2024年广东省广州市黄埔区中考一模数学试题（解析版）

2024年初中毕业班综合测试（一）数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共6页，满分120分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考生号和座位号填写在答题卡上，再用2B铅笔将考生号、座位号对应的信息点涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题。（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列各数为无理数的是（）。A.3 B.3.14 C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查无理数的概念，无限不循环小数就是无理数，这是解题的关键．根据无理数的概念逐一分析判定．【详解】A．3是整数，属于有理，不符合题意；B．3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意；C．是无理数，符合题意；D．是分数，属于有理数，不符合题意；故选：C．2.如图表示互为相反数的两个点是（）。A.点与点 B.点与点 C.点与点 D.点与点【答案】B【解析】【分析】根据一个数的相反数定义求解即可．【详解】解：在-3，-1,2,3中，3和-3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．

故选：B．【点睛】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．3.位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前位进入决赛．如果小尹知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这位同学成绩的（）。A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数【答案】D【解析】【分析】参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可．【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较.故应知道中位数的多少.故选D.【点睛】此题考查统计量的选择，解题关键在于掌握中位数的意义.4.下列运算正确的是（）。A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减，乘法计算，然后逐项判断即可．【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；B．，故原运算错误；C．5与不是同类二次根式，不可以合并，故运算错误；D．，故原运算正确，故选：D．5.分式方程的解是（）。A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：，去分母，得，移项、合并同类项，得，检验：把代入，∴分式方程的解为，故选：B．6.在中，对角线、交于点O，若，，，的周长为（）。A.13 B.16 C.18 D.21【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质对角线互相平分，进而得出，的长，即可得出的周长．【详解】解：∵的两条对角线交于点O，，，，∴，，，∴的周长为：．故选：A．7.如图，中，，，，是上的一点，，垂足为，若，则的长为（）。A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质即判定，利用相似三角形的性质建立比例关系是解题的关键．利用勾股定理求出的长，利用相似三角形的判定方法判定出，再通过相似的性质建立边的比值关系求出的长，再利用勾股定理运算求解即可．【详解】解：∵中，，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即：，解得：，∵，∴，故选：A．8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为（）。A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．过作轴于点，利用勾股定理求出菱形的边长，再求出的坐标后，代入反比例函数解析式求出的值，利用平移的性质得到点的坐标后，代入反比例函数解析式中运算求解即可．【详解】解：过作轴于点，如图所示：∴，∵点的坐标为，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，∴，∵点A在反比例函数的图象上，∴把代入可得：，∴，又∵点向右平移个单位后的坐标为：，∴把，代入可得：，解得：，故选：C．9.如图，在塔前的平地上选择一点，由点看塔顶的仰角是，在点和塔之间选择一点，由点看塔顶的仰角是．若测量者的眼睛距离地面的高度为，，，，则塔的高度大约为（）。m．（参考数据：，）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟悉利用三角函数边的比值关系建立等量关系是解题的关键．根据锐角三角函数边的比值关系建立等式运算求解即可．【详解】解：由题意可建立如图所示平面图：∴，，∵，∴设，则，∴，即，解得：，∴，∴，即塔高为m，故选：A．10.已知抛物线（a，b，c是常数，，），经过点，其对称轴是直线．则下列结论：①；②关于x的方程无实数根；③当时，y随x增大而减小；④.其中正确的结论有（）个。A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数解析式中的系数与图象的有关系是解题的关键．利用对称轴判定④，根据，结合抛物线的解析式判定①，根据，结合对称轴判定③，根据二次函数与一元二次方程的关系判定②．【详解】∵对称轴直线，∴，整理，得，④正确；即：，把点代入解析式，得，即，∴，∵，∴，解得：，，∴，①正确；∵，∴抛物线的开中向下，当时，y随x增大而减小，③错误；∵，∴直线与抛物线有两个交点，∴关于x的方程有两个不相等的实数根，②错误；综合分析可得，正确的有：①④，故选：B.第二部分非选择题（共90分）二、填空题。（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。）11.代数式在实数范围内有意义时，应满足的条件是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟悉掌握二次根式的概念是解题的关键．根据二次根式有意义的概念运算求解即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：．12.因式分解___________．【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后再用平方差公式分解因式．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．13.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ADC＝60°，∠B＝30°，若CD＝3cm，则BD＝_____cm．【答案】6【解析】【分析】根据30°直角三角形的比例关系求出AD,再根据外角定理证明∠DAB=∠B,即可得出BD=AD．【详解】∵∠B＝30°，∠ADC＝60°，∴∠BAD＝∠ADC﹣∠B＝30°，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴∠CAD＝30°，∴BD＝AC＝2CD＝6cm，故答案为：6．【点睛】本题考查30°直角三角形的性质、三角形的外角性质，关键在于熟练掌握基础知识并灵活运用．14.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式，解不等式即可求解．掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【详解】解：根据题意得且，解得：且．∴的取值范围为且．故答案为：且．15.如图，绕点逆时针旋转，得到（点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点），点恰好落在边上，则的度数为________．【答案】105【解析】【分析】由旋转的性质可知，，，再根据等腰三角形点性质及三角形内角和定理，得到，然后根据平行四边形和平行线的性质，即可求出的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，，，，，，故答案为：105．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形点性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．16.如图，已知正方形的边长为2，E为的中点，F是边上的一个动点，连接，将沿折叠得，若延长交边于点M，则的取值范围______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，一点到圆上一点距离的最值问题，勾股定理，先由正方形的性质得到，则由勾股定理得到；由折叠的性质可得，则点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，据此可得当点H在上时，有最小值，最小值为；当点F运动到点D时，有最大值，利用勾股定理求出最大值即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接，∵正方形的边长为2，E为的中点，∴，∴，由折叠的性质可得，∴点H在以点E为圆心，半径为1的圆上运动，∴当点H在上时，有最小值，最小值为；∵点F在上运动，∴当点F运动到点D时，有最大值，∴，∴，故答案为：．三、解答题。（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.解方程：x2+6x+5=0．【答案】x1=-1，x2=-5【解析】【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【详解】x2+6x+5=0(x+1)(x+5)=0∴x+1=0或x+5=0∴x1=-1．x2=-5【点睛】此题考查了解一元二次方程−−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18.如图，在四边形中，平分和．求证：，．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，由角平分线的定义得到，进而利用证明，据此可证明，．详解】证明：∵平分和，∴，又∵，∴，∴，．19.已知．（1）化简；（2）已知反比例函数的图象经过点，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，反比例函图象点的坐标特征，因式分解等知识点，熟练运用运算法则运算是解题的关键．（1）利用因式分解对分式进行通分，再运算化简即可；（2）把点代入得到关于的式子后，代入运算即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：∵在反比例函数上，∴把，代入可得：，整理得：，∴．20.“2023广州黄埔马拉松”比赛当天，某校玩转数学小组针对其中一个项目“半程马拉松”（21.0975公里）进行调查．（1）为估算本次参加“半程马拉松”的人数，调查如下：调查总人数2050100200500参加“半程马拉松”人数7173158150参加“半程马拉松”频率0.350.340.310.290.30已知共有20000人参与“2023广州黄埔马拉松”比赛，请估算本次赛事中，参加“半程马拉松”项目的人数约为______人；（2）本赛事某岗位还需要2名志愿者参与服务工作，共有4人参加了志愿者遴选，其中初中生2名，高中生1名，大学生1名，请利用画树状图或列表的方法，求恰好录取2名初中生志愿者的概率．【答案】（1）6000（2）【解析】【分析】本题主要考查的是频率，用列表法或树状图法求概率，解题的关键是正确的画出表格或数状图．（1）利用表格中的数据确定出参加“2023广州黄埔马拉松”比赛的频率，根据频率求频数；（2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．【小问1详解】由表格中的数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的频率为，∴参加“半程马拉松”项目的人数约为：（人），故答案为：6000；【小问2详解】列表得：

初中生1初中生2高中生大学生初中生1

初中生2，初中生1高中生，初中生1大学生，初中生1初中生2初中生1，初中生2

高中生，初中生2大学生，初中生2高中生初中生1，高中生初中生2，高中生

大学生，高中生大学生初中生1，大学生初中生2，大学生高中生，大学生

由表格可得，共有12种等可能出现的结果，其中恰好录取2名初中生志愿者的情况有种，恰好录取2名初中生志愿者的概率．21.某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元．（1）求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元；（2）文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，那么这个文具店至少购进甲种圆规多少个？【答案】（1）购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元（2）这个文具店至少购进甲种圆规80个【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是：（1）设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据“若购进甲种圆规10个，乙种圆规30个，需要340元；若购进甲种圆规30个，乙种圆规50个，需要700元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可；（2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元”列出关于m的不等式，求解即可．小问1详解】解：设购进甲圆规每个需要x元，乙圆规每个需要y元，根据题意，得，解得，答：购进甲圆规每个需要10元，乙圆规每个需要8元；【小问2详解】解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据题意，得，解得，答：这个文具店至少购进甲种圆规80个．22.如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．（1）尺规作图：作抛物线的对称轴，交轴于点，并标记抛物线的顶点，连接，且与对称轴相交于点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，若，求的大小及的值．【答案】（1）详情见解析；（2）；．【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象性质，垂直平分线的作法，一次函数的图象性质等知识点，熟悉掌握各函数点的坐标特征是解题的关键．（1）根据抛物线的对称轴为的中垂线，按要求作图即可；（2）求出点和的坐标，由列式运算出的值，根据的值求出各边的长进而求解即可．【小问1详解】解：由题意可知抛物线的对称轴为的中垂线，再按要求作图如下：【小问2详解】解：把代入可得：，∴，把代入可得：，解得：或，∵，∴，，∴，∵，即，解得：或（舍去），∴，，，，∵的中点坐标为：，即，∴把代入可得：，∴，∴，∵，∴，设直线的函数解析式为，则：，解得：，所以直线的表达式为：，把代入可得：，∴，∴，∵，∴．23.如图，内接于，，的延长线交于点．（1）求证：平分；（2）若，，求和的长．【答案】（1）证明见详解；（2）；．【解析】【分析】（1）延长交于，连接，证明，在线段的垂直平分线上，得出，再由等腰三角形的性质即可得出结论；（2）延长交于，连接，则是的直径，可得，由圆周角定理得出，可得，求出的长，由勾股定理求出，利用平行线判定出，由相似三角形的比值关系求出，即可得到；由三角形的中位线定理求出的长，再通过勾股定理求即可．【小问1详解】延长交于，连接，如图所示：∵，，∴，在线段的垂直平分线上，∴，又∵，∴平分；【小问2详解】延长交于，连接，如图所示：∴是的直径，∴，，∵∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∵，，∴是的中点，∴，∵是的中点，∴是的中位线，∴，∴，∴中：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的性质及判定，三角函数等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．24.如图，在矩形和矩形中，，，,．矩形绕着点A旋转，连接，，，．（1）求证：；（2）当的长度最大时，①求的长度；②在内是否存在一点P，使得值最小?若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析（2）①；②存在，最小值是【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，先证，利用相似三角形的性质准备条件，再证即可；（2）①先确定当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，并画出图形，在中求出的长，最利用的性质求解即可；②将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到,且使，连接，过P作于S，过点L作垂直的延长线于点Q，确定，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴，∵矩形和矩形，∴，，，∴，∴，，∴，，即，，∴【小问2详解】∵，∴当在矩形外，且三点共线时，的长度最大，如图所示：此时，，①∵，，∴，，在中，，，∴，由（1）得：，∴，即，∴；②如图，将绕着点A顺时针旋转,且使，连接，同理将绕着点A顺时针旋转,得到,且使，连接，由旋转可得：，∴，∴，∴,过P作于S，则，，∴，则，∴，∴，∵，即，当C、P、K、L四点共线时，的长最小，由题意，，，，，过点L作垂直的延长线于点Q，，∴，，则，在中，根据勾股定理得，∴的最小值为.【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键.25.已