2024-2025学年山东省滨州市高一上学期1月期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省滨州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.2.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为终边过点，故，所以.故选：B.3.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即.故选：A.4.若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】D【解析】令扇形中心角为，半径为，则，可得.故选：D.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得设，函数的定义域为，，所以函数为奇函数.对A、B：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故A、B错误；对C、D：由图象可知函数为奇函数，令，得，故D错误，故C正确.故选：C.6.式子（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】.故选：C.7.若，，且，则的最小值为（）A. B.25 C.5 D.1【答案】B【解析】因为，，且，即，且，当且仅当时等号成立，可得，解得或（舍去），所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.故选：B.8.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，由，则，所以，又，而，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定为“，使得”B.函数的定义域是C.函数（，且）的图象经过定点D.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时【答案】ABD【解析】A：由全称命题的否定为特称命题，则“，都有”的否定为“，使得”，对；B：由解析式有或，故函数定义域为，对；C：由，故函数的图象必过定点，错；D：若，则，故，又，所以，对.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.若，则．C.将的图象向右平移个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象D.的图象关于直线对称【答案】BC【解析】由图知，，则，且，则，，所以，，又，则，A错，所以，则，故不是对称轴，D错，由及正弦函数的性质，知必有，B对，将的图象向右平移个单位长度，则，再把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），，C对.故选：BC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（）A.的定义域为 B.在区间上单调递减C.当时，的最小值为1 D.当时，的最大值为1【答案】ACD【解析】由解析式易知，函数定义域为，A对；当，则，故在区间上单调递增，B错；当时，，此时函数最小值为1，当时，，则，当且仅当时取等号，C对；当时，，当时，，则，当且仅当时取等号，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若幂函数在上单调递减，则实数________．【答案】【解析】由题意.13.已知是钝角，，则________．【答案】【解析】由是钝角，，则，所以.14.已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________．【答案】或【解析】函数恰有2个零点，即与恰有两个交点，由函数解析式，可得其大致图象如下，如上图，当或时，与恰有两个交点.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，．（1）求；（2）设集合，若，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）由，当时，，解得，此时，当时，要使，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.16.设函数，．，用表示，中的最大者，记为．已知关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值，并写出的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为的解集为，所以是方程的两个根，由根与系数的关系得，解得，所以，由，得，即，解得或，由，得，即，解得，所以.（2）当时，，当时，，当时，，综上所述，的最小值为0，所以，即，所以，解得，或，所以的取值范围是.17.某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本）（1）求年利润的函数解析式；（2）求年产量为多少时，该厂的年利润最大？解：（1）当时，，当时，，所以.（2）当时，，所以当时，取得最大值，最大值是900万元，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，最大值是800万元，因为，所以，年产量为6万件时，该厂年利润最大．18.已知函数．（1）求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）求在区间上的单调递增区间．解：（1），所以，其最小正周期.（2）因为，所以，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值.（3）令，则，因为，的单调递增区间是和，由，得，由，得，所以，函数在上的单调递增区间为和.19.悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链线形状．双曲余弦函数的图象的形状就是一种特殊的悬链线．定义双曲余弦函数为，双曲正弦函数为．（1）求证：为定值．（2）设函数，（i）判断的单调性，并用定义证明；（ii）若对于，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题设，所以是定值1．（2），（i）函数在上单调递增，证明如下：任取，且，则．因为，所以，即，又，所以，即，故函数在上单调递增．（ii）函数的定义域为，因为，都有，且，所以函数为奇函数．因为，所以，因为为奇函数，所以．由（i）知，函数在上单调递增，所以，因为，所以，所以，所以，设，，则，，所以，设，则在上单调递增，，所以，所以实数的取值范围是.山东省滨州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.1.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，则，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.2.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为终边过点，故，所以.故选：B.3.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即.故选：A.4.若一个扇形的弧长为4，面积为2，则这个扇形中心角的弧度数是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】D【解析】令扇形中心角为，半径为，则，可得.故选：D.5.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得设，函数的定义域为，，所以函数为奇函数.对A、B：由图象可知函数为偶函数，因为函数为奇函数，故A、B错误；对C、D：由图象可知函数为奇函数，令，得，故D错误，故C正确.故选：C.6.式子（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】.故选：C.7.若，，且，则的最小值为（）A. B.25 C.5 D.1【答案】B【解析】因为，，且，即，且，当且仅当时等号成立，可得，解得或（舍去），所以，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.故选：B.8.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，由，则，所以，又，而，所以.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.命题“，都有”的否定为“，使得”B.函数的定义域是C.函数（，且）的图象经过定点D.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时【答案】ABD【解析】A：由全称命题的否定为特称命题，则“，都有”的否定为“，使得”，对；B：由解析式有或，故函数定义域为，对；C：由，故函数的图象必过定点，错；D：若，则，故，又，所以，对.故选：ABD.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.B.若，则．C.将的图象向右平移个单位长度，然后把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象D.的图象关于直线对称【答案】BC【解析】由图知，，则，且，则，，所以，，又，则，A错，所以，则，故不是对称轴，D错，由及正弦函数的性质，知必有，B对，将的图象向右平移个单位长度，则，再把曲线上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），，C对.故选：BC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，．定义函数，则下列说法正确的是（）A.的定义域为 B.在区间上单调递减C.当时，的最小值为1 D.当时，的最大值为1【答案】ACD【解析】由解析式易知，函数定义域为，A对；当，则，故在区间上单调递增，B错；当时，，此时函数最小值为1，当时，，则，当且仅当时取等号，C对；当时，，当时，，则，当且仅当时取等号，D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若幂函数在上单调递减，则实数________．【答案】【解析】由题意.13.已知是钝角，，则________．【答案】【解析】由是钝角，，则，所以.14.已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是________．【答案】或【解析】函数恰有2个零点，即与恰有两个交点，由函数解析式，可得其大致图象如下，如上图，当或时，与恰有两个交点.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，．（1）求；（2）设集合，若，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以，因为，所以.（2）由，当时，，解得，此时，当时，要使，则，解得，综上所述，实数的取值范围是.16.设函数，．，用表示，中的最大者，记为．已知关于的不等式的解集为．（1）求实数，的值，并写出的解析式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）因为的解集为，所以是方程的两个根，由根与系数的关系得，解得，所以，由，得，即，解得或，由，得，即，解得，所以.（2）当时，，当时，，当时，，综上所述，的最小值为0，所以，即，所以，解得，或，所以的取值范围是.17.某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本）（1）求年利润的函数解析式；（2）求年产量为多少时，该厂的年利润最大？解：（1）当时，，当时，，所以.（2）当时，，所以当时，取得最大值，最大值是900万元，当时，，当且仅当，即时等号成立，所以当时，取得最大值，最大值是800万元，因为，所以，年产量为6万件时，该厂年利润最大．18.已知函数．（1）求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值；（3）求在区间上的单调递增区间．解：（1），所以，其最小正周期.（2）因为，所以，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值.（3）令，则，因为，的单调递增区间是和，由，得，由，得，所以，函数在上的单调递增区间为和.19.悬链线是两端固定的一条粗细与质量分布均匀，柔软而不能伸长的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状．如障碍物上悬挂的铁链和悬挂在空中的电线都是悬链