2025年高中数学初高衔接-第02讲：因式分解（学生版）-初升高数学暑假衔接（人教版）

第02讲：因式分解【考点梳理】考点一、公式法(立方和、立方差公式)这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．考点二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．考点三、十字相乘法1．型的因式分解(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．.因此，.2．一般二次三项式型的因式分解大家知道，．反过来，就得到：我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．题型突破题型一：提取公因式和公式法因式分解1．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（）A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣12．因式分解(1)(2)(3)(4)3．阅读下列材料：已知a2+a-3=0，求a2(a+4)的值．解：∵a2=3-a，∴a2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a2-4a=-a2-a+12=-(3-a)-a+12=9，∴a2(a+4)=9．根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若a2-a-10=0，则2(a+4)(a-5)的值为____________．（2）若x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．4．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．例如：对于．（1）用配方法分解因式；（2）当取何值，代数式有最小值？最小值是多少？解：（1）原式．（2）由（1）得：，，，当时，代数式有最小值，最小值是．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)用配方法因式分解：；(2)试说明不论为何值，代数式恒为负数；(3)若已知且，求的值．题型二：分组分解法5．把下列各式因式分解(1)a(a-3)+2(3-a)

(2)(3)(4)6．（1）分解因式：（2）分解因式：7．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：分组组内分解因式整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：；(2)已知的三边满足，判断的形状并说明理由．8．阅读材料：若，求x，y的值．解：∵∴∴∴，∴根据上述材料，解答下列问题：（1），求的值；（2），，求的值．题型三：十字相乘法9．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；10．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若是多项式的一个因式，求的值；(2)若和是多项式的两个因式，试求，的值．(3)在（2）的条件下，把多项式因式分解．11．因式分解：(1)(2)12．阅读材料：解方程x2+2x﹣35＝0我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式x2+2x﹣35，①竖分二次项与常数项：x2＝x•x，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，验中项：⇒7x﹣5x＝2x．③横向写出两因式：x2+2x﹣35＝（x+7）（x﹣5）．（2）根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0，则方程x2+2x﹣35＝0可以这样求解x2+2x﹣35＝0方程左边因式分解得（x+7）（x﹣5）＝0所以原方程的解为x1＝5，x2＝﹣7（3）试用上述方法和原理解下列方程：①x2+5x+4＝0；②x2﹣6x﹣7＝0；③x2﹣6x+8＝0；④2x2+x﹣6＝0．题型四：因式分解的综合13．已知，求下列代数式的值：（1）（2）14．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：，解：原式②，利用配方法求的最小值，解：∵，∴当时，有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______．(2)用配方法因式分解：．(3)若，求的最小值．(4)已知，则的值为______．15．嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析：嘉淇的分析：∵为整数，5为整数，∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．(1)通过计算验证能否被3整除；(2)用嘉淇的方法证明能被3整除；(3)设是一个四位数．，，，分别为对应数位上的数字，请论证“若能被3整除，则这个数可以被3整除”．16．材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这个四位数为“十全数”．交换这个“十全数”的千位数字与十位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“十全数”的“对应数”．例如：1298是“十全数”，其“对应数”为9812；5752是“十全数”，其“对应数”为5257．材料二：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．例如：，则0是完全平方数；，则121是完全平方数．(1)证明：一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除；(2)记为“十全数”，为的“对应数”，且．若，求满足是完全平方数的所有“十全数”．【专题突破】一、单选题17．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．18．下列分解因式正确的是（

）A． B．C． D．19．已知a＝2018x＋2018，b＝2018x＋2019，c＝2018x＋2020，则a2＋b2＋c2－ab－ac－bc的值是()A．0 B．1 C．2 D．320．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．821．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于(

)A．0 B．1 C．2 D．322．图2是图1中长方体的三视图，用S表示面积，则（）A． B． C． D．23．已知中，，若，，，且，则（

）A． B． C． D．二、填空题24．分解因式：______．25．若且，则_____．26．化简：＝____________．27．多项式的最小值为________．28．如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.，且．（1）若a，b是整数，则的长是___________；（2）若代数式的值为零，则的值是___________．29．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．三、解答题30．在实数范围内分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．31．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)．32．分解因式：．33．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1．用配方法因式分解：．原式．例2．若，利用配方法求的最小值；；∵，，∴当时，有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；(2)用配方法因式分解：；(3)若，求的最小值是多少；(4)已知，求的值．34．把下列各式因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．35．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如．根据以上材料，解答下列问题．(1)用配方法分解因式：；(2)求多项式的最小值；(3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长．36．利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如．根据以上材料，解答下列问题