苏科版2025年新九年级数学暑假衔接讲义2.4圆周角(原卷版+解析)

/2.4圆周角【推本溯源】1.回顾一下圆心角的概念，那圆周角的概念是？圆心角：顶点在；圆周角：顶点在。圆周角的概念：叫做圆周角。圆周角两个条件：（1）；（2）。圆心角圆周角区别联系如图，BC所对的圆周角有：AD所对的圆周角有：2.如图，∠BOC=90°，那么∠BAC=.根据求出的角度，判断∠BOC与∠BAC的数量关系。如右图，∠AOB=2∠ACB吗？因此，圆周角的度数等于它所对弧上的的一半。那∠ACB与∠AEB之间什么关系？因此，同弧或等弧所对的圆周角3.（1）如图，BC是直径，圆周角∠BAC为多少度？（2）如图，圆心角∠BAC=90°，如果连接BC，，BC过圆心吗？因此，直径所对的圆周角是，90°的圆周角所对的弦是。4.一个三角形的3个顶点都在同一个圆上，这个三角形叫圆的内接三角形；那一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫？圆的内接四边形定义：叫做圆的内接四边形。如右图，四边形ABCD是圆的内接四边形，圆O是四边形ABCD的外接圆。那在右图中，∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系是？因此，圆内接四边形的对角。延长BC至点E，∠DCE与∠A之间的关系是？因此，圆内接四边形的任何一个外角都它的内对角。【解惑】例1：如图，是直径，，则为（）A． B． C． D．例2：如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（

）A． B． C． D．例3：如图，在菱形中，，P为上一动点，于点Q，则的最小值为_______．例4：如图，点A是中优弧的中点，，C为劣弧上一点，则的度数为______．

例5：如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．(1)求证：点D为弧的中点；(2)若，，求的直径．【摩拳擦掌】1．（2023·广西·统考中考真题）如图，点A、B、C在上，，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·江苏·九年级假期作业）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在坐标轴上，若为直角三角形，则满足条件的点共有（）A．个 B．个 C．个 D．个3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知四边形内接于，，、的延长线相交于点，为直径，连接．若，，则的度数为（）A． B． C． D．4．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，是的内接三角形，且，直径是8，则______．5．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考三模）如图，已知是的直径，是弦，且，则___________．6．（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，，，是上的三点，若是等边三角形，则的度数为__________．

7．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，是的两条直径．

(1)判断四边形的形状，并说明理由．(2)若的直径为8，，求四边形的周长和面积．8．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，A是上一点，是直径，点D在上且平分．

(1)连接，求证：平分；(2)若，，求的长．9．（2023春·河北衡水·九年级校考阶段练习）如图，的直径和弦相交于点E，且B是的中点，连接，.

(1)判断与是否全等，并说明理由；(2)连接.已知，，，求的长．10．（2023春·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图，在中，弦平行于，交于，，求的度数．【知不足】1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知为圆O的直径，过点D的弦平行于半径，若角，则角C的度数是（）A． B． C． D．2．（2023·四川·统考中考真题）如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数是（）A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在直径为的中，点，在圆上，，若，则的度数为__．5．（2023·黑龙江·统考模拟预测）如图，是的外接圆，，于点，，则的长为_______．

6．（2023·浙江衢州·三模）如图，在中，，则的度数为________．7．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，为的直径，C，D是圆周上的两点，若，则的度数为______．8．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知，请用尺规作图法在直线上方确定一点P，连接，使．（不写作法，保留作图痕迹）

9．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，为圆内接四边形的对角线，且点D为的中点；(1)如图1，若、直接写出与的数量关系；(2)如图2、若、平分，，求的长度．10．（2023·安徽·统考中考真题）已知四边形内接于，对角线是的直径．

(1)如图1，连接，若，求证；平分；(2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长．11．（2023·河南周口·统考二模）如图，为锐角三角形．

(1)实践与操作：以为直径作，分别交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．(2)猜想与证明：在（1）的条件下，若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．【一览众山小】1．（2023·湖南长沙·统考三模）如图，是半圆O的直径，点D，C是半圆上的三等分点，则的度数是（

）

A． B． C． D．2．（2023·广东·统考中考真题）如图，是的直径，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，内接于，是的中点，连接，，，若，则的度数为（）A． B． C． D．4．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，E为正方形的边上一点（不与重合），将沿直线翻折到，延长交于点G，点O是过B、E、G三点的圆劣弧上一点，则___________．5．（2023·江苏·九年级假期作业）已知M是的中点，垂直于弦于P，若弦的长度为x，线段的长度是，那么线段的长度是__．（用含有x的代数式表示）6.（2023·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为__．

7．（2023·河南周口·统考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为______．

8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在正方形中，点分别在边和上，连接平分．

(1)如图1，求证：平分；(2)如图2，连接分别交于，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中所有的直角三角形（等腰直角三角形除外）．9．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，点A、、、是上的四个点，．

(1)判断的形状，并证明；(2)若，求．10．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足．

(1)求证：直线直线；(2)若；①求证：；②若，求四边形的周长．11．（2023·内蒙古包头·校考三模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．

(1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________．(2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明．12．（2023·浙江·一模）如图，在中，，以为直径的圆分别交，于点，连接交于点．若．

(1)求证：．(2)求的长．13．（2023·湖北武汉·统考二模）在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，、是的弦，如果，，垂足为，则、是等垂弦．

(1)如图②，是的弦，作、，分别交于点、，连接．求证：、是的等垂弦．(2)在图①中，的半径为5，为等垂弦、的分割点，．求的长度．14．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图，内接于，连接，．

(1)如图1，求证：；(2)如图2，点在上，连接，点是上一点，连接，若，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，若，，，求的长．

2.4圆周角教材知识总结教材知识总结圆周角

1.圆周角定义：

像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3.圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

【点拨】（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．

圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形的对角互补.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.【点拨】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．看例题，涨知识看例题，涨知识【例题1】如图，，是上的两点，点在内，点在外，，分别交于点，．求证．【答案】见解析【分析】延长BC交于点G，连接AG，BE，根据圆周角定理以及三角形外角性质可得∠ACB=∠CAG+∠AEB，从而得到∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，即可求证．【解析】证明∶如图，延长BC交于点G，连接AG，BE，∵∠AGB=∠AEB，∠ACB=∠AGB+∠CAG，∴∠ACB=∠CAG+∠AEB，∵∠AEB=∠ADB+∠DBE，∴∠ACB=∠ADB+∠CAG+∠DBE，∵点在内，点在外，∴∠CAG＞0°，∠DBE＞0°，∴．【例题2】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，∠ABD＝33°，∠ACB＝44°．(1)求∠BAC的度数．(2)求∠BAD的度数．【答案】(1)70°；(2)103°【分析】（1）由同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，可得∠CBD=∠ABD=33°，从而求得∠ABC=∠CBD+∠ABD=66°，最后在中，运用内角和定理，可求得∠BAC的度数．（2）由同圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠DAC＝∠DBC＝33°，结合（1）的结论，可求得∠BAD的度数．【解析】(1)解：∵，∴∠CBD=∠ABD=33°，∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=66°，∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-66°-44°=70°；(2)解：∵∠DAC＝∠DBC＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝70°+33°＝103°．【例题3】如图，在中，，以AC为直径作⊙O分别交AB、BC于点D、E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接AF．(1)求证：；(2)若，求AF的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）根据，，根据等边对等角即可得证；（2）证明四边形是平行四边形，连接，根据直径所对的圆周角是直角，根据等腰三角形的性质可得，根据平行四边形的性质即可求得的长．【解析】(1)，，，，，(2)，，，，，，，四边形是平行四边形，，连接，是直径，，，，，．【例题4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O．(1)试说明：点C也一定在⊙O上．(2)点E在运动过程中，∠PFE的度数是否变化？若不变，求出∠PFE的度数；若变化，说明理由．(3)求线段EF的取值范围，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)∠PFE的度数不变，是45°(3)≤EF≤8．【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可；（2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到∠PCB=45°，进而根据∠PCB=45°以及等弧所对的圆周角相等即可解决问题；（3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，即可求出线段EF的取值范围.【解析】(1)如图，连接，∵FP⊥PE，∴∠FPE=90°，∴EF为直径，∴OP=OE=OF，∵∠C=90°，∴OC=OE=OF，∴点C在⊙O上，(2)连接PC∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点P是AB的中点，∴CP平分∠ACB，∴∠ACP=45°，∵，∴∠BCP=∠PFE=45°，由于∠BCP的度数不变，∴∠PFE的度数不会发生变化,为45°．(3)当E与C重合时，EF最长，此时EF=AC=8；当EF为△ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得AB=8，根据三角形的中位线可得EF=4，所以≤EF≤8．课后习题巩固一下课后习题巩固一下一、单选题1．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A＝（）A．50° B．60° C．100° D．120°【答案】B【分析】设∠A＝x，则∠C＝2x，根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠C＝180°，进而问题可求解．【解析】解：设∠A＝x，则∠C＝2x，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∴x+2x＝180°，解得，x＝60°，即∠A＝60°，故选：B．2．如图，是的两条半径，点C在上，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理即可求解．【解析】∵是的两条半径，点C在上，∴∠C==40°故选：B3．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．25° B．35° C．45° D．65°【答案】A【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【解析】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，∴∠ADC=∠ABC=25°，故选：A．4．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出∠ACD的度数．【解析】解：如图，连接BD，∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=50°，∴∠ABD=90°-50°=40°，∴∠ACD=∠ABD=40°．故选：B．5．在数学探究课上，小明在探究圆周角和圆心角之间的数量关系时，按照圆周角与圆心的不同位置关系作出了如下图所示三个图进行探究小明的上述探究．过程体现的数学思想是（

）A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．建模思想【答案】B【分析】根据分类讨论思想的含义进行判断即可．【解析】解：在探究圆周角与圆心角的数量关系时，因不确定圆周角与圆心角的位置关系是否会影响结论，故对每种位置关系分别进行研究，这种数学思想是分类讨论思想．故选：B．6．如图，半圆的半径为6，将三角板的30角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，则AB的长度为（

）A．3 B．12 C． D．6【答案】D【分析】如图，半圆的圆心为O，连接OA，OB，根据圆周角定理可知，，根据OA=OB，为等边三角形，可求解．【解析】解：如图，连接OA，OB，根据圆周角定理可知，∵OA=OB，∴为等边三角形，∴AB=OA=6．故选：D．7．如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合），连接．若，则的度数不可能为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆内接四边形的性质得∠D度数为60°，再由∠APC为△PCD的外角求解．【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝150°，∴∠D＝180°﹣∠B＝30°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有A满足题意．故选：A．8．如图，AB为直径，，则的度数为（

）A．56° B．52° C．60° D．62°【答案】D【分析】根据直径所对的圆周角是直角，直角三角形中两个锐角互余求得，进而根据同弧所对的圆周角相等即可求解．【解析】解：∵AB为直径，∴，∵，∴，∵，∴，故选D．9．如图，△ABC与△BCD是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，且∠ABC＝50°，则∠D的度数是（

）A．40° B．50° C．20° D．25°【答案】A【分析】先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆周角定理即可得．【解析】解：是的直径，，，，由圆周角定理得：，故选：A．10．在锐角ABC中，，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（

）A． B．C． D．点M关于AC的对称点一定在ABC的外接圆上【答案】D【分析】利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断与∠ABC互补，可判断D．【解析】解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=（∠CAB+∠CBA）=60°，∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴，∴EM=DM，故B符合题意，四边形是的内接四边形，在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，∵M，关于AC对称，∴=∠AMC，∵=90°+∠ABC，∴与∠ABC不一定互补，∴点不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．二、填空题11．如图，点、、在上，，则的大小为______．【答案】【分析】根据圆周角定理，设，则，构建方程求解即可．【解析】∵点、、在上，∴．设，则，∵，∴，∴，∴，故答案为：．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC=130°，连接AC，则∠BAC的度数为___________．【答案】40°【分析】首先利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．【解析】解：∵四边形ABCD内接与⊙O，∠ADC=130°，∴∠B=180°-∠ADC=180°-130°=50°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠B=90°-50°=40°，故答案为：40°．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．BD为⊙O的直径，则BD＝_____．【答案】8【分析】由等腰三角形的性质解得∠C＝30°，由圆周角定理解得∠BOA＝60°，继而证明△AOB是正三角形，最后由等边三角形的性质解答．【解析】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝30°，∴∠BOA＝60°又∵OA＝OB，∴△AOB是正三角形∴OB＝AB＝4，∴BD＝8故答案为：8．14．如图，为的直径，点，，在上，且，，则的度数为______．【答案】【分析】连接、，由圆周角定理得出，进而结合题意得出，由圆心角、弧、弦的关系定理，即可求出的度数．【解析】解：如图，连接、，为的直径，，，，，，，故答案为：．15．如图，在菱形ABCD中，，，点E是射线CD上一点，连接BE，点P在BE上，连接AP，若，则面积的最大值为__________．【答案】【分析】若要使的面积最大，底AB固定，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；可证，故可知点P在△APB的外接圆的劣弧上，当点P在劣弧的中点处，△APB的面积最大，求出AB边上的高即可求解．【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=6，AB//CD，∴∵，∴即，∵，∴，∵，∴点P在在△APB的外接圆上，若要使的面积最大，底AB固定，，故只要AB边上的高最大时，即三角形面积最大；此时点P在劣弧的中点处，如图，设点O为△APB的外接圆的圆心，OP⊥AB于点F，∴，,∴∴由勾股定理得，∴∴PF=∴即面积的最大值为．故答案为：．16．如图，半圆的直径，弦，把沿直线对折，且恰好落在上，则的长为__________．【答案】cm【分析】连接OD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△ODE，所以OE=AF=cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．【解析】连接OD，AD，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F．根据题意知，∠CAD=∠BAD，∴，∴点D是弧BC的中点．∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=cm，∴DE=2cm，又∵AE==4cm，∴AD=cm．三、解答题17．如图，四边形内接于，求证：是等边三角形．【答案】见解析【分析】由圆内接四边形的性质得到，再由，得到，根据等边三角形的判定可得到结论．【解析】证明：∵四边形内接于，∴，又∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形．18．已知：如图，中，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接DE，若．求证：．【答案】见解析【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，根据弦与圆周角的关系可得，进而证明，可得，根据已知条件，等量代换即可得证．【解析】连接，如图，AB为直径的⊙O，，，，，，又，，，，．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，BD交AC于点E，延长AD，BC交于点F，且CF=AC．(1)求证∶CD=AD；(2)若AD=，AB=，求FD的长．【答案】(1)见解析；；(2)【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠F，再由圆周角定理即可证明；（2）过点C作CG⊥AF于点G，根据等腰三角形的性质可得AG=FG，然后根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵CF=AC，∴∠CAF=∠F，∴∠ACB=∠CAF+∠F=2∠CAD，∵∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACD+∠CAD，∴2∠CAD=∠ACD+∠CAD，∴∠CAD=∠ACD，∴CD=AD；(2)如图，过点C作CG⊥AF于点G，∵AC=CF=AB=2，∴AG=FG，在Rt∆ACG中，根据勾股定理可得：，在Rt∆DCG中，根据勾股定理可得：，∴，由（1）知：C