苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业11乘法公式的综合运用(知识梳理+5大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

②注：在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。补充公式：。知识点02完全平方公式应用2（求最值）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．知识点03完全平方式的应用（求参数）完全平方式含参：两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．理解和掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．注意：(1)对于a2=x(x0)，a有正负两种结果。(2)区分缺首尾项和缺中间项.知识点04乘法公式的几何背景两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。题型一通过对完全平方公式变形求值（知二求三）1．已知，，则的结果是（

）A．19 B．31 C． D．【答案】A【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式的变形，计算即可．【详解】解：∵，，∴，∴；故选A．2．已知，，则的值是（）A．64 B．76 C．88 D．100【答案】C【分析】本题考查利用完全平方公式求代数式的值，将变形为，再将，代入求值即可．【详解】解：∵，，∴

．故选C．3．已知，则的值为（）A．n B． C．0 D．【答案】D【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形求解即可．【详解】解：∵，∴．故选D．4．已知．则多项式的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解即可，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．【详解】由题意可知，，，，故选：D．5．已知，，则．【答案】37【分析】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：．根据完全平方公式得到，然后把，代入计算即可．【详解】解：因为，所以故答案为：37．6．若，，则代数式的值是．【答案】96【分析】本题考查完全平方公式，将原式进行正确的变形是解题的关键．利用完全平方公式将原式变形后代入数值计算即可．【详解】解：，，，故答案为：96．7．已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，偶次方的非负性，二元一次方程组的解法，代数式的值，掌握完全平方公式是解本题的关键．把原式化为，再利用非负数的性质可得，从而可得答案．【详解】解：∵，∴．∴．∴，解得：，∴故答案为：．8．已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)25(2)【分析】本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键．（1）利用完全平方公式得到，然后整体代入计算即可得出答案；（2）根据多项式乘以多项式的运算法则将原式进行计算，再整体代入．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）解：∵，，∴．9．（1）已知，，求和的值．（2）已知，求的值．【答案】（1），；（2）【分析】本题考查代数式求值，（1）运用完全平方公式对原式进行变形，再将，的值代入即可得解；（2）将，左右两边分别平方，即可得解；解题的关键运用完全平方公式和等式两边平方法来计算．【详解】解：（1）∵，，∴；，∴，；（2）∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．题型二利用乘法公式求最值1．对于代数式:，下列说法正确的是（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．无法确定最大最小值【答案】B【分析】首先将代数式化为，即可判定其最值.【详解】解：代数式可化为：=，∴当时，代数式有最小值1，故选B.【点睛】此题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特点，即可解题.2．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．通过阅读，解答问题：当x取何值时，代数式有最大或最小值，是多少？（

）A．当时，有最小值． B．当时，有最小值7．C．当时，有最大值7． D．当时，有最大值．【答案】C【分析】参照样例利用公式变形即可得到答案．【详解】解：===∴当时，有最大值7，故选：C．【点睛】本题考查求代数式的最值，完全平方公式的应用，解题的关键是参照样例对代数式进行变形．3．若有最小值，则当时，它的值最小，其最小值为．【答案】21【分析】本题考查利用完全平方的非负性，把代数式写成一个完全平方式加上一个数的形式，利用非负数的性质得出答案即可．【详解】解：∵，∴．所以当时，的值最小，最小值为1，故答案为：2，1．4．已知代数式，当=时，代数式的值最小，最小值是．【答案】1【分析】利用完全平方公式的最小值为0求出代数式的最小值，以及此时的值即可．【详解】解：当，即时，的值最小，最小值为1，故答案为：；1【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；解：，∵，∴．当时，的值最小，最小值是1．∴的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出的最小值为．(2)求代数式的最小值．(3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．【答案】(1)3(2)7(3)有最大值，最大值是8【分析】（1）根据偶次方的非负性得出，再求出最小值即可；（2）求出，再根据偶次方的非负性得出，再求出最小值即可；（3）求出，再根据偶次方的非负性得出，再求出最大值即可．【详解】（1）解：，∵，∴．当时，的值最小，最小值是3，故答案为：3；（2），∵，∴．当时，的值最小，最小值是7，∴的最小值是7；（3），∵，∴，∴，∴当时，有最大值，最大值是8．【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行配方的应用和偶次方的非负性等知识点，能正确配方是解此题的关键．6．阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法：解：∵，∴当时，的值最小，最小值是，∴的最小值是．根据阅读材料解决下列问题：(1)填空：_________________；(2)求代数式最小值．【答案】(1)；；(2)．【分析】本题考查完全平方公式的的应用，解题的关键是掌握的运用，即可．（1）根据，即可；（2），对变形为：，即可．【详解】（1）∵，∴，故答案为：，．（2）∵，∴，∴当时，的值最小，最小值是，∴的最小值是．题型三利用乘法公式求参数1．若是一个完全平方式，那么的值应该是（

）A． B． C．12 D．【答案】D【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．【详解】解：是一个完全平方式，，即，解得，故选：D．2．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，那么a的值是（

）A．12 B． C．6 D．【答案】B【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．直接利用完全平方公式的结构特征判断确定出a的值即可．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴∴，故选B．3．若是完全平方式，则的值等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可求出答案．【详解】解：是完全平方式，，解得：或，故选：D．4．若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．根据和都是一个完全平方式解答即可．【详解】解：和它们都是完全平方式，或，解得：或，故选：D．5．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是．【答案】【分析】本题主要考查了完全平方式．解题的关键是熟练掌握常数项等于一次项系数一半的平方．符合形式的式子叫完全平方式．根据常数项等于一次项系数一半的平方建立方程，解方程即得．【详解】∵是一个完全平方式，∴，∴．故答案为：．6．若关于x的多项式（m为常数）是一个完全平方式，则．【答案】【分析】本题根据完全平方公式的结构特征进行分析，两倍的平方和，加上或减去它们乘积的2倍，在已知首尾的两位数的情况下，对中间项2倍乘积要分正负两种情况，这点特别注意．根据首末两项分别是和的平方，可得中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，即可求出m的值．【详解】解：∵是完全平方式，∴，∴．故答案为：．7．若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为．【答案】【分析】本题考查完全平方公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据完全平方公式的结构特征列式解答．【详解】∵关于x的二次三项式是完全平方式，∴∴．故答案为：．8．若是完全平方式，则m的值为．【答案】或7【分析】本题考查完全平方式，灵活运用完全平方式的特征“首平方，尾平方，首尾两数积的两倍在中央”是解题的关键．根据完全平方公式的特点即可解答．【详解】解：∵是完全平方式，∴，整理得：或，解得或．故答案为：或7．9．阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．【知识理解】：（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为；（2）配方：；【知识运用】：（3）已知，求m，n的值．【答案】（1）；（2）10；（3），【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解答的关键．（1）根据完全平方式的形式求解即可；（2）利用配方法的步骤求解即可；（3）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解值即可．【详解】解：（1）多项式是一个完全平方公式，，，故答案为：；（2），故答案为：；（3），，，∴，．10．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定解决下列问题：(1)计算；(2)若是一个完全平方式，求常数的值；(3)若，，求的值．【答案】(1)14(2)(3)【分析】本题主要考查了整式混合运算，完全平方公式的变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）原式利用题中的新定义计算求出，然后再根据完全平方公式，即可求出k的值；（3）原式利用题中的新定义计算得出，根据，得出，求出的值即可．【详解】（1）解：；（2）解：，∵是一个完全平方式，∴，∴，解得：．（3）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：．题型四乘法公式在几何图形中的应用1．用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了整式的混合运算、三角形的面积公式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．先用a、b的代数式分别表示，，再根据，进而得到答案．【详解】解：根据题意，空白部分的面积为：，又∵正方形面积为：，∴阴影部分面积为：，又∵，∴，∴，故选：D．2．如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，根据题意分情况讨论，即可求解．【详解】解：共有以下6种拼法：①∵，∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形；②∵，∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形；③∵，∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形；④∵，∴可以用甲、丙正方形纸片各张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形；⑤∵，∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形；⑥∵，∴可以用甲正方形纸片张，丙正方形纸片张，乙长方形纸片张拼出一个边长为正方形；综上所述，共有6种不同的正方形，故选：D．3．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设．若，则图中阴影部分的周长为（）A．40 B．45 C．50 D．60【答案】A【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．根据题意得，，故可得，经过变形得，从而求得，进一步可求得阴影部分的周长．【详解】解：∵四边形是正方形，；，，即，，或（舍去）∵四边形是正方形，，∴阴影部分的周长是，故选：A．4．2024年央视春晚上伴随着全民齐诵《将进酒》，西安将万千观众再次带入盛世长安．长安灯璀璨，古都夜未央，小明为大唐不夜城的景观灯带设计了一个“中”字图案．他以长方形的四条边为边向外作四个正方形，如图示，若四个正方形的周长之和为32，面积之和为18，则长方形的面积为（

）A． B． C．7 D．5【答案】A【分析】设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为18列方程求解即可．本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的周长和面积是解决问题的前提．【详解】解：设，，由四个正方形的周长之和为32，面积之和为18可得，，，即①，②，由①得，③，得，所以，即长方形的面积为，故选：A．5．如图1，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图2，图2中阴影部分的面积为4．将图1中的两个正方形A，B并排放置后构造新的正方形得到图3，图3中阴影部分的面积为30，则图1中两个正方形A与B的面积之和为．【答案】34【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形，的边长分别为a，b，根据图形得出，，然后得出，的面积之和即可．【详解】解：设正方形，的边长分别为a，b，由题意知，，，即，，，故答案为：．6．如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为，如果斜线阴影部分的面积之和为，空白部分的面积和为4，那么的值为．【答案】2【分析】本题主要考查完全平方式的几何背景，解题关键在于找出甲、乙、丙各自的边长长度．先将乙这个正方形平移至边，然后设大正方形边长为，从而表示出斜线阴影面积为和空白面积为，再代入计算即可．【详解】解：将乙正方形平移至边，如图所示：设，乙的宽；甲的宽；又斜线阴影部分的面积之和为，，空白部分的面积和为4，，，即，．故答案为：2．7．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若，则四边形的面积为．【答案】20【分析】本题考查完全平方公式的应用，正确的表示图形的面积和适当的变形，是得到正确答案的关键．用含有a、b的代数式表示四边形的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案．【详解】解：面积为，当时，原式．故答案为：20．8．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为．【答案】34【分析】本题考查的是完全平方公式的应用，根据题意正确列出代数式、掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出，再根据计算即可．【详解】解：设正方形A，B的边长分别为a，b．由题意，∴，∴，∴故答案为：34．9．如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______？(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．①______________________________②______________________________(3)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系______根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值．【答案】(1)(2)①；②(3)，29【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟知完全平方公式是解题的关键．（1）根据图①可知，剪开后的小长方形长为m，宽为n，可以看出图②中的阴影部分的正方形的边长等于；（2）图②中阴影部分的面积：方法1：利用阴影小正方形的边长直接计算面积；方法2：利用大正方形的面积减去四个小长方形的面积计算；（3）根据图②里图形的面积关系，可以得出这三个代数式之间的等量关系；根据（3）中的等量关系式并代入数值求解即可．【详解】（1）解：由题意得，剪开后的小长方形长为m，宽为n，∴图②中的阴影部分的正方形的边长等于．故答案为：．（2）解：方法①：阴影的面积为边长的平方，即；方法②：阴影的面积为大正方形的面积减去四个小长方形的面积，则．故答案为：；．（3）解：根据图②里图形的面积关系，可得；由（3）中的等量关系可知，．10．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，分别为个小方块的面积．(1)请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系_______．(2)利用（1）中的结论解决：若，则_____，_____．(3)如图2所示，线段的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．(4)若实数满足，求代数式的值．【答案】(1)(2)，(3)(4)【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值；（1）根据4个小方块的面积与大正方形的面积相等求解即可；（2）根据（1）中的结论，利用完全平方公式的变形求解即可；（3）设，，依题意，，连接，根据，即可求解；（4）设，，根据，得出，，利用完全平方公式的变形即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∵，∴；（3）设，，依题意，连接，∴阴影部分面积为∴；（4）设，，∵，∴，，∴．题型五乘法公式中俄的新定义运算1．定义，，给出下列结论错误的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【分析】本题考查了完全平方式，解题的关键是读懂题意，掌握运算法则．根据完全平方公式，得，，逐项判断即可．【详解】解：由完全平方公式，得，，若，则，，则；若，则，，所以和不一定相等，故A错误，B正确；若，则，又因为，，所以，所以；故C正确，不符合题意；若，则或，则，故D正确，不符合题意．故选A．2．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题主要考查了完全平方公式，解题的关键是根据题意掌握新运算的规律．由题目中给出的运算方法，通过计算即可推出结果．【详解】解：．故选：C．3．若定义“*”运算“”若：，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，理解定义的新运算是解题的关键．按照定义的新运算进行计算，即可解答．【详解】解：故选：D．4．定义，例如，则的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此题主要考查了对新运算的理解，根据运算的定义，对式子进行化简即可．【详解】根据运算的定义可得：故答案为：D．5．现定义一种新运算：※，其中，均为有理数，则91※．【答案】8099【分析】此题主要考查了有理数的混合运算．直接利用已知运算公式，结合平方差公式计算，进而得出答案．【详解】解：解：由题意可得：91※．故答案为：8099．6．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是；第36个领先数是．【答案】39439【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，令，，，…，，…，是领先数，且，根据定义得，，，，是解题的关键．【详解】解：令，，，…，，…，是领先数，且，由题意可知，最小的领先数是11，即，由定义可知，一个领先数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，设，则，∵，要保证是领先数，则的十位数字比个位数字大1，则只需保证，为100的倍数，则，的十位和个位必定和的相同，∴，即是领先数，同理，，，…，是领先数，现计算50以内的正整数的平方，根据定义可得：，，，，∴，，，，∴，，，，则，故答案为：39，439．7．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，，则．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式，根据新定义得出，解方程，即可求解．【详解】解：依题意，∴即解得：，故答案为：．8．我们定义，例如．如果、均为有理数，并且满足，那么的值为．【答案】4【分析】本题主要考查新定义运算和整式的混合运算，根据已知得出，即，据此知，，代入计算即可，解题的关键是根据新定义得出．【详解】解：，，，，，，，则，故答案为：4．9．定义，如．已知（m为常数），．(1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值；(2)若A中的m满足，计算的结果．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题中给出的定义计算出，根据代数式中不含x的一次项，计算结果即可；（2）先根据同底数幂的乘法求出m的值，再根据题中给出的定义算出A、B的式子进行计算即可．【详解】（1）解：根据题意，的代数式中不含x的一次项，，；（2），，，，，．【点睛】本题考查了新定义，整式的混合运算，平方差公式的运用，整式运算中无关型问题，同底数幂乘法的计算，准确计算是解答本题的关键．10．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”(1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______；(2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值；(3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值．【答案】(1)(2)30(3)【分析】本题考查的是完全平方公式的应用:（1）根据“完美数”的定义判断即可；（2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值；（3）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解．【详解】（1）解：∵53是“完美数”，∴；故答案为：（2）解：∵，∵，∴∴；（3）解：∵S为“完美数”，∴∴．1．如图，从边长为的正方形纸片中前去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），则矩形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查完全平方公式的几何背景和多项式乘多项式，先根据正方形的面积公式进行列式，再进行计算即可．【详解】解：由题可知，矩形的面积为：．故选：B．2．若是完全平方式，则m的值是（

）．A．6或 B．10或 C．或10 D．或6【答案】C【分析】本题考查了完全平方式：利用完全平方公式得到或，从而得到，然后解关于的方程．【详解】解：是一个完全平方式，或，，或．故选：C．3．已知，则的值是（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】B【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练应用完全平方公式进行求解是解题的关键．根据题意原式可化为，再运用完全平方公式计算，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故选：B．4．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查完全平方公式，弄懂题意找到拼成正方形的面积等于各类卡片面积之和再结合完全平方式的特点是解题关键．由题意可知拼成正方形的面积等于各类卡片面积之和，列出完全平方式即可推出答案．【详解】解：，类卡片的面积为，需要类卡片的张数为4张．故选：D．5．4张长为m，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则m，n满足的关系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键．根据正方形，以及，建立关于m，n的等式，即可解题．【详解】解：由图知，正方形，，，，，，，故选：A．6．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于．【答案】2【分析】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题；先利用完全平方公式得到，然后根据非负数的性质进行判断．【详解】解：∵∴∴不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于2．故答案为：2．7．已知，则的值为．【答案】1【分析】本题考查了完全平方公式的运用，负整数指数幂，利用完全平方公式配方得到，利用偶次方的非负性求出、的值，代入即可．解题的关键是求出、的值．【详解】解：∵，∴，则，∴，，∴，，∴，故答案为：1．8．若实数m满足，则的值是．【答案】1【分析】本题主要考查了整式的混合运算、代数式求值等知识点，正确运用整式的混合运算法则对代数式进行变形成为解题的关键．由可得，再计算并将整体代入即可解答．【详解】解：∵，∴，即，∴．故答案为1．9．算式的个位数字为．【答案】5【分析】本题主要考查了平方差公式，数字类的规律探索，先把原式变形为，再利用平方差公式计算出最终的结果为，再找到规律这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现，据此规律求解即可．【详解】解：，的个位数字是2，的个位数字是4，的个位数字是8，的个位数字是6，的个位数字是2，的个位数字是4，……，∴这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现，∵，∴的个位数字是6，∴的个位数字是5，故答案为：5．10．阅读材料：若x满足，求的值．解：设，则，．所以．带仿照上例解决下面问题：若x满足，则的值是．【答案】110【分析】仿照给出的方法，构造完全平方公式，结合公式变形解答即可．本题考查了换元法构造完全平方公式，变形计算，熟练掌握公式是解题的关键．【详解】设，则，．所以．故答案为：110．11．先化简再求值：，其中，．【答案】，【分析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可【详解】解：，，当，时，原式．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．12．已知，求代数式的值．【答案】【分析】本题考查了单项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，先根据单项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则将代数式化简，然后整体代入求值即可，熟练运算法则和整体代入求值是解题的关键．【详解】解：原式，，∵，∴，∴原式．13．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：．(1)由图2，可得等式_____；(2)利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值；(3)如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积．【答案】(1)(2)的值为45(3)阴影部分的面积为20【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形面积关系，解题的关键是由几何图形得到恒等式．（1）根据图形可知正方形的边长为，然后问题可求解；（2）根据（1）中的结论可把条件代入求解即可；（3）根据题意阴影部分的面积=两个正方形的面积-两个直角三角形的面积，进而问题可求解．【详解】（1）解：由图可得：；（2）解：由（1）可知：，∵，，∴，∴；（3）解：由图可知：，∵，，∴，∴．14．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”．(1)请判断：36_____“幸运数”；（填“是”或“不是”）(2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．①佳佳发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数．②琪琪发现：2024是“幸运数”．【答案】(1)是(2)①佳佳的发现结论正确，理由见解析；②琪琪的发现结论错误，理由见解析【分析】本题考查平方差公式的应用，理解“幸运数”的定义是解题的关键．（1）判断36是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可；（2）①化简，判断化简后的式子是否为4的倍数即可；②令，判断k是否是整数即可．【详解】（1），36是“幸运数”．（2）①佳佳的发现结论正确，理由如下：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造了“幸运数”，两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数．②琪琪的发现结论错误，理由如下：由①得：解得：，k不是整数，琪琪的发现不成立，2024不是“幸运数”．15．完全平方公式不仅具有一定的几何意义，而且将其进行适当变形后还可以解决很多数学问题．例如：若满足，求的值．小军的解法如下：解：设，，则，．∴．(1)将图1中的四个小长方形拼成一个如图2所示的大正方形，求解下列问题：①观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系．②若，，求的值．(2)若满足，求的值．【答案】(1)①；②(2)【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及整式的运算，解题关键是掌握完全平方式的变形．（1）①将图中的阴影面积用两种不同的方法表示出了即可；②根据①中所得结果计算即可；（2）由题意可得，则，然后利用（1）中的结论计算即可．【详解】（1）解：①图中的阴影面积可表示为，也可表示为，则；②，，，；（2），，，．1．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（

）A．24 B． C． D．【答案】B【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案．【详解】解：；∵，，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键．2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（

）A．6 B． C． D．4【答案】D【分析】变形为，将变形为，然后整体代入求值即可．【详解】解：由得：，∴，故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将变形为．3．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则．【答案】【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可．【详解】解：故答案为：．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键．4．（2022·江苏泰州·中考真题）已知用“＜”表示的大小关系为.【答案】【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．【详解】解：由