苏科版2025年新九数学核心考点精讲精练第08讲运算方法课-一元二次方程综合提升(原卷版+解析)

/第8讲 运算方法课--一元二次方程综合提升模块一、一元二次方程概念及解法1、一元二次方程的概念只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式是（a、b、c是已知数且a≠0），其中ax2叫做，bx叫做，a叫做系数，b叫做系数，c叫做。2、一元二次方程的常用解法(1)形如或的一元二次方程，可用方法.(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④把原方程变为的形式；⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解.(3)公式法：求根公式为（）(4)因式分解法：因式分解法的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。01.一元二次方程概念及解法01.一元二次方程概念及解法例题精讲 例题精讲例1.已知方程(k21)x2(k1)x50，（1）当k为何值时，是一元二次方程？（2）当k为何值时，是一元一次方程？

例2．用直接开方法解下列方程：（1）x290 （2）(2x1)20 例3.用配方法解下列方程(1)(2)(3)x2-2x=-1例用公式法解下列方程 （1）（2）（3） 例用因式分解法解下列方程。（3）（4）

举一反三 举一反三1.（1）当m 时，关于x的方程(m2)x25是一元一次方程，当m 时，关于x的方程(m2)x25是一元二次方程（2）关于x的方程(k3)kx10是一元二次方程，求k的值.把一元二次方程(13x)(x2x21化成一般形式是 ；3.用直接开平方法求解：(1)(2x-1)2=5（2）（3）4.用配方法解下列关于x的方程x2-8x+1=0（2）x2-2x-=0（3）2x2+1=3x（4）y2-2y-3=0（5）x2+3=2x5.用公式法解下列关于x的方程：（1）（2)（3）6.用因式分解法解下列关于x的方程：（3）（5）模块二、一元二次方程根与系数之间关系1、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况是由b2决定的，我们把b2叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示。（1）当b20，方程有两个不相等的实数根。（2）当b20时，方程有两个相等的实数根。（3）当b20，方程没有实数根。2、上述结论反过来也成立：（1）若方程有两个不相等的实数根，则b20（2）若方程有两个相等的实数根，则b20（3）若方程没有实数根，则b20 注意：若一元二次方程方程有实数根，则b24ac≥0；反过来也成立。123、若b24ac≥0，x,x是方程ax2bxc0(a0)的两个根，则 ，x212则x2 ，x1·x2 归纳：一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程2c0的两个根分别为4、几个重要的变形：（1）（2）（3）

02.一元二次方程根的判别式02.一元二次方程根的判别式例题精讲 例题精讲例1．（1）如果关于x的方程x2xk0（k为常数）有两个相等的实数根，求k的值。（2）关于x的一元二次方程x22kx2k20有实数根，求k的取值范围。（3）如果关于x的一元二次方程k2x2(2k1)x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。例2．已知x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根，不解方程，求：①（x1﹣x2）2； ②的值．举一反三 举一反三1.已知关于m的一元二次方程x2xm0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。2.当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2(k2)x0有实数根。3.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2=﹣1，求m的值．模块三、一元二次方程的应用一．数字问题两位数表示：十位数字×10+个位数字2、三位数字：百位数字×100+十位数字×10+个位数字3、三个连续偶数：三个连续整数：二．面积问题1、矩形面积=长×宽2、三角形面积=3、梯形面积=×（上底+下底）×高4、圆的面积=为半径）三．利润问题每件利润=售价-进价2、总利润=每件利润×销售量3、利润率=4、利润=进价×利润率5、售价=进价×四．其他问题1、平均变化率问题增长率（1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．2、相互问题（传播、循环）03.一元二次方程的应用03.一元二次方程的应用例题精讲 例题精讲例1．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．例3．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．例4.（1）某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?举一反三 举一反三1.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?3.有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？

直击中考 直击中考（2021秋•福田区校级月考）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．如果商场要想每天获得800元的销售利润，又让顾客得到实惠，每件商品的售价应定为多少？课后巩固 课后巩固1．用配方法解方程x24x20，下列配方正确的是（A ）A．(x2)22B．(x2)22C．(x2)22D．(x2)26一元二次方程2x260的解为 已知x1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则m22mnn2的值为 4．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠05．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠06.若方程kx26x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 7．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是．8．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=．9．关于x的方程2x2﹣4x+k=0有实数根，k的取值范围是．10．解下列方程：（1）9x21（2）(x3)225（3）x22x30（4）2x23x20

11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．12．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．13．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价2元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（2）商场日盈利能否达到2200元？请说明理由．/

第8讲运算方法课--一元二次方程综合提升模块一、一元二次方程概念及解法1、一元二次方程的概念只含有个未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫一元二次方程。一元二次方程的一般形式是（a、b、c是已知数且a≠0），其中ax2叫做，bx叫做，a叫做系数，b叫做系数，c叫做。2、一元二次方程的常用解法(1)形如或的一元二次方程，可用方法.(2)配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项；③方程两边都加上一次项系数一半的平方；④把原方程变为的形式；⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解.(3)公式法：求根公式为（）(4)因式分解法：因式分解法的步骤：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。01.一元二次方程概念及解法01.一元二次方程概念及解法例题精讲 例题精讲例1.已知方程(k21)x2(k1)x50，（1）当k为何值时，是一元二次方程？（2）当k为何值时，是一元一次方程？【解答】：（1）；（2）1例2．用直接开方法解下列方程：（1）x290 （2）(2x1)240 【解答】（1）；（2）；例3.用配方法解下列方程(1)(2)(3)x2-2x=-1【解答】（1）（2）无实数解（3）例4.用公式法解下列方程 （1）（2）（3） 【解答】（2）（3）例5..用因式分解法解下列方程。（3）（4）【解答】：（1）(2)(3)(4)举一反三 举一反三1.（1）当m 时，关于x的方程(m2)x2mx5是一元一次方程，当m 时，关于x的方程(m2)x2mx5是一元二次方程（2）关于x的方程(k3)kx10是一元二次方程，求k的值【解答】（1）2；；（2）-12..把一元二次方程(13x)(x3)2x21化成一般形式是 ；它的二次项是 ；一次项系数是 ；常数项是 【解答】3.用直接开平方法求解：(1)(2x-1)2=5（2）（3）【解答】（1）(2)x=2(3)x=14.用配方法解下列关于x的方程x2-8x+1=0（2）x2-2x-=0（3）2x2+1=3x（4）y2-2y-3=0（5）x2+3=2x答案：（1） （2）（3）（4） （5）5.用公式法解下列关于x的方程：（1）（2)（3）答案：（1）（2）x=（3）6.用因式分解法解下列关于x的方程：（3）（5）答案：（1）（2）(3) (4)(5） （6）模块二、一元二次方程根与系数之间关系1、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况是由b24ac决定的，我们把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示。（1）当b24ac0，方程有两个不相等的实数根。（2）当b24ac0时，方程有两个相等的实数根。（3）当b24ac0，方程没有实数根。2、上述结论反过来也成立：（1）若方程有两个不相等的实数根，则b24ac0（2）若方程有两个相等的实数根，则b24ac0（3）若方程没有实数根，则b24ac0 注意：若一元二次方程方程有实数根，则b24ac≥0；反过来也成立。123、若b24ac≥0，x,x是方程ax2bxc0(a0)的两个根，则x1 ，x212则x1x2 ，x1·x2 归纳：一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程ax2bxc0的两个根分别为4、几个重要的变形：（1）（2）（3）02.一元二次方程根的判别式02.一元二次方程根的判别式例题精讲 例题精讲例1．（1）如果关于x的方程x2xk0（k为常数）有两个相等的实数根，求k的值。【解答】：（2）关于x的一元二次方程x22k1x2k20有实数根，求k的取值范围。【解答】：（3）如果关于x的一元二次方程k2x2(2k1)x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。【解答】：例2．已知x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根，不解方程，求：①（x1﹣x2）2；②的值．【解答】解：∵x1、x2是方程2x2+3x﹣1=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣，x1•x2=﹣．①（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（﹣）2﹣4×（﹣）=．②+===3．举一反三 举一反三1.已知关于m的一元二次方程x2xm0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。【解答】2.当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2(k2)x0有实数根。【解答】3.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2=﹣1，求m的值．【解答】解：（1）由题意有△=[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0，解得m≤，故实数m的取值范围是m≤；（2）由根与系数的关系，得x1+x2=2m﹣1=﹣1，解得m=0，0＜，符合题意．即m的值为0．模块三、一元二次方程的应用一．数字问题1、两位数表示：十位数字×10+个位数字2、三位数字：百位数字×100+十位数字×10+个位数字3、三个连续偶数：三个连续整数：二．面积问题1、矩形面积=长×宽2、三角形面积=3、梯形面积=×（上底+下底）×高4、圆的面积=为半径）三．利润问题1、每件利润=售价-进价2、总利润=每件利润×销售量3、利润率=4、利润=进价×利润率5、售价=进价×四．其他问题1、平均变化率问题增长率（1）原产量+增产量=实际产量．（2）单位时间增产量=原产量×增长率．（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．2、相互问题（传播、循环）03.一元二次方程的应用03.一元二次方程的应用例题精讲 例题精讲例1．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．【解答】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6-x），根据题意可知，[10（6-x）+x][10x+（6-x）]=1008，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴6-x=4，或6-x=2，∴10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24，答：这个两位数是42或24例2．有一块长方形的铝皮，长24cm、宽18cm，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．【解答】解：设盒子高是xcm．列方程得（24-2x）•（18-2x）=0.5×24×18，解得x=3或x=18（不合题意，舍去）．答：盒子高是3cm．例3．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．【解答】解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据题意得w=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250（1）当w=1200时，-2x2+60x+800=1200，解之得x1=10，x2=20．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．（2）解：商场每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250．当x=15时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．例4.（1）某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？【解答】解：设平均每月的增长率为x，据题意得：5000（1+x）2=7200（1+x）2=1.441+x=±1.2．x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）．取x=0.2=20％．（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手15次,有多少人参加聚会?【解答】解：设有n人，（n-6）（n+5）=0，n=6或n=-5（舍去）．参加这次聚会有6人．举一反三 举一反三1.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长（24﹣3x）米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．【解答】解：（1）BC=22+2﹣3x=24﹣3x．故答案为（24﹣3x）；（2）x（24﹣3x）=45，化简得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=5，x2=3．当x=5时，24﹣3x=9＜14，符合要求；当x=3时，24﹣3x=15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的宽为5米2．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：解得：＝0.2，＝0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。3.有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感．（1）求每一轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患上流感？【解答】解：（1）设平均一人传染了x人，x+1+（x+1）x=169x1=12或x2=-14（舍去）．答：平均一人传染12人．经过三轮传染后患上流感的人数为：169+12×169=2197（人），答：经过三轮传染后患上流感的人数为2197人．直击中考 直击中考1．（2021秋•福田区校级月考）某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140﹣2x．如果商场要想每天获得800元的销售利润，又让顾客得到实惠，每件商品的售价应定为多少？【解答】解：设每件商品的售价应定为x元，由题意，得（x﹣20）（140﹣2x）=800，整理，得x2﹣90x+1800=0，解得x1=30，x2=60．∵要让顾客得到实惠，∴x=30，答：每件商品的售价应定为30元．课后巩固 课后巩固1．用配方法解方程x24x20，下列配方正确的是（A ）A．(x2)22B．(x2)22C．(x2)22D．(x2)26一元二次方程2x260的解为 【解答】已知x1是一元二次方程x2mxn0的一个根，则m22mnn2的值为 【解答】解：把x=1代入方程x2+mx+n=0得：1+m+n=0，∴m+n=﹣1，m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．4．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•（﹣1）＞0，解得m＞﹣1，∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．故选D．5．关于x的方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣1 B．k≥﹣1且k≠0 C．k≤﹣1 D．k≤1且k≠06.若方程kx26x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 【解答】7．已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是8．【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=3，所以（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1+4+3=8．故答案为8．8．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=2016．【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，∴m+n=﹣2，∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．9．关于x的方程2x2﹣4x+k=0有实数根，k的取值范围是k≤2．【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣4x+k=0有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即16﹣8k≥0，解得，k≤2．故答案是：k≤2．10．解下列方程：（1）9x21（2）(x3)225（3）x22x30