2024-2025学年山西省晋城市多校高一上学期期中学业测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山西省晋城市多校2024-2025学年高一上学期期中学业测试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合可能是（）A. B.C D.【答案】C【解析】A､B选项中，均有，不合题意；D选项中，，不合题意；只有C选项中，，符合题意.故选：C2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，反之不成立，如：，满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.已知集合，在下列四个图形中，能表示集合到的函数关系的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】由函数定义可知，符合中任意元素在中有唯一确定的元素与之相对应的图象是（2）（4）.故选：C.4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数的定义域为，得，解得，所以函数的定义域为.故选：D.5.如图所示的直角梯形区域（其中），该区域需要通过光线扫描进行分析.扫描光线所在的直线方程为从0变化到2即完成一次扫描.设扫描过程中梯形区域被光线扫过的区域（即光线左方图形）的面积为.则当时，关于的函数可表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，当光线在区间移动时，面积由左侧的三角形和右侧的矩形组成，左侧三角形面积为1，右侧矩形面积为，左右面积相加知B正确故选：B.6.已知函数的图象向左平移2个单位后关于轴对称，当时,恒成立，设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知的图象关于直线对称，且当时，是减函数，又，所以，即.故选：D.7.美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（）A.若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数B.存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍C.存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过D.将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化【答案】B【解析】记产出､资本投入､劳动投入未改变前分别为，改变后的产出为.对于A，，其单调性取决于与1的大小关系，而这个大小关系并不确定，A错误；对于B，令，解得，B正确；对于C，，不成立，C错误；对于D，令，解得，即仅当时，产出不变，当时，产出发生改变，D错误.故选：B8.若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为能成立，所以.又因为，所以.所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以或.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于选项A，当时，，故A错误；对于选项B，由题意知，在的两边同时乘以正数，可得，故B正确；对于选项，故C正确；对于选项D，当时，，故D错误；故选：BC10.已知幂函数的图象关于轴对称，.下列表述正确的是（）A.B.函数在上单调递减C.函数恒过定点D.当时，函数在的值域为【答案】BD【解析】因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，，图象不关于轴对称，故舍去，当时，，图象关于轴对称，所以符合题意，故A不正确，易知时在0,+∞上单调递减，即B正确；由指数函数性质可得函数，易知恒过定点，故C不正确；易知当时，函数在为减函数，所以其值域为，故D正确.故选：BD.11.已知是方程的两个根，其中，不等式的解集是，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】不等式的解集是，其中，所以，且是一元二次方程的解，所以，所以，故A，C正确；又因为，所以D错误；又方程的解是1和，且不等式的解集为，所以，B正确.故选：ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.小王同学经过化简，得到恒等式，则__________.【答案】或【解析】根据题意，故.故答案为：13.若“”是假命题，则实数的最大值为__________.【答案】【解析】因为“”为假命题，所以它的否定“”为真命题，所以对恒成立，即，所以.即实数的最大值为.故答案为：14.已知，函数则关于的方程的实根的个数为______.；若关于的方程有7个不同的实根，则正数的取值范围是__________.【答案】①.②.1,+∞【解析】的大致图象如图所示：方程的根为，共3个.由可得，或，或，由图象可得，显然有3个根，显然有1个根，又有7个不同的实根，所以必有3个根，而，为使有3个根，只需，解得或（舍）.故答案为：；1,+∞.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）当时，求①，②；（2）若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，而{或}，则{或}；（2）由“”是“”的必要条件，知，，解得.实数的取值范围.16.已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）若，求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由题意知，所以，又，故，因此时，，当时，，由题意得，又是定义在上的奇函数，所以.所以当时，，又，故，所以函数的解析式为（2）当时，，又，所以，故.故得故或，综上，实数的取值范围为.17.已知函数，（1）若，且函数在1,+∞上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，讨论关于的不等式的解集.解：（1）当时，，不满足函数在1,+∞单调递增；当时，若在1,+∞上单调递增，则需满足，解得，综上，故所求实数的取值范围为.（2）不等式可化为，即，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为或；③当时，，不等式解集为，综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或.18.已知指数函数与二次函数.（1）求函数；（2）当时，求函数的值域；（3）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.解：（1）因为函数为指数函数，所以，解得，所以函数.（2）当时，，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，；当时，，则，所以当时，，又函数是增函数，则，所以函数的值域是.（3）因为，当时，有，函数上单调递减，在上单调递增，则，这与hx的最小值为矛盾，故不成立；当时，有，当时，单调递减，故hx在不可能有最小值，当时，单调递增，故hx的最小值为，令，即，解得，又时，，解得.所以实数的取值范围是.19.空集或非空有限集合所含的元素个数通常被称为集合的基数或势，记作.如.非空集合满足，若实数，则必有.（1）求的最小值并给出证明；（2）若定义在上的函数对任何都有，求的解析式；（3）若，对于（2）中的函数，判断并证明的单调性.解：（1）由于是非空集合，设实数，根据题意，，进而，再根据题意，由，进而又方程，即无实数解，故是彼此不相等的三个实数，故中至少有个元素，即最小值为.（2）由（1）知，若，则.根据题意，，①将①式中的所有全部代换为，得，②将①式中的所有全部代换为，得，③①③②，得，整理得，所以的解析式为.（3）是上的单调递增函数；，且，则，由知，故，即，因此在上单调递增.山西省晋城市多校2024-2025学年高一上学期期中学业测试数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则集合可能是（）A. B.C D.【答案】C【解析】A､B选项中，均有，不合题意；D选项中，，不合题意；只有C选项中，，符合题意.故选：C2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，反之不成立，如：，满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.已知集合，在下列四个图形中，能表示集合到的函数关系的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】C【解析】由函数定义可知，符合中任意元素在中有唯一确定的元素与之相对应的图象是（2）（4）.故选：C.4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数的定义域为，得，解得，所以函数的定义域为.故选：D.5.如图所示的直角梯形区域（其中），该区域需要通过光线扫描进行分析.扫描光线所在的直线方程为从0变化到2即完成一次扫描.设扫描过程中梯形区域被光线扫过的区域（即光线左方图形）的面积为.则当时，关于的函数可表示为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意得，当光线在区间移动时，面积由左侧的三角形和右侧的矩形组成，左侧三角形面积为1，右侧矩形面积为，左右面积相加知B正确故选：B.6.已知函数的图象向左平移2个单位后关于轴对称，当时,恒成立，设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知的图象关于直线对称，且当时，是减函数，又，所以，即.故选：D.7.美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Douglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（）A.若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数B.存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍C.存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过D.将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化【答案】B【解析】记产出､资本投入､劳动投入未改变前分别为，改变后的产出为.对于A，，其单调性取决于与1的大小关系，而这个大小关系并不确定，A错误；对于B，令，解得，B正确；对于C，，不成立，C错误；对于D，令，解得，即仅当时，产出不变，当时，产出发生改变，D错误.故选：B8.若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为能成立，所以.又因为，所以.所以，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以或.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于选项A，当时，，故A错误；对于选项B，由题意知，在的两边同时乘以正数，可得，故B正确；对于选项，故C正确；对于选项D，当时，，故D错误；故选：BC10.已知幂函数的图象关于轴对称，.下列表述正确的是（）A.B.函数在上单调递减C.函数恒过定点D.当时，函数在的值域为【答案】BD【解析】因为函数为幂函数，所以，解得或，当时，，图象不关于轴对称，故舍去，当时，，图象关于轴对称，所以符合题意，故A不正确，易知时在0,+∞上单调递减，即B正确；由指数函数性质可得函数，易知恒过定点，故C不正确；易知当时，函数在为减函数，所以其值域为，故D正确.故选：BD.11.已知是方程的两个根，其中，不等式的解集是，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】不等式的解集是，其中，所以，且是一元二次方程的解，所以，所以，故A，C正确；又因为，所以D错误；又方程的解是1和，且不等式的解集为，所以，B正确.故选：ABC.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.小王同学经过化简，得到恒等式，则__________.【答案】或【解析】根据题意，故.故答案为：13.若“”是假命题，则实数的最大值为__________.【答案】【解析】因为“”为假命题，所以它的否定“”为真命题，所以对恒成立，即，所以.即实数的最大值为.故答案为：14.已知，函数则关于的方程的实根的个数为______.；若关于的方程有7个不同的实根，则正数的取值范围是__________.【答案】①.②.1,+∞【解析】的大致图象如图所示：方程的根为，共3个.由可得，或，或，由图象可得，显然有3个根，显然有1个根，又有7个不同的实根，所以必有3个根，而，为使有3个根，只需，解得或（舍）.故答案为：；1,+∞.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）当时，求①，②；（2）若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.解：（1）当时，，，而{或}，则{或}；（2）由“”是“”的必要条件，知，，解得.实数的取值范围.16.已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）若，求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）由题意知，所以，又，故，因此时，，当时，，由题意得，又是定义在上的奇函数，所以.所以当时，，又，故，所以函数的解析式为（2）当时，，又，所以，故.故得故或，综上，实数的取值范围为.17.已知函数，（1）若，且函数在1,+∞上单调递增，求实数的取值范围；（2）若，讨论关于的不等式的解集.解：（1）当时，，不满足函数在1,+∞单调递增；当时，若在1,+∞上单调递增，则需满足，解得，综上，故所求实数的取值范围为