四校2025年高三年高考模拟训练数学试卷

PAGE安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2025年高三年高考模拟训练学科：数学满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，复数满足，则A． B． C．2 D．62．函数的值域为A． B． C． D．3．已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件的是A． B．C． D．4．已知，则A． B．C．D．5．如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若，，则该圆台的内切球的表面积为A． B．C． D．6．某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论不正确的是（

）A． B．满意度计分的众数约为75分C．满意度计分的平均分约为79分 D．满意度计分的第一四分位数约为70分7．在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为A． B． C． D．8．如图，四棱锥中，已知平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是A． B．2 C． D．4二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知随机变量的分布列如下列表，则下列结论正确的是012A． B．C． D．10．设函数，则A．一定有两个极值点B．若，则或C．过点作曲线的切线有且仅有一条D．当时，11．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是A．B．C．是偶数D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则．13．已知函数的部分图象如图所示，的图象与轴交于点C，且，，，则．14．已知，，（为自然常数）且，则的最大值为．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测试得到了如下表数据：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校301040乙校202040合计503080（1）依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．（2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，将频率视为概率，现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例分别抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．从这84人中任意抽取一名学生，求抽到数学成绩优秀学生的概率．附：，其中．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82816．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）如图所示，为外一点，，，，求．17．（15分）已知直三棱柱中，，分别为和的中点，P为棱上的动点，F为棱上一点，且四点共面，若．（1）证明：平面平面；（2）设，是否存在实数λ，使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由．18．（17分）已知双曲线的右焦点为，离心率为．（1）求的标准方程；（2）设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值；（3）已知点是上任意一点，直线：是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．19．（17分）已知定义在I上的连续函数的导函数为，对同时满足下列条件的数列称为“相关数列”：①；②．（1）若，数列是“相关数列”，且，求数列的通项公式；（2）若，数列是“相关数列”，证明：是递减数列；（3）若，数列是“相关数列”，且，记数列的前n项和为，证明：．安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2025年高三年高考模拟训练参考答案一、单选题BDAADCCA二、多选题（9）ACD（10）AB（11）BD三、填空题（12）（13）（14）1.B【详解】，，.故选：B.2．D【详解】函数的定义域为，又与在上均单调递增，所以在上单调递增，，故的值域为.故选：D.3．A【详解】由题可知且，解得，所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，因为只有选项A中的是的真子集，故选：A4．A【详解】因为，又，所以.故选：A5.D【详解】，，故，，故圆台上底面半径：下底面半径：如图，取圆台的轴截面，则圆台的高：，则该圆台的内切球的半径：故内切球表面积：故选：D6．C【详解】对于A，由频率分布直方图得，又，解得，故A正确；对于B，众数约为最高矩形底边中点横坐标75分，故B正确；对于C，平均分约为，故C错误；对于D，前两组的频率之和为，所以满意度计分的第一四分位数即第25百分位数约为70分，故D正确.故选：C7．C【详解】设，，则，，设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知：，解得，所以，，，在中，显然有，所以，设，由余弦定理可知：，即解得，因此椭圆的焦距为，所以椭圆的离心率为：.故选：C.8．A【详解】解法一：传统方法解法二：以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为已知是四边形内部一点，所以设，其中且（即点在平面内部），则，因为轴平面，所以平面的法向量可取，又因为，设平面的法向量为，则，即，由题易得，令，则，所以，因为二面角的平面角大小为，所以，即，解得，所以，当时，，所以线段AQ长度的最小值是.故选：A.9．ACD【详解】由，得，A正确.，B不正确，C正确.，D正确.故选：ACD10．AB【详解】由题设，当或时，，则在、上单调递增，当时，，则在上单调递减，所以分别为极大值点、极小值点，A对；由，令，则，所以或，故对于，则或，B对；由且，则处的切线为，过，由，则处的切线过，所以过的切线至少有两条，C错；由，，所以，故，D错.故选：AB11．BD【详解】由题设，，，，A错误；由上分析，，B正确；由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，111223457912162128***@@*@***@@*@……显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数，而，故是奇数，C错误；由，，，…，，且，所以，又，故，D正确.故选：BD.12．【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为.设点，根据抛物线的定义，可得，解得.把代入，得，因为，所以，即.圆，圆心为，半径，故.故答案为：.13．【详解】由题干图象可知，则，所以，所以，由，得，，即，，因为，所以，则.又，则，又，，，解得（负根舍去），所以，所以.故答案为：14．【详解】，令，则，因为，即，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，所以，即的最大值是.故答案为：.15．【详解】（1）零假设：两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异，……….…………1分因为，……….…………………3分依据小概率值的独立性检验，没有充分的理由推断不成立，所以认为两校学生中数学成绩优秀率之间没有差异.……….…………………4分所有数据都扩大10倍后：……….…………………5分这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，……….…………………6分所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.…………7分（2）抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：，……….…………………8分记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”，则，，……….………10分所以抽到数学成绩优秀学生的概率……11分.……….………13分16．【详解】（1），在中，由正弦定理得，，…………….………………2分由三角形内角和为可得，，……….……………3分即，…………….…………….………………4分，，，…………….…………………5分即，…………….…………….………………6分又，，即，…………….…………….………………7分（2）设，令，，在中，由正弦定理得，，，.…………….……….……………10分在中，由正弦定理得，，……………….………………11分，，…………….…………….………………13分，…………….………………14分解得，即.……………….…………….………………15分17.【详解】（1）因为平面平面，所以平面.……………….………………1分因为平面，平面平面，所以.……………….…2分因为为的中点，故为的中点在正方形，因为，故.所以因为，故，故.……………….……………4分因为，故平面，所以平面……………….………………5分因为平面，所以平面平面.……………….……………6分（2）因为三棱柱为直三棱柱，故.因为平面，所以平面，平面，所以，故又因为平面，……………….………………7分故以A为原点，分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.……………….…………8分据题设有，，此时.设为平面的法向量，则.则，令，从而.……………….………………10分显然，平面的法向量可取.……………….………11分此时平面与平面所成的角的余弦值为……………….…………13分故，即，解得，所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为.……………15分18．【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，所以，所以的离心率为，所以，，……………….……………3分故的标准方程为．……………….……………4分（2）由（1）知，由题意知的斜率不为0，设的方程为，，，………5分联立方程，得，得，所以，，，……………….……………7分所以．……………….….…………………9分（3）由题意知，所以在点处的切线方程为．…………10分易知直线的斜率，可设直线的方程为，，．………11分由方程组，解得，所以点的坐标为，所以．……………….………………12分由方程组，消去可得，则，所以，，……………….………………13分所以，同理可得，……………….………………15分所以，……………….…………16分所以，即．……………….………………17分19．【详解】（1）由，得的定义域为，且，由数列是“相关数列”，得，且，所以，所以，……………….………………2分又，所以是首项为1，公比为的等比数列，故，即数列的通项公式为．……………….…………4分（2）证明：因为，所以的定义域为，且，因为数列是“相关数列”，所以，则，当时，易证，所以，……………….………5