2025秋 名师金典新课标高考总复习 数学 课时分层作业41

课时分层作业(四十一)(本试卷共83分．单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分．)一、单项选择题1．将12根长度相同的小木棍通过黏合端点的方式(不可折断)，不可能拼成()A．正三棱柱 B．正四棱锥C．正四棱柱 D．正六棱锥D[正三棱柱中9条棱长度可以完全相等，A成立；正四棱锥中8条棱长度可以完全相等，B成立；正四棱柱中12条棱长度可以完全相等，C成立；因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长，所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，D不成立．故选D.]2．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为()A．eq\f(\r(2),4) B．eq\f(\r(6),4)C．2eq\r(2) D．2eq\r(6)B[由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系eq\f(S直观图,S原图)＝eq\f(\r(2),4)，所以该三角形直观图的面积为eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)×22＝eq\f(\r(6),4).故选B．]3．(2025·菏泽模拟)印章是中国传统文化的代表之一，古代的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．如图是某展览馆展示的一个金属印章摆件，可看作是高相等的正四棱柱和正四棱锥组成的几何体，若该印章摆件的底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为10cm，则该印章摆件的体积约为(参考数据：eq\r(2)≈1.41)()A．940cm3 B．954cm3C．960cm3 D．964cm3A[如图，可得正四棱锥的高h＝eq\r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)×10))2)＝5eq\r(2)，则正四棱柱的高为5eq\r(2)，所以印章摆件的体积为V＝V正四棱柱＋V正四棱锥＝10×10×5eq\r(2)＋eq\f(1,3)×10×10×5eq\r(2)＝eq\f(2000\r(2),3)≈940(cm3)．故选A．]4．菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料．沉船出土了丰富的元代瓷器，其中白地褐彩龙凤纹罐(如图1)的高约为36cm，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成(如图2)，圆台的上底直径约为20cm，下底直径约为40cm，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为()A．4200πcm3 B．8400πcm3C．16800πcm3 D．33600πcm3B[根据题意，V＝2V圆台＝eq\f(2,3)π×eq\f(36,2)×(102＋10×20＋202)＝8400π(cm3)．故选B．]5．(2025·青岛模拟)在母线长为4，底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该几何体的表面积为()A．33π B．39πC．48π D．57πC[体积最大的圆锥的母线长为l＝eq\r(h2＋r2)＝eq\r(42＋32)＝5，则S表＝S圆柱侧＋S圆柱底＋S圆锥侧＝2πrh＋πr2＋πrl＝24π＋9π＋15π＝48π.故选C．]6．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AE＝EF＝FC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)C[如图，构造平面A1BD，平面CB1D1，则AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1，设正方体的棱长为1，则A1B＝A1D＝BD＝eq\r(2)，AC1＝eq\r(3)，所以AE＝EF＝FC1＝eq\f(\r(3),3).又VA1-ABD＝VC-B1C1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，设点A到平面A1BD的距离为h，则VA-A1BD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2·h＝eq\f(1,6)，解得h＝eq\f(\r(3),3)，所以E∈平面A1BD.同理可得F∈平面CB1D1，所以正方体夹在平面α与β之间的部分的体积为1－eq\f(1,6)×2＝eq\f(2,3)，所以占整个正方体体积的eq\f(2,3).故选C．]7．(2023·天津高考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝eq\f(1,3)PC，线段PB上的点N满足PN＝eq\f(2,3)PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,9)B[如图，因为PM＝eq\f(1,3)PC，PN＝eq\f(2,3)PB，所以eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(\f(1,2)PM·PN·sin∠BPC,\f(1,2)PC·PB·sin∠BPC)＝eq\f(PM·PN,PC·PB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以eq\f(VP-AMN,VP-ABC)＝eq\f(VA-PMN,VA-PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(2,9)(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B．]8．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，则eq\f(V甲,V乙)＝()A．eq\r(5) B．2eq\r(2)C．eq\r(10) D．eq\f(5\r(10),4)C[设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则eq\f(S甲,S乙)＝eq\f(πr1l,πr2l)＝eq\f(r1,r2)＝2，所以r1＝2r2.又eq\f(2πr1,l)＋eq\f(2πr2,l)＝2π，则eq\f(r1＋r2,l)＝1，所以r1＝eq\f(2,3)l，r2＝eq\f(1,3)l，所以甲圆锥的高h1＝eq\r(l2－\f(4,9)l2)＝eq\f(\r(5),3)l，乙圆锥的高h2＝eq\r(l2－\f(1,9)l2)＝eq\f(2\r(2),3)l，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr\o\al(2,1)h1,\f(1,3)πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(\f(4,9)l2×\f(\r(5),3)l,\f(1,9)l2×\f(2\r(2),3)l)＝eq\r(10).故选C．]二、多项选择题9．(2022·新高考Ⅱ卷)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则()A．V3＝2V2 B．V3＝V1C．V3＝V1＋V2 D．2V3＝3V1CD[设AB＝ED＝2FB＝2，则V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3)，V2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).连接BD交AC于M，连接EM，FM(图略)，则FM＝eq\r(3)，EM＝eq\r(6)，EF＝3，故S△EMF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\f(3\r(2),2)，V3＝eq\f(1,3)S△EMF×AC＝2，V3＝V1＋V2,2V3＝3V1.故选CD.]10．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，则()A．该圆台的高为1cmB．该圆台轴截面面积为3eq\r(3)cm2C．该圆台的体积为eq\f(7\r(3)π,3)cm3D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5cmBCD[如图1，作BE⊥CD交CD于点E，易得CE＝eq\f(CD－AB,2)＝1(cm)，则BE＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)(cm)，则圆台的高为eq\r(3)cm，A错误；圆台的轴截面面积为eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)(cm2)，B正确；圆台的体积为eq\f(1,3)×eq\r(3)×(π＋4π＋eq\r(π·4π))＝eq\f(7\r(3)π,3)(cm3)，C正确；将圆台的一半侧面展开，如图2中ABCD，设P为AD的中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形COD，由CE＝EO1可得BC＝OB＝2cm，则OC＝4cm，∠COD＝eq\f(\f(4π,2),4)＝eq\f(π,2)，又OP＝OA＋eq\f(AD,2)＝3(cm)，则CP＝eq\r(42＋32)＝5(cm)，即从点C到AD的中点所经过的最短路程为5cm，D正确．故选BCD.]三、填空题11．(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)和3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________.eq\f(\r(6),4)[由题意可得两个圆台的高分别为h甲＝eq\r([2r2－r1]2－r2－r12)＝eq\r(3)(r2－r1)，h乙＝eq\r([3r2－r1]2－r2－r12)＝2eq\r(2)(r2－r1)，所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)S上＋S下＋\r(S上S下)h甲,\f(1,3)S上＋S下＋\r(S上S下)h乙)＝eq\f(h甲,h乙)＝eq\f(\r(3)r2－r1,2\r(2)r2－r1)＝eq\f(\r(6),4).]12．(2023·新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________.28[如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P-ABCD后，得到正四棱台ABCD-ABCD，且AB＝2，AB＝4.记O，O分别为正四棱台ABCD-ABCD上、下底面的中心，H，H分别为AB，AB的中点，连接PO，PH，OH，OH，则PO＝3，OH＝1，OH＝2.易知△POH∽△POH，所以eq\f(PO,PO)＝eq\f(OH,OH)，即eq\f(3,PO)＝eq\f(1,2)，解得PO＝6，所以OO＝PO－PO＝3，所以该正四棱台的体积V＝eq\f(1,3)×3×(22＋2×4＋42)＝28.]13．(2025·金华模拟)魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．一个三阶魔方，由27个单位正方体组成，如图是把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积是()A．54 B．108－36eq\r(2)C．162－72eq\r(2) D．81－72eq\r(2)C[如图，转动了45°后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，设小三角形的直角边为x，则斜边为eq\r(2)x，故(2＋eq\r(2))x＝3，可得x＝3－eq\f(3\r(2),2).由几何关系得，阴影部分的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3\r(2),2)))2＝eq\f(27,4)－eq\f(9,2)eq\r(2)，所以，所求面积为S＝6×3×3＋16×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,4)－\f(9,2)\r(2)))＝162－72eq\r(2).故选C．]14．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为eq\r(3)，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝eq\f(2π,3).若△PAB的面积等于eq\f(9\r(3),4)，则该圆锥的体积为()A．π B．eq\r(6)πC．3π D．3eq\r(6)πB[在△AOB中，AO＝BO＝eq\r(3)，∠AOB＝eq\f(2π,3)，由余弦定理得AB＝eq\r(3＋3－2×\r(3)×\r(3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝3.设等腰三角形PAB底边AB上的高为h，则S△PAB＝eq\f(1,2)×3h＝eq\f(9\r(3),4)，解得h＝eq\f(3\r(3),2).由勾股定理得母线PA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))2)＝3，则该圆锥的高PO＝eq\r(PA2－OA2)＝eq\r(6)，所以该圆锥的体积为eq\f(1,3)×3π×eq\r(6)＝eq\r(6)π.故选B．]15．(多选)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则()A．圆锥的母线长为9B．圆锥的表面积为36πC．圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60°D．圆锥的体积为12eq\r(2)πAB[设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为πl2，圆锥的侧面积为πrl＝3πl，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2＝9πl，所以圆锥的母线长为l＝9，A正确；圆锥的表面积3π×9＋π×32＝36π，B正确；圆锥的底面圆周长为2π×3＝6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为αrad，则6π＝9α，解得α＝eq\f(2π,3)，即α＝120°，C错误；圆锥的高h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(92－32)＝6eq\r(2)，所以圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×32×6eq\r(2)＝18eq\r(2)π，D错误．故选AB．]16．(2025·济南模拟)在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为()A．eq\f(9,2)eq\r(7) B．eq\f(27,2)eq\r(3)C．18 D．36C[因为SA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC．故SB＝eq\r(SA2＋AB2)，SC＝eq\r(SA2＋AC2).因为AB⊥BC，所以AC>BC，AC>AB，故SB<SC，则该三棱锥的最长的棱为SC，故SC＝9.最短的