浙江省中考复习微专题看不尽的赵爽弦图课件

看不尽的“赵爽弦图”2024年浙江省中考卷8.

我国古代传统数学有着辉煌的成就，例如三国时期赵爽的弦图可用于证明勾股定理.

如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE.

若AE=4，BE=3，求DE的长.一朝看尽赵爽弦图《周髀算经》

《周髀算经》原名《周髀》，算经的十书之一，是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。

商高是我国古代第一位数学家，西周初期人，是他在公元前1000年发现了勾股定理，早于毕达哥拉斯定理五六百年，所以人们也称“勾股定理”为“商高定理”。《周髀算经》的开章，就记载了商高关于勾股定理的阐述。

赵爽是三国时期的数学家，他研究《周髀算经》时，被书中的“勾股圆方图”注文吸引，由此赵爽产生了新的证明方法，便是我们现在熟悉的“赵爽弦图”。“赵爽弦图”被誉为中国数学界的图腾，2002年在北京召开的国际数学家大会上，就以此为会徽，足以见得它的价值。“赵爽弦图”弦图，又可以勾、股相乘为朱实二，倍之为朱实四；以勾、股之差自相乘为中黄实；加差实，亦成弦实。“赵爽弦图”外弦图内弦图内外弦组合图例1.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，若ab=24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长是

.“弦图”问题基础版

“弦图”问题基础版例3.如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，连结CF，若AF=2BF，则tan∠FCB的值为

.“弦图”问题进阶版

同类问题1.如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，连结DF，CF，若C，F关于过点D的直线对称，则tan∠FCB的值为

.

“弦图”问题进阶版

“弦图”问题终极版

老师编的题：“弦图”问题继续进行中......课堂梳理1.题型总结：有的题没有额外加线，有的加了；有的题由边到角，有的由角到边；有的题侧重几何推理，有的侧重代数运算；2.方法（招式）总结：全等；相似（8字型，A字型）；勾股定理；面积法。课后作业1.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”，如图，在由四个全等的直角三角形(△ABF、△BCG、△CDH、△DAE)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形

ABCD中。∠BCG>∠CBG，连结CF.设∠CBG=α，∠CFG=β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1：n，tanα=tan2β，则n=

(

)A.5

B.4

C.3

D.2课后作业2.如图，正方形ABCD是由小正方形EFCH和四个全等的直角三角形无缝密铺组成，延长GH交以AD为直径的圆于点I(点I在AD的上侧），连结IA，ID.分别以IA，ID为边向外作正方形1AKJ，IDLM.已知△ICD的面积为2，正方形IAKJ的面积为1，则正方形EFGH的面积为

.课后作业

（1）若A，B，Q三点共线，则k=

.（2）正方形ABCD和CJKL的面积之比为

.课后作业4.

如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.以AD为直径作圆，交HG于点I，连结DI，EI，设tan∠HDI=x,tan∠HIE=y,则下列式子中为定值的是（

）.A.

x+y

B.

x-y

C.

xy

D.视角一：弦图上增设线段（形内）一、对“弦图”问题的命制视角再剖析视角一：弦图上增设线段（形外）一、对“弦图”问题的命制视角再剖析

视角二：弦图上增设典型图形一、对“弦图”问题的命制视角再剖析如图，正方形ABCD是由小正方形EFCH和四个全等的直角三角形无缝密铺组成，延长GH交以AD为直径的圆于点I(点I在AD的上侧），连结IA，ID.分别以IA，ID为边向外作正方形1AKJ，IDLM.已知△ICD的面积为2，正方形IAKJ的面积为1，则正方形EFGH的面积为

.

（1）若A，B，Q三点共线，则k=

.（2）正方形ABCD和CJKL的面积之比为

.视角三：构造弦图解决问题一、对“弦图”问题的命制视角再剖析S2S1S1S1S1S2S2S2S2S2S2S1S1S12.（2025浙北调研卷第10题）如图，在正方形ABCD中，线段CB绕点C顺时针旋转至CE（点E在正方形内部），连结DE并延长至点F，使得AF=AD，EF交AB于点G，连结BF，BE.若EF=ED，则△EFB的面积与四边形EGBC的面积的比值是（

）一、对“弦图”问题的命制视角再剖析视角三：构造弦图解决问题一、对“弦图”问题的命制视角再剖析视角四：弦图的变形拓展1.如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3,FH与GE相交于点O.当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（

）A.S1=S2B.S1=S3C.AB=ADD.EH=GH一、对“弦图”问题的命制视角再剖析视角四：弦图的变形拓展

一、对“弦图”问题的命制视角再剖析

以”赵爽弦图“为背景的试题命制视角研究，首先厘清弦图的基本结构特征，能从整体与局部双重视角对图形进行分析，充分挖掘图形中边与角之间的数量关系。从基本结构，再到丰富结构，隐藏结构，变形结构，不断拓展创新。将代数运算和几何推理有机结合，发展学生数学思维。二、对“弦图”问题的解题方法再剖析

“赵爽弦图”以小身板展示出大能量，从整体看，弦图是中心对称图形；从局部看，弦图中的图形包括直角三角形和正方形，图形之间有全等和相似关系，线段之间有平行和垂直关系，角度之间存在互余；从思想上看，弦图融合了割补思想、数形结合思想和图形变换思想.“赵爽弦图”可在平面几何中同时涵盖线和形、位置与数量以及方法和思想等多个方面，因此具有良好的几何特征。

从大量“弦图”问题中，我们得出，分析全等得到边角的数量关系是关键，构造相似是进阶的密码，遇到困难时，用“代换”化危机。美国数学家波利亚说过：货源充足和组