2024-2025学年下学期高一数学人教A版期末必刷常考题之复数

第15页（共15页）2024-2025学年下学期高一数学人教A版（2019）期末必刷常考题之复数一．选择题（共7小题）1．（2025•宁德三模）复数z满足zi＝z﹣2，则复数z的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（2025春•南京校级期中）设i为虚数单位，若复数z＝（a2﹣6a+5）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．6 C．5 D．1或53．（2025•白银校级三模）已知z是复数z的共轭复数，若(-2iA．﹣2 B．2 C．1 D．﹣14．（2025•安顺模拟）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．2 B．3 C．2或3 D．﹣1或65．（2025春•保山校级期中）复数z＝3﹣2i（i为虚数单位）的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i6．（2025春•东西湖区校级期中）复数z满足z(1+i)=|A．2﹣i B．2+i C．2﹣2i D．1+2i7．（2025•安徽模拟）在复平面内，复数z与21-i对应的点关于实轴对称，则A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•霞山区校级期中）已知复数z=i1-A．z的虚部为-12B．|zC．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．z为方程2x2+2x+1＝0的一个根（多选）9．（2025春•深圳期中）欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．eπB．eπi2C．复数exi的模长等于1 D．eπi3（多选）10．（2025•白银三模）已知复数z＝（1﹣i）（6+i），则（）A．z=7+5B．|zC．z+7为纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第四象限三．填空题（共3小题）11．（2025•河西区校级模拟）若复数z满足zi3＝1﹣i，则z=12．（2025春•东西湖区校级期中）若2i﹣3是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝．13．（2025春•深圳校级期中）已知i为虚数单位，设m∈R，z＝m2﹣5m+6+（m2﹣4）i，若z为纯虚数，则m的值为．四．解答题（共2小题）14．（2025春•贵州期中）已知复数z＝1+bi（b∈R），且（2+2i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数z1=z2+i，求|z15．（2025春•湖北期中）已知z1=m2+1+1mi，z2=2m-4+1（1）求实数m的值．（2）求z1z2

2024-2025学年下学期高一数学人教A版（2019）期末必刷常考题之复数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BCCABCD二．多选题（共3小题）题号8910答案CDBCDABD一．选择题（共7小题）1．（2025•宁德三模）复数z满足zi＝z﹣2，则复数z的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】复数的除法运算；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】首先根据已知条件求出复数z，然后利用共轭复数的定义求得答案．【解答】解：由题意，z=21-i则复数z的共轭复数为1﹣i．故选：B．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．2．（2025春•南京校级期中）设i为虚数单位，若复数z＝（a2﹣6a+5）+（a﹣1）i是纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．6 C．5 D．1或5【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：∵复数z＝（a2﹣6a+5）+（a﹣1）i是纯虚数，∴a2-6a+5=0故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．（2025•白银校级三模）已知z是复数z的共轭复数，若(-2iA．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【考点】复数的除法运算；共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】由复数的乘法运算及共轭复数的概念即可求解．【解答】解：由题意可知，z=所以z=12故选：C．【点评】本题主要考查复数的乘法运算及共轭复数的概念，属于基础题．4．（2025•安顺模拟）若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m的值是（）A．2 B．3 C．2或3 D．﹣1或6【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数．【答案】A【分析】根据纯虚数的定义进行求解即可．【解答】解：若复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则m2-5则m＝2，故选：A．【点评】本题主要考查复数的有关概念，比较基础．5．（2025春•保山校级期中）复数z＝3﹣2i（i为虚数单位）的虚部为（）A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i【考点】虚数单位i、复数；复数的运算．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】利用复数的基本概念求解即可．【解答】解：复数z＝3﹣2i（i为虚数单位）的虚部为﹣2．故选：B．【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题．6．（2025春•东西湖区校级期中）复数z满足z(1+i)=|A．2﹣i B．2+i C．2﹣2i D．1+2i【考点】复数的运算；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】根据复数的几何意义结合复数的除法运算法则，计算即可．【解答】解：|7即z=故选：C．【点评】本题主要考查复数的几何意义结合复数的除法运算法则，属于基础题．7．（2025•安徽模拟）在复平面内，复数z与21-i对应的点关于实轴对称，则A．1+i B．﹣1﹣i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【答案】D【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由题意得答案．【解答】解：∵21-由复数z与21-∴z＝1﹣i．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•霞山区校级期中）已知复数z=i1-A．z的虚部为-12B．|zC．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．z为方程2x2+2x+1＝0的一个根【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】CD【分析】根据复数的四则运算化简得z=-1+i2，求出共轭复数及虚部判断A，求出|z﹣i|＝后求模长判断B【解答】解：由题意，z=z=-12-12|z-iz在复平面内对应的点的坐标为(-122⋅(-1+i2)2+2⋅(-1+i2)+1=-故选：CD．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．（多选）9．（2025春•深圳期中）欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．eπB．eπi2C．复数exi的模长等于1 D．eπi3【考点】复数的三角表示；共轭复数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BCD【分析】根据欧拉公式exi＝cosx+isinx逐项计算，然后判断正误即可．【解答】解：A．eπ4iB．eπ2i=cosπC．exi＝cosx+isinx，∴复数exi的模长为cos2x+D．eπ3i=cosπ3故选：BCD．【点评】本题考查了欧拉公式的应用，共轭复数，复数的模和纯虚数的定义，考查了计算能力，属基础题．（多选）10．（2025•白银三模）已知复数z＝（1﹣i）（6+i），则（）A．z=7+5B．|zC．z+7为纯虚数 D．z在复平面内对应的点位于第四象限【考点】复数的乘法及乘方运算；纯虚数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】根据复数的乘法求出复数z，再根据复数的相关知识逐项判断即可．【解答】解：∵z＝（1﹣i）（6+i）＝6+1﹣6i+i＝7﹣5i，∴z=7+5i，故|z-2|=|5z+7＝7﹣5i+7＝14﹣5i不是纯虚数，故C错误；z在复平面内对应的点的坐标为（7，﹣5），位于第四象限，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．三．填空题（共3小题）11．（2025•河西区校级模拟）若复数z满足zi3＝1﹣i，则z=1﹣i【考点】共轭复数；复数的除法运算．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】1﹣i．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：由zi3＝1﹣i，得z=1-ii3=故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12．（2025春•东西湖区校级期中）若2i﹣3是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则p+q＝38．【考点】复数的运算．【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】38．【分析】由题意，可得﹣3﹣2i是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一个根，再结合韦达定理，即可求解．【解答】解：∵2i﹣3是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，∴﹣3﹣2i是方程2x2+px+q＝0（p，q∈R）的另一个根，∴-3+2i-3-2i=-故p+q＝38．故答案为：38．【点评】本题考查了实系数方程虚根成对定理，考查了方程思想，属于基础题．13．（2025春•深圳校级期中）已知i为虚数单位，设m∈R，z＝m2﹣5m+6+（m2﹣4）i，若z为纯虚数，则m的值为3．【考点】纯虚数．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】3．【分析】由纯虚数的定义计算可得答案．【解答】解：由z＝m2﹣5m+6+（m2﹣4）i为纯虚数，得m2-5m+6=0故答案为：3．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．四．解答题（共2小题）14．（2025春•贵州期中）已知复数z＝1+bi（b∈R），且（2+2i）•z为纯虚数．（1）求复数z；（2）若复数z1=z2+i，求|z【考点】纯虚数；共轭复数；复数的模．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）z＝1+i；（2）|z1|=【分析】（1）化简得到（2+2i）•z＝2﹣2b+（2+2b）i，根据纯虚数，得到方程，求出b＝1，得到答案；（2）利用复数除法法则得到z1=3+【解答】解：（1）由z＝1+bi（b∈R），得（2+2i）•z＝（2+2i）（1+bi）＝2+2bi+2i+2bi2＝2﹣2b+（2+2b）i，因为（2+2i）•z为纯虚数，所以2-解得b＝1，故z＝1+i；（2）由（1）知z＝1+i，则z1故|z1|=【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．15．（2025春•湖北期中）已知z1=m2+1+1mi，z2=2m-4+1（1）求实数m的值．（2）求z1z2【考点】纯虚数；共轭复数；复数的除法运算．【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）1；（2）-11【分析】（1）根据纯虚数的定义求解；（2）根据共轭复数的定义，结合复数的运算法则求解．【解答】解：（1）因为z1=m2所以z1+z2＝m2+2m﹣3+（1m+1因为z1+z2是纯虚数，所以m2+2m-3=0即实数m的值为1；（2）由（1）知m＝1，则z1＝2+i，z2＝﹣2+1所以z2=-2所以z1z2=（2+i）（﹣2-1【点评】本题主要考查了纯虚数的定义，考查了复数的运算，属于基础题．

考点卡片1．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中2．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．3．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且4．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．5．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=6．复数的运算【知识点的认识】复数的加、减、乘、除运算法则7．复数的乘法及乘方运算【知识点的认识】﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示