苏科版2025年新八年级数学暑假衔接讲义第2部分-预习-第03讲探索三角形全等的条件(AAS+SSS)(学生版+解析)

/第03讲探索三角形全等的条件（AAS+SSS）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．三边分别相等的两个三角形全等；2．证明两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；1.如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？解：全等。证：∵∠A=∠D，∠B=∠E∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°）在▲ABC和▲DEF中∴▲ABC≌▲DEF（ASA）通过自己实践后发现：（简写成“”或“”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．2.用∵、∴表述的有关推理过程也可以用符号⇒来表述。如上面的推理过程也可这样表示3.按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a作法：（1）作线段BC=a、（2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。（3）连接AB、AC。▲ABC是所求的三角形。通过自己实践后发现：（简写成“”或“”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．考点一：用AAS直接证明全等例1．如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（

）A． B． C． D．【变式1-1】如图，，，则判定与全等的依据是()A． B． C． D．【变式1-2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是：．【变式1-3】如图，点、在上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．考点二：用AAS间接证明全等例2．如图，已知，，则可以判定依据是（

）

A． B． C． D．【变式2-1】如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（

）A． B．2 C． D．3【变式2-2】如图，已知，，添加一个条件判定．【变式2-3】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．(1)若为的中点，求证：；(2)若平分，求的度数．考点三：全等的性质与AAS判定例3.如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（

）A． B． C． D．【变式3-1】如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（

）．A．3 B．4 C． D．【变式3-2】如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为．【变式3-3】如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．考点四：用SSS直接证明全等例4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（

）A． B． C． D．【变式4-1】如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式4-2】在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是．

【变式4-3】如图，与中，点B、F、C、E在同一直线上，若，求证：．考点五：用SSS间接证明全等例5．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（

）A． B． C． D．【变式5-1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【变式5-2】如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是．【变式5-3】如图，，，点在上．(1)求证：平分；(2)求证：．考点六：全等的性质与SSS判定例6.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（

）A． B． C． D．【变式6-1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式6-2】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为．

【变式6-3】【教材呈现】活动2

用全等三角形研究：“筝形”如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．请结合教材内容，解决下面问题：【概念理解】（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形．【性质探究】（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图2，在筝形中，，．求证：．证明：（3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明．【拓展应用】（4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数．1．如图，在中，，，过点C作，且，则的面积为（

）A．4 B．6 C．7 D．82．如图，，，过点的直线交于，交于，则图中全等三角形有（

）对．

A．4对 B．5对 C．6对 D．7对3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（）A． B． C． D．4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（）

A． B． C． D．6．如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（

）

A．2 B．4 C．6 D．87．小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（

）A． B． C． D．无法确定8．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．19．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为．10．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出的长，即可求出的长，此方案依据的数学定理或基本事实是．11．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则．12．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则°．13．如图，是外一点，是上一点，，，，，则的度数为．14．如图，在中，，，点D在边上，且，点E、F在线段上．，的面积为18，则与的面积之和．15．如图，D是上一点，交于点E，，，求证：．16．如图，点，在上，，，．求证：．

17．如图，已知E、C是线段上两点，满足，A，D为线段上方两点，连接，满足．(1)求证：；(2)若五边形的面积为10，的面积为4，请直接写出四边形的面积：________．18．如图，，，，垂直的延长线于点F．(1)如图1．①和全等吗？请说明理由；②求的度数；(2)如图2，延长到点G，使得，连接，请你写出，和之间的数量关系，并说明理由．

第03讲探索三角形全等的条件（AAS+SSS）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．三边分别相等的两个三角形全等；2．证明两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；1.如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？解：全等。证：∵∠A=∠D，∠B=∠E∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°）在▲ABC和▲DEF中∴▲ABC≌▲DEF（ASA）通过自己实践后发现：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“AAS”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．2.用∵、∴表述的有关推理过程也可以用符号⇒来表述。如上面的推理过程也可这样表示3.按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a作法：（1）作线段BC=a、（2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。（3）连接AB、AC。▲ABC是所求的三角形。通过自己实践后发现：三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．考点一：用AAS直接证明全等例1．如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，．【详解】∵为中点，∴，∵由点分别向、作垂线段、，∴，在与中，，∴，故选：．【变式1-1】如图，，，则判定与全等的依据是()A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据公共角相等，结合已知条件，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，故选：D．【变式1-2】如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，，可以判断出，则判断的理由是：．【答案】/角角边【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据所给条件可利用证明．【详解】解：∵，，，∴，故答案为：．【变式1-3】如图，点、在上，，，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)证明见解析(2)∠D的度数是【分析】（1）由，推导出，由，证明，即可根据“”证明；（2）由，，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”得，，求得．此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出，，进而证明是解题的关键．【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，．（2）解：，，，，，，，的度数是．考点二：用AAS间接证明全等例2．如图，已知，，则可以判定依据是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定方法．平行线的性质，得到，再结合，，利用证明，即可．【详解】解：∵，∴，又，，∴；故选A．【变式2-1】如图，D是上一点，交于点E．．．若．．则的长是（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能判定是解此题的关键，解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据平行线的性质，得出，根据全等三角形的判定，得出，根据全等三角形的性质，得出，根据，即可求线段的长．【详解】解：∵，∴，在和中，∴，∴，∵，∴．故选：B．【变式2-2】如图，已知，，添加一个条件判定．【答案】（答案不唯一）【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：添加一个条件，判定，理由如下：在和中，，，故答案为：（答案不唯一）．【变式2-3】如图，在中，，将沿射线的方向平移至，连接，设与的交点为．(1)若为的中点，求证：；(2)若平分，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．（1）根据平移性质得到，，从而得到，再根据为的中点，得到，从而证明结论；（2）根据平分，得到，从而证明．再根据三角形内角和定理以及，即可求解；【详解】（1）解：由沿射线的方向平移所得，，，，为的中点，，．在和中，；（2）平分，，又，．，，．考点三：全等的性质与AAS判定例3.如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以．【详解】解：∵于D，于E，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴的长是．故选A．【变式3-1】如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（

）．A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用平分，点作的垂线，得到，则的面积等于的面积为，的面积等于的面积，即可解答，证明是解题的关键．【详解】解：平分，过点作的垂线，,，在与中，，，，则的面积等于的面积为，，故选：C．【变式3-2】如图，为了测盘凹档的宽度，把一块等腰直角三角板（，）放置在凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，若，测得，，则该凹槽的宽度的长为．【答案】48【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴故答案为：48．【变式3-3】如图，在四边形中，是边上一点，，求证：．【答案】见解析【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形的外角性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答，关键是利用证明与全等解答．【详解】，，，，，在与中，，∴，，，．考点四：用SSS直接证明全等例4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图、三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．根据尺规作图可得，，，再根据定理即可得．【详解】解：由尺规作图可知，，，，在和中，，∴即这两个三角形全等的依据是，故选：C．【变式4-1】如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交于点E，F，再以点E为圆心，以的长为半径画弧，交弧①于点D，画射线，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作图复杂作图，连接，根据题意得出，，证即可求解，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定．【详解】解：如图，连接，根据作图过程可知：，，在和中，，，，，故选：C．【变式4-2】在如图所示的3×3网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是．

【答案】4【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定画出图形，即可判断．【详解】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．

由图可得，所有格点三角形的个数是4，故答案为：4．【变式4-3】如图，与中，点B、F、C、E在同一直线上，若，求证：．【答案】见解析【分析】本题主要考查三角形全等的判定．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．已知与两边相等，通过可得，即可判定．【详解】证明：∵，∴，即，在与中，∴．考点五：用SSS间接证明全等例5．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解．【详解】，,，，，．故选：A．【变式5-1】如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．【变式5-2】如图，AB，CD相交于点O，，请你补充一个条件，使得，你补充的条件是．【答案】（答案不唯一）【分析】在与中，已经有条件：所以补充可以利用证明两个三角形全等.【详解】解：在与中，所以补充：故答案为：【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明两个三角形全等”是解本题的关键.【变式5-3】如图，，，点在上．(1)求证：平分；(2)求证：．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】本题主要考查三角形的全等的判定与性质，熟练运用三角形全等的判定，得出三角形全等，转化边角关系是解题关键．（1）由题中条件易知：，可得平分；（2）利用（1）的结论，可得，得出．【详解】（1）证明：在与中，，，，即平分；（2）证明：由（1），在与中，，，．考点六：全等的性质与SSS判定例6.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在的边、上分别取，移动尺，使角尺的两边相同的刻度分别与M、N重合，得到的平分线，做法中用到三角形全等判定方法是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等．【详解】解：∵，，，∴∴，即为的平分线．故选A．【变式6-1】已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解．【详解】解：如图，由图可知：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选C．【变式6-2】如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为．

【答案】/48度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果．【详解】解：在与中，，，，，在中，由三角形性质得：，，，故答案为：．【变式6-3】【教材呈现】活动2

用全等三角形研究：“筝形”如图2，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想．请结合教材内容，解决下面问题：【概念理解】（1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形．【性质探究】（2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整．已知：如图2，在筝形中，，．求证：．证明：（3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明．【拓展应用】（4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数．【答案】【教材呈现】，垂直平分，平分和，证明见解析〖概念理解〗（1）见解析〖性质探究〗（2）见解析（3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明见解析〖拓展应用〗（4）或【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论；（1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可；（2）连接，利用证明，即可得出结论；（3）利用证明，即可得出结论；（4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可．【详解】解：〖教材呈现〗如图，猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和，证明：∵，，，∴，∴，，，即平分和，∴垂直平分．〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求；〖性质探究〗（2）如图2，连接，在与中，，∴，∴；（3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)，证明∶在与中，，∴，∴，，即平分、．〖拓展应用〗（4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1，∴；②当筝形中，时，如图4-2，∵∴∴综上，当四边形为筝形时，的度数为或．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．1．如图，在中，，，过点C作，且，则的面积为（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解；【详解】解：如图，过点作交延长线于点，∵，，，∴，，，∴，在和中，，∴∴故选：D2．如图，，，过点的直线交于，交于，则图中全等三角形有（

）对．

A．4对 B．5对 C．6对 D．7对【答案】C【分析】本题主要考查全等三角形的判定．熟练运用、、、是正确解题的关键．【详解】在和中，．同理可得，．，在和中，，，，，，在和中，，同理可得，，．综上所述，共有6对全等三角形．故选C．3．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．由作法易得，，，根据可得到三角形全等．【详解】解：由作图可知，，，，．故答案为：A．4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，且，，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推出，利用证明，得到，推出，再利用平行线的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握“两直线平行同旁内角互补”是解题的关键．5．如图，在和中，点B，C，E，F在同一条直线上，，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质：根据题意可得，再证明，可得，进而即可求解【详解】解：∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，故选：C．6．如图，在四边形中，，点在边上，分别平分，，则的长是（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确合理添加辅助线是解决本题的关键．利用角平分线的性质定理可作辅助线：过点E作于点E，证明，即可解决问题．【详解】解：过点E作于点E，则

∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，同理可证：，∴，∴，故选：C．7．小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可求解．【详解】解：，又，，，，．在和中，，，，，．∵，∴故选：B．8．如图，在四边形ABDE中，，，点C是边BD上一点，，，．下列结论：①；②；③四边形的面积是；④；其中正确的结论个数是（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】证明，由全等三角形的性质可得出．由图形的面积可得出③④正确．【详解】解：∵，，∴．∵，，，∴，故①正确；∴．∵，∴．∵，∴，故②正确；∵，，∴四边形的面积是；故③错误；∵，∴∴．故④正确．综上所述，正确的是①②④；故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为．【答案】/26度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果．【详解】解：根据作图过程可知：，，∴，∴．故答案为：．10．如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离．已知垂直于河岸，现在上取两点C、D，使，过点D作的垂线，使A、C、E在一条直线上，此时，只要测出的长，即可求出的长，此方案依据的数学定理或基本事实是．【答案】全等三角形的对应边相等【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关结论即可．【详解】解：∵，∴，∵∴∴故根据全等三角形的对应边相等，只要测出的长，即可求出的长故答案为：全等三角形的对应边相等11．如图，在中，，，于点D，于点E，若，，则．【答案】7【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．易证，即可证明，可得，根据，即可解题．【详解】解：∵，∴．∵，∴．∴，在和中，∵，∴，∴，，，．故答案是：7．12．如图，在和中，点C在边上，交于点F．若，，，，则