苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业10平行线的基本模型(知识梳理+5大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

/限时练习：60min完成时间：月日天气：暑假作业10平行线的基本模型模型1、猪蹄模型（M型）如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.①②图③图③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.模型2、铅笔头模型如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.①②图③图③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.模型3、拐弯模型①（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.②（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.模型4、“5”字模型如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.模型5：平行线的动态角度模型（折叠、旋转、动点）1、翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，对应点连线被对称轴垂直平分。2、平行线旋转问题的技巧是利用平行线的性质和旋转的性质，通过画图和推导等方法解决问题。具体来说，可以采用以下几个步骤：

1）画出问题中的图形，并标出已知条件和需要求解的量；

2）利用平行线的性质，找出与所求解的量有关的平行线段或角度，并尝试构造相应的平行线；

3）利用旋转的性质，将所求解的量旋转到已知条件所在的位置，从而得到一个新的图形；

4）利用新图形中的已知条件和平行线的性质，推导出所求解的量的值；

5）检查所求解的量是否符合实际情况，如果符合，则得到了正确的解答。3、动点压轴问题：分析过程很重要，代数法表示角度是基本处理方法。题型一平行基本模型之M模型1、如图所示，如果AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[2、如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）3、已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．题型二平行基本模型之铅笔模型1、如图，，则下列说法中一定正确的是

A． B．C． D．2、如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是．

3、探究题(1)如下图，，，．求度数；

(2)如下图，，点在射线上运动，，．

①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

题型三平行基本模型之鸡翅模型1、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、（2023春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．3、（2023·全国·七年级假期作业）已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．题型四平行基本模型之骨折模型1、如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．2、如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______3、（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．题型五平行基本模型之折叠问题1．折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（

）A． B． C． D．2．如图1，将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，连接，，设，．变化长方形的大小如图2所示，若的值增大了，且保持不变，则的值（

）A．增大了 B．减小了 C．增大了 D．减小了3．如图将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为、，若，且，则．

4．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处．(1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论；(2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论．(3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论．1．如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（

）A． B． C． D．2．如图，已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．如图，已知，平分平分，，则的度数为（

）度．

A．55 B．50 C．40 D．304．如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：；；；．其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个5．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，已知，，，则度．

7．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为．8．如图，，分别平分，，若，则的度数是．9．如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为．10．如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”．（1）如图1，形中，若，，则；（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系．11．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．

（1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：；【灵活运用】（2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数．12．如图，，点，分别在，上，点在，之间，连接，，且．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．(1)在图1中作，且．(2)如图2，，作．且．13．已知：两直线、满足点是平面内一动点，连接、

(1)如图，若点在两直线外部，则、、之间满足什么数量关系？请证明这个结论(2)如图，若点在两直线外部，连接，则、、、之间满足什么数量关系？请证明结论(不能用三角形内角和为)(3)若点在两直线内部，且在右侧，则、、、之间满足什么数量关系？(不需证明)14．课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点作，所以，．又因为．所以．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知，求的度数．提示：过点作．深化拓展：（3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．如图3，点在点的左侧，若，则的度数为．15．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．(1)若，则的4系补周角的度数为___________(2)在平面内，点是平面内一点，连接，．①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）．1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2020·江苏南通·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．36° B．34° C．32° D．30°3．（2021·山东东营·中考真题）如图，，于点F，若，则（

）A． B． C． D．4．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（

）A．35° B．45° C．55° D．65°5．（2020·四川广元·中考真题）如图，，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么（

）A． B． C． D．

限时练习：60min完成时间：月日天气：暑假作业10平行线的基本模型模型1、猪蹄模型（M型）如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.①②图③图③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.模型2、铅笔头模型如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.①②图③图③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.模型3、拐弯模型①（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.②（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.模型4、“5”字模型如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.模型5：平行线的动态角度模型（折叠、旋转、动点）1、翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，对应点连线被对称轴垂直平分。2、平行线旋转问题的技巧是利用平行线的性质和旋转的性质，通过画图和推导等方法解决问题。具体来说，可以采用以下几个步骤：1）画出问题中的图形，并标出已知条件和需要求解的量；2）利用平行线的性质，找出与所求解的量有关的平行线段或角度，并尝试构造相应的平行线；3）利用旋转的性质，将所求解的量旋转到已知条件所在的位置，从而得到一个新的图形；4）利用新图形中的已知条件和平行线的性质，推导出所求解的量的值；5）检查所求解的量是否符合实际情况，如果符合，则得到了正确的解答。3、动点压轴问题：分析过程很重要，代数法表示角度是基本处理方法。题型一平行基本模型之M模型1、如图所示，如果AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（

）A．∠α+∠β+∠γ＝180° B．∠α－∠β+∠γ＝180°C．∠α+∠β－∠γ＝180° D．∠α－∠β－∠γ＝180°[【答案】C【分析】过E作EF∥AB，由平行线的质可得EF∥CD，∠α+∠AEF=180°，∠FED=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．【详解】解：过点E作EF∥AB，∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED=∠EDC（两直线平行，内错角相等），∵∠β=∠AEF+∠FED，又∵∠γ=∠EDC，∴∠α+∠β-∠γ=180°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．2、如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）【答案】【分析】首先过点E作，由平行线的传递性得，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，由角平分线的定义得出，，再由两直线平行，内错角相等得出，由即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作，则，，∴，，又∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．3、已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)；理由见详解【分析】（1）过点作，由，可知．由此可知：，，故；（2）由（1）可知．再由，∠AGM＝∠HGQ，可知：，利用三角形内角和是180°，可得．（1）解：如图：过点作，∴，∴，，∵，∴．（2）解：，理由如下：如图：过点作，由（1）知，∵平分，∴，∵∠AGM＝∠HGQ，∴，∵，∴．【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．题型二平行基本模型之铅笔模型1、如图，，则下列说法中一定正确的是

A． B．C． D．【答案】B【分析】此题要作辅助线，过点作，则根据平行线的传递性，得．先利用，可得，即，再利用，可得，而，整理可得：．【详解】解：过点作，

，，，，又，，．故选：B．【点睛】注意此类题要作的辅助线：构造平行线．根据平行线的性质即可找到三个角之间的关系．2、如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是．

【答案】/108度【分析】过点F作，可得，根据平行线的性质结合已知求出，可得，即可求出的度数．【详解】解：如图，过点F作，

∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3、探究题(1)如下图，，，．求度数；

(2)如下图，，点在射线上运动，，．

①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．（1）过P作，构造同旁内角，利用平行线性质，可得；（2）①过P作交于E，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；②画出图形（分两种情况：点P在的延长线上，点P在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案．【详解】（1）解：过P作，

∵，∴，∵，．∴，，∴；（2）解：①：如图3，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

故答案为：；②当P在延长线时，；理由：如图4，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴；

当P在之间时，．理由：如图5，过P作交于E，∵，∴，∴，，∴．

综上所述，，，之间的数量关系为或．题型三平行基本模型之鸡翅模型1、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①过点E作直线EFAB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠AEC＝360°，故①错误；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为2，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2、（2023春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析【分析】（1）过点P作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补即可求解；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【点睛】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．3、（2023·全国·七年级假期作业）已知，，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证；（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得出，再根据平角的含义得出，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出；设，根据角的和差可得出，结合已知条件可求得，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．【详解】（1）证明：；（2）过点E作，延长DC至Q，过点M作，，，AF平分FH平分设，．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．题型四平行基本模型之骨折模型1、如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，则∠EAB的度数为__________．【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质：1、如果两直线平行，那么它们的同位角相等；2、如果两直线平行，那么它们的同旁内角互补；3、如果两直线平行，那么它们的内错角相等，据此计算即可．【详解】解：设AE、CD交于点F，∵∠E＝37°，∠C＝20°，∴∠CFE=180°-37°-20°=123°，∴∠AFD=123°，∵AB∥CD，∴∠AFD+∠EAB=180°，∴∠EAB=180°-123°=57°，故答案为：57°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质，熟知平行的性质是解题的关键．2、如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______【答案】180°【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键．3、（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．【详解】解：（1）过E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EMAB，过F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）过P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x，∴∠MGN＝15°．【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．题型五平行基本模型之折叠问题1．折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，先由平行线的性质得到，，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出．【详解】解：∵，，，由折叠的性质得，，，，，，．故选：C．2．如图1，将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，连接，，设，．变化长方形的大小如图2所示，若的值增大了，且保持不变，则的值（

）A．增大了 B．减小了 C．增大了 D．减小了【答案】C【分析】本题考查了折叠性质，平行线的性质，三角形内角和性质，先根据长方形和折叠性质，得出，因为，所以，结合的值增大了，即可作答．【详解】解：∵将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，∴，∵，∴，∵，∴，∵的值增大了，∴，∴的值增大了，故选：C．3．如图将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为、，若，且，则．

【答案】/度【分析】本题考查了平行线的性质，设，根据折叠以及平行线的性质表示出，根据，建立方程，解方程得出，进而根据，即可求解．【详解】解：设

∵折叠，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，故答案为：．4．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处．(1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论；(2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论．(3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，理由见解析【分析】（）作，根据平行线的性质和折叠的性质即可求解；（）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差；（）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差；本题考查了平行线的性质额折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：作，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3），理由：∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴．1．如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．过点作，根据题意求得，从而，过点H作，同理可求．【详解】解：如图，过点作∴分别是和的角平分线过点H作，同理可求故选C．2．如图，已知，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键．过点作，则，根据平行线的性质可得到，，即可求得．【详解】解：如图，过点作，∵，，∴．∴，．∵，∴．∴．故选．3．如图，已知，平分平分，，则的度数为（

）度．

A．55 B．50 C．40 D．30【答案】A【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义，利用平行线的性质及角平分线的定义，求出和的度数是解题的关键．由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，结合角平分线的定义可求出和的度数，过点作，则，利用“两直线平行，内错角相等”可得出和的度数，再结合，即可求出的度数．【详解】解：∵，∴，．∵平分平分，∴．过点作，则，如图所示．

∵，，∴，∴．故选：A．4．如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：；；；．其中正确的有（）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】此题考查折叠的性质，平行线的性质，根据折叠的性质，平行线的性质逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握性质．【详解】∵，，∴，故正确；∵，，∴，故正确；，，∴∴，∴，故正确；∵，，∴，故正确；则说法正确的有个，故选：．5．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果．【详解】解：∵，∴，∵平分，∴，即，①∵，，∴，故①正确；②∵，∴，∴，即，∵，∴，即，故②正确；③由①可得，∴，∴，即，又，∴，即，将代入，化简可得：，故③正确；④∵，，∴，∵，∴，故④正确；正确的个数共有4个，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键．6．如图，已知，，，则度．

【答案】120【分析】本题主要考查了平行线的性质，灵活运用平行线的性质求角度是解题的关键．如图：过作，然后根据平行线的性质及角的和差求解即可．【详解】解：过作，

，，，，，，，，．故答案为：120．7．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为．【答案】100【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，过点D作，过点E作，∵，∴，∵，∴，∴，，，∵，，∴，，∴，故答案为：100．8．如图，，分别平分，，若，则的度数是．【答案】/110度【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键．如图：过点E作，过点F作，即可得，然后根据平行线的性质以及，即可求得，根据角平分线的性质可求得的度数，再根据平行线的性质及角的和差即可解答．【详解】解：如图，过点E作，过点F作，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵分别平分，，∴，，∴，∵，∴，，∴．故答案为：．9．如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为．【答案】/36度【分析】本题考查平行线的性质、补角的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意延长交于点，然后根据平行线的性质和角平分线的性质，即可求得的度数．【详解】解：延长交于点，如图：，分别平分和，，，，，，与互补，，，，设，则，，，，解得，，即的度数为．故答案为：．10．如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”．（1）如图1，形中，若，，则；（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系．【答案】【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系：（1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解；（2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案．【详解】解：（1）如图，作，，，，，，，故答案为：60；（2）如图，作交于点K，，，，，，同（1）可得，，即，故答案为：．11．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．

（1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：；【灵活运用】（2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数．【答案】（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）．【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．（1）过作，则，由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答；（2）过M作，过N作，则，得到，，，由可得，计算得到；（3）作，，，由推出，即，由，推出，据此即可解答．【详解】（1）证明：如图（1）过作，

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：；理由如下：如图（2）：过M作，过N作，

∵，∴，∴，，，∵，∴，整理得，∴，∴；（3）解：．作，，，

∵，∴，∴，，，，∵，∴，∴，即，∵，∴，即．12．如图，，点，分别在，上，点在，之间，连接，，且．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．(1)在图1中作，且．(2)如图2，，作．且．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查几何作图，平行线的判定及性质，垂直的定义．（1）延长交于点M，由可得，即为所求；（2）延长至点N，由得到，过点P作，由得到，则，，进而根据得到，即为所求．【详解】（1）解：如图，为所求．（2）解：如图，为所求．13．已知：两直线、满足点是平面内一动点，连接、

(1)如图，若点在两直线外部，则、、之间满足什么数量关系？请证明这个结论(2)如图，若点在两直线外部，连接，则、、、之间满足什么数量关系？请证明结论(不能用三角形内角和为)(3)若点在两直线内部，且在右侧，则、、、之间满足什么数量关系？(不需证明)【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)或【分析】本题考查平行线的性质，平行线公理的推论；（1）过点作，由平行线的传递性知，根据两直线平行，内错角相等得出，，进而得证；（2）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等得出，，，进而得证；（3）分两种情况进行讨论，证明方法与（1）类似．【详解】（1）如图1，数量关系为：，理由：过点作，，，，，；

（2）如图2，数量关系为：，理由：过点作，过点作，，，，，，，；

（3）数量关系为：或，如图3，过点作，

∴，，，，∴，即；如图4，过点作，

∴，，，，∴，即．14．课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数．（1）阅读并补充下面推理过程．解：过点作，所以，．又因为．所以．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．方法运用：（2）如图2，已知，求的度数．提示：过点作．深化拓展：（3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．如图3，点在点的左侧，若，则的度数为．【答案】（1），；（2）；（3）65【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算．（1）根据平行线的性质得，，进而可得到结论；（2）过作根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论；（3）过点作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数．【详解】解：（1）过点作，，，又，．故答案为：，；（2）过点作，，，，，．（3）如图，过点作，，，，，平分，平分，，，，，故答案为：65．15．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．(1)若，则的4系补周角的度数为___________(2)在平面内，点是平面内一点，连接，．①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（