2025年新高考数学一轮复习讲义：第一章集合、常用逻辑用语、不等式（学生版）

§1.1集合课标要求1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：______________、____________、____________.(2)元素与集合的关系是________或________，用符号____________或____________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*(或N＋)2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是__________的子集，是____________的真子集．3．集合的基本运算表示运算集合语言图形语言记法并集交集补集常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.()(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．()2．(必修第一册P14T4改编)设集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则(∁RA)∩B等于()A．{x|2<x≤3}B．{x|7<x<10}C．{x|2<x<3或7≤x<10}D．{x|2<x≤3或7<x<10}3．(必修第一册P35T9改编)已知集合A＝{1,3，a2}，B＝{1，a＋2}，若A∪B＝A，则实数a＝________.4．(必修第一册P9T5改编)已知集合A＝{x|0<x<a}，B＝{x|0<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________________.题型一集合的含义与表示例1(1)(2023·长春模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|x＋y＝0}，则A∩B的子集个数为()A．1B．2C．3D．4(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为()A．2B．3C．0D．－2跟踪训练1(1)(2023·苏州模拟)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为()A．3B．4C．5D．6(2)若含有3个实数的集合既可表示成eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，又可表示成{a2，a＋b,0}，则a2024＋b2024＝________.题型二集合间的基本关系例2(1)(2023·海口质检)已知集合A＝{x|x>5}，B＝{x|1－log2x<0}，则()A．A⊆B B．B⊆AC．A∩B＝∅ D．A∪B＝R(2)已知集合A＝{x|x<－1或x≥3}，B＝{x|ax＋1≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C．(－∞，－1)∪[0，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0))∪(0,1)思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2(1)已知集合M＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是()A．MN B．NMC．M⊆∁RN D．N⊆∁RM(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，当x∈Z时，集合A的非空真子集的个数为________；当B⊆A时，实数m的取值范围是_____________________________．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3(1)(2022·新高考全国Ⅰ)若集合M＝{x|eq\r(x)<4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N等于()A．{x|0≤x<2}B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<2))))C．{x|3≤x<16}D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x<16))))(2)(多选)已知M，N均为实数集R的子集，且N∩(∁RM)＝∅，则下列结论中正确的是()A．M∩(∁RN)＝∅B．M∪(∁RN)＝RC．(∁RM)∪(∁RN)＝∁RMD．(∁RM)∩(∁RN)＝∁RM命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为()A．－eq\f(1,3)B.eq\f(1,3)C．0D．－eq\f(1,2)(2)(2024·本溪模拟)设集合A＝{x|x<a2}，B＝{x|x>a}，若A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为()A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)跟踪训练3(1)(多选)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|1<x<3}，则()A．(∁RA)∪B＝{x|0≤x<3}B．(∁RA)∩B＝{x|1<x<2}C．A∩B＝{x|2<x<3}D．A∩B是{x|2<x<5}的真子集(2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为()A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)题型四集合的新定义问题例5(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①∀a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；②∃e∈G，使得∀a∈G，有e·a＝a·e＝a；③∀a∈G，∃b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有()A．G＝{－1,0,1}关于数的乘法构成群B．G＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,k)，k∈Z，k≠0))))∪{x|x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群C．实数集关于数的加法构成群D．G＝{m＋eq\r(2)n|m，n∈Z}关于数的加法构成群跟踪训练4(多选)设A为非空实数集，若对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为()A．集合A＝{－2，－1,0,1,2}为封闭集B．集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}为封闭集C．封闭集一定是无限集D．若A为封闭集，则一定有0∈A

§1.2常用逻辑用语课标要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的____________条件，q是p的____________条件p是q的____________条件p⇒q且q⇏pp是q的____________条件p⇏q且q⇒pp是q的____________条件p⇔qp是q的________________条件p⇏q且q⇏p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记否定∃x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．()(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．()(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．()(4)命题“∃x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)”是真命题．()2．(必修第一册P30例4(1)改编)(多选)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是()A．p是真命题B．綈p：∀x∈R，x＋2>0C．綈p是真命题D．綈p：∃x∈R，x＋2>03．(必修第一册P22T2(5)改编)设x>0，y>0，则“x2>y2”是“x>y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________________________.题型一充分、必要条件的判定例1(1)(2023·葫芦岛模拟)已知向量n为平面α的一个法向量，向量m为直线l的一个方向向量，则m∥n是l⊥α的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)在等比数列{an}中，“a1>0，且公比q>1”是“{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件思维升华充分、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p是否成立进行判断．(2)集合法：根据p，q成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：对所给题目的条件进行一系列的等价转化，直到转化成容易判断充分、必要条件是否成立为止．跟踪训练1(1)(2024·贵阳模拟)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，则“φ＝eq\f(π,2)”是“f(x)是奇函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件．也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q对p成立也是很必要的．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题型二充分、必要条件的应用例2在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题．问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________充分不必要条件的等价形式p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件．典例已知命题p：|x|≤1，q：x＜a，若綈q是綈p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________________________________________________________________________．跟踪训练2从①“充分不必要条件”，②“必要不充分条件”这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤2x≤32))))，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的________，求正实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三全称量词与存在量词命题点1含量词的命题的否定例3(1)(多选)下列说法正确的是()A．“正方形是菱形”是全称量词命题B．∃x∈R，ex<ex＋1C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”(2)写出“所有实数都不是无理数”的否定形式：________________________________________________________________________.________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2含量词的命题的真假判断例4(多选)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1D．∃x∈R，tanx＝2命题点3含量词的命题的应用例5(1)若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，1]C．(－∞，2] D．(－∞，5](2)(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是()A．－1B．0C．1D．2跟踪训练3(1)下列命题为真命题的是()A．任意两个等腰三角形都相似B．所有的梯形都是等腰梯形C．∀x∈R，x＋|x|≥0D．∃x∈R，x2－x＋1＝0(2)(多选)已知命题p：∀x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，命题q：∃x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≤0，则下列说法正确的是()A．命题p的否定是“∃x∈[0,1]，不等式2x－2<m2－3m”B．命题q的否定是“∀x∈[1,3]，不等式x2－ax＋4≥0”C．当命题p为真命题时，1≤m≤2D．当命题q为假命题时，a<4

§1.3等式性质与不等式性质课标要求1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔ab，,a－b＝0⇔ab，,a－b<0⇔ab))(a，b∈R)．2．等式的性质性质1对称性：如果a＝b，那么________；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么__________________________；性质3可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么____________________________．3．不等式的性质性质1对称性：a>b⇔____________；性质2传递性：a>b，b>c⇒____________；性质3可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；性质4可乘性：a>b，c>0⇒______________________________；a>b，c<0⇒____________；性质5同向可加性：a>b，c>d⇒__________________；性质6同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒____________；性质7同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．常用结论不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<b<0⇒eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；③a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；②假分数的性质eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)，eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．()(2)若eq\f(b,a)>1，则b>a.()(3)同向不等式具有可加性和可乘性．()(4)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则b<a.()2．(必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是()A．lna<lnb B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2<b2 D．a3<b33．(必修第一册P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为____________________．4．(必修第一册P42T5改编)已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________________.题型一数(式)的大小比较例1(1)(多选)下列不等式中正确的是()A．x2－2x>－3(x∈R)B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C．a2＋b2>2(a－b－1)D．若a>b>0，则a2－b2>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)(2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则()A．aa<ab<ba B．aa<ba<abC．ab<aa<ba D．ab<ba<aa思维升华比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1(1)若lna>lnb，则()A.eq\f(1,a2)>eq\f(1,b2) B.eq\f(b,a)<eq\f(b－2023,a－2023)C．πa－b<3a－b D．a－b>eq\f(1,a)－eq\f(1,b)(2)已知M＝eq\f(e2023＋1,e2024＋1)，N＝eq\f(e2024＋1,e2025＋1)，则M，N的大小关系为________．题型二不等式的基本性质例2(1)若实数a，b满足a<b<0，则()A．a＋b>0 B．a－b<0C．|a|<|b| D.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，则a＋c>b＋cC．若a>b>c>0，则eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)D．若a>b>c>0，则eq\f(b,a－b)>eq\f(c,a－c)跟踪训练2(1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．－a2<－abC．ln|a－1|>ln|b－1|D．2a－b>1题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是()A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7延伸探究若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为()A．20B．22C．26D．28跟踪训练3(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则()A．a＋b的取值范围为[4,7]B．b－a的取值范围为[2,3]C．ab的取值范围为[3,10]D.eq\f(a,b)的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,5)))(2)已知2<x<4，－3<y<－1，则eq\f(x,x－2y)的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(2,3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))

§1.4基本不等式课标要求1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题．知识梳理1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：____________.(2)等号成立的条件：当且仅当____________时，等号成立．(3)其中______________叫做正数a，b的算术平均数，____________叫做正数a，b的几何平均数．2．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值__________．(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值__________．注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．常用结论几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2与eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的．()(2)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.()(4)函数y＝sinx＋eq\f(4,sinx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.()2．(必修第一册P48习题T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．43．已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16)D．14．(2023·重庆模拟)已知x>0，y>0，x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________.题型一基本不等式的理解及常见变形例1(1)若0<a<b，则下列不等式一定成立的是()A．b>eq\f(a＋b,2)>a>eq\r(ab)B．b>eq\r(ab)>eq\f(a＋b,2)>aC．b>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)>aD．b>a>eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)(2)《几何原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为点E，则该图形可以完成的无字证明为()A.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)C.eq\r(ab)≥eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))(a>0，b>0)D.eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)思维升华基本不等式的常见变形(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．跟踪训练1(1)已知p：a>b>0，q：eq\f(a2＋b2,2)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab) B.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(a＋b,2) D．ab≤eq\f(a2＋b2,2)题型二利用基本不等式求最值命题点1直接法例2(1)(多选)下列代数式中最小值为2的是()A．x－eq\f(1,x) B．2x＋2－xC．x2＋eq\f(1,x2) D.eq\r(x2＋2)＋eq\f(1,\r(x2＋2))(2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2配凑法例3(1)(2023·许昌模拟)已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则aeq\r(1＋b2)的最大值为()A.eq\r(7)B.eq\r(3)C．2eq\r(2)D．2(2)已知x>1，则eq\f(x2＋3,x－1)的最小值为()A．6B．8C．10D．12与基本不等式模型结构相似的对勾函数模型如图，对于函数f(x)＝x＋eq\f(k,x)，k＞0，x∈[a，b]，[a，b]⊆(0，＋∞)．(1)当eq\r(k)∈[a，b]时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)≥2eq\r(k)，f(x)min＝f(eq\r(k))＝eq\r(k)＋eq\f(k,\r(k))＝2eq\r(k)；(2)当eq\r(k)＜a时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在区间[a，b]上单调递增，f(x)min＝f(a)＝a＋eq\f(k,a)；(3)当eq\r(k)＞b时，f(x)＝x＋eq\f(k,x)在区间[a，b]上单调递减，f(x)min＝f(b)＝b＋eq\f(k,b).因此，只有当eq\r(k)∈[a，b]时，才能使用基本不等式求最值，而当eq\r(k)∉[a，b]时只能利用对勾函数的单调性求最值．典例函数f(x)＝x2＋eq\f(3,x2＋2)的最小值是______．命题点3代换法例4(1)已知正数a，b满足eq\f(8,b)＋eq\f(4,a)＝1，则8a＋b的最小值为()A．54B．56C．72D．81延伸探究已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________．(2)已知正数a，b满足a＋2b＝3恒成立，则eq\f(1,a＋1)＋eq\f(2,b)的最小值为()A.eq\f(3,2)B.eq\f(9,4)C．2D．3命题点4消元法例5已知正数a，b满足a2－2ab＋4＝0，则b－eq\f(a,4)的最小值为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)命题点5构造不等式法例6若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为()A．9B．6C．3D．12跟踪训练2(1)(多选)下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(π,2)))B．y＝2－x－eq\f(4,x)(x＜0)C．y＝eq\f(x2＋6,\r(x2＋5))D．y＝4x＋4－x(2)(多选)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为6eq\r(2)－3D.eq\f(1,ab＋1)＋eq\f(1,b)的最小值为eq\f(1,2)

§1.5基本不等式的综合应用课标要求1.会求与基本不等式有关的恒成立问题.2.理解基本不等式在实际问题中的应用.3.掌握基本不等式在其他知识中的应用．题型一与基本不等式有关的恒(能)成立问题例1(1)已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若2x＋y<m2－8m有解，则实数m的取值范围为()A．(－∞，－1)∪(9，＋∞)B．(－∞，－1]∪[9，＋∞)C．(－9，－1)D．[－9,1](2)若对于任意的x>0，不等式eq\f(x2＋3x＋1,x)≥a恒成立，则实数a的取值范围为()A．[5，＋∞) B．(5，＋∞)C．(－∞，5] D．(－∞，5)思维升华∃x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；∃x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.跟踪训练1(1)对任意的x∈(－∞，0)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为()A．{m|－2<m<2} B．{m|m>2}C．{m|m>－2} D．{m|m≤－2}(2)(2023·忻州模拟)已知a2＋b2＝k，若eq\f(4,a2)＋eq\f(9,b2＋1)≥1恒成立，则k的最大值为()A．4B．5C．24D．25题型二基本不等式的实际应用例2第19届亚运会于2023年9月在杭州举办，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练2第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在四川成都举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入eq\f(1,6)(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入eq\f(x,5)万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型三基本不等式与其他知识交汇的最值问题例3(1)若“∃x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得3x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的最大值是()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．4D．5(2)在△ABC中，点D在线段BC上，且满足|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,4)|eq\o(BC,\s\up6(→))|，点E为线段AD上任意一点，若实数x，y满足eq\o(BE,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)的最小值为()A．2eq\r(2) B．4eq\r(3)C．4＋2eq\r(3) D．9＋4eq\r(2)跟踪训练3双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为eq\f(π,3)，离心率为e，则eq\f(a2＋e,b)的最小值为()A.eq\f(2\r(6),3)B.eq\f(\r(6),3)C．2eq\r(6)D.eq\r(6)

§1.6一元二次方程、不等式课标要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．知识梳理1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系方程的判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数的图象方程的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根不等式的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))R2.分式不等式与整式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔_________________________________________________________；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔_________________________________________________________.3．简单的绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为______________________________________________________，|x|<a(a>0)的解集为______________________________________________________．常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0；(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0；(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.()(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.()(4)不等式eq\f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.()2．(必修第一册P55T5改编)已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________.3．(必修第一册P58T6改编)若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为____________________．4．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则a＋b＝________.题型一求解一元二次不等式命题点1不含参的不等式例1(多选)下列选项中，正确的是()A．不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}B．不等式eq\f(2x＋1,x－2)≤1的解集为{x|－3≤x<2}C．不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3}D．设x∈R，则“|x－1|<1”是“eq\f(x＋4,x－5)<0”的充分不必要条件命题点2含参的不等式例2已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3.(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1<x<3}，求a，b的值；(2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1设函数f(x)＝ax2－(1＋a)x＋1.(1)若a＝－2，解不等式f(x)>0；(2)若a>0，解关于x的不等式f(x)<0.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________题型二三个二次之间的关系例3(1)(多选)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－4或x≥5}，则下列说法正确的是()A．a>0B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－5}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,5)或x>\f(1,4)))))D．a＋b＋c>0(2)若方程x2－4x＋a＝0的两根都在区间(1，＋∞)内，则实数a的取值范围是______________．一元二次方程根的分布解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．(1)判别式Δ的符号．(2)对称轴x＝－eq\f(b,2a)与所给区间的位置关系．(3)区间端点处函数值的符号．典例已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m的取值范围；(2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练2(1)(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)(x1<x2)，则下列结论正确的是()A．x1＋x2＝2 B．x1x2<－3C．－1<x1<x2<3 D．x2－x1>4(2)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(x)<0恰有3个整数解，写出一个符合题意的函数解析式为f(x)＝________________________.题型三一元二次不等式恒成立问题例4已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1.(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；(2)若不等式f(x)≥0对一切x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))恒成立，求m的取值范围；(3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0,2)恒成立，求x的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________跟踪训练3已知函数f(x)＝x2－3x＋a.(1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)若f(x)<0在x∈(－1,2)上恒成立，求实数a的取值范围．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________