等比数列的概念(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版选择性

4.3.1等比数列的概念（第1课时）第四章数列

新课引入问题1：类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以下数列的取值规律？你发现了什么规律？

取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9．共同规律：从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数.问题引入新知探究1.等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.

问题2：类差等差数列的概念，你能抽象出等比数列的概念吗？

注意：连等式出现分式结构问：数列a,a,a,a,…(a∈R)是否为等比数列？如果是,a必须满足什么条件？(1)a＝0;它只是等差数列。(2)a≠0;它既是等差数列又是等比数列。辨析1：等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？辨析2：常数列是等差数列吗？是等比数列吗？辨析3：是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？常数列一定是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.等差数列的项、公差均可以是0，但等比数列的每一项和公比都不为0.新知探究如：1,1,1,1,…；0,0,0,0,…；是等差数列，也是等比数列；是等差数列，不是等比数列；注：对定义的认识1.等比数列的首项不为0,即a1≠0。2.等比数列的每一项都不为0，即an≠0。3.公比不为0，即q≠0。数学语言：an+1:an=q(q≠0的常数)。学习新知q>10<q<1q=1q<0递增递减常数列递增递减常数列a1<0a1>0摆动数列摆动数列4.单调性：1.判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比.

a≠0时，是等比数列，公比为aa=0时，不是等比数列练习巩固问题3：类比等差中项的概念，你能抽象出等比中项的概念吗？等差中项

如果三个数a,A,b组成等差数列，

那么A叫做a和b的等差中项.

等比中项

如果三个数a,G,b组成

，

那么G叫做a和b的

.等比数列等比中项追问：任意两个实数a，b都有等比中项吗？

若a，b异号则无等比中项.若a，b同号(且均不为0)则有两个等比中项.

一个等比数列从第2项起，每一项an是它的前一项an－1与后一项an+1的等比中项.2.等比中项:注意：若a,b同号,则有两个等比中项;若a,b异号,则无等比中项.a,G,b成等比数列等比数列的常用判定方法：例：

若a,G,b组成等比数列，则必有G2=ab；而G2=ab并不能说明a,G,b组成等比数列，如a=G=0,b=5时不成等比.新知探究等差数列的常用判定方法：问题4：根据等比数列的定义及推导它的通项公式吗？

∴a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，‧‧‧‧‧‧∴an=a1qn-1

(n≥2).又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.因此，首项为a1,公差为q的等比数列{an}的通项公式为新知探究不完全归纳法累乘法累加法等差数列

等比数列

探究新知探究3：类比等差数列的通项公式，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？回顾学习：累加法、

累乘法问题4：根据等比数列的定义及推导它的通项公式吗？

新知探究累乘法……n-1个又a1=a1q0=a1q1-1，即当n=1时上式也成立.

精细化推导过程

等比数列{an}的通项公式：新知探究3.等比数列的通项公式：an=a1qn-1(n∈

N*)a1

、an、n、q知三求一典型例题例1.若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12,求{an}的第5项分析：等比数列{an}由a1,q唯一确定,可利用条件列出关于a1,q的方程（组）,进行求解

1.的等比中项是2.如果三角形的三边成等比数列，则公比q的取值范围是3.已知正数等比数列中，对所有的自然数n都成立，则公比q=4.已知等差数列的公差数列，且成等比数列，则巩固练习典型例题例2已知等比数列{an}的公比为q,试用{an}的第m项am表示an.

例3.数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列.

如果{an}{bn}是项数相同的等比数列，那么{an·bn}也是等比数列

证明：设数列的公比为p，的公比为q，那么数列的第n项与第n+1项分别为与，即与．因为它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq为公比的