同类项，，化系数为，x=2；（2）去分母得：，移项、合并同类项得：，系数化为，得：x=1．18．【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可．【详解】解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短；情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二．故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二．19．【答案】(1)图见解析，4；(2)图见解析，2或4；【分析】（1）在线段MN上截取PN=2，再计算线段的差即可；（2）分两种情况讨论：①当点在点左侧时，由线段差求得MP，再由线段中点计算求值即可；②当点在点右侧时，由线段和求得MP，再由线段中点计算求值即可；【详解】（1）解：如图，点在线段上时，；（2）解：①当点在点左侧时，如图所示：，∵点为的中点，∴；②当点在点右侧时，如图所示：由图形可知：，∵点为的中点，∴，综上所述，的长为2或4；【点睛】本题考查了线段的和差计算，线段中点的有关计算；根据线段位置关系分情况讨论是解题关键．20．【答案】见解析【分析】）根据作一条线段等于已知线段的作图步骤解答即可；【详解】解：如图所示，即为所求．

【点睛】本题考查了尺规作图，解题的关键是用圆规依次截取一条线段等于已知线段即可．21．【答案】【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有的方程，从而求出即可．先将的解求出，然后将的相反数代入求出的值．【详解】解：，∴，∴，∴，解得：，是方程的解，∴，∴，整理得：，解得：，答：的值为．22．【答案】(1)(2)轮船在灯塔的北偏东方向上【分析】（1）根据即可求出；（2）根据平分求出，然后根据即可解答．本题主要考查方向角的知识点，解答本题的关键是搞懂方向角的概念和利用好角平分线的知识点．【详解】（1）解：如图所示，因为轮船在灯塔的北偏西的方向上，轮船在灯塔的南偏东的方向上，所以．（2）解：因为平分，所以，所以，所以轮船在灯塔的北偏东方向上．23．【答案】56；∠EOF；22；∠EOB；22；同角的余角相等【分析】根据角平分线的定义、余角的概念解答．【详解】解：∵∠EOC＝90°，∠COF＝34°，∴∠EOF＝90°-∠COF=90°-34°=56°，∵OF是∠AOE的角平分线，∴∠AOF＝∠EOF＝56°，∴∠AOC＝∠AOF-∠COF＝56°-34°=22°