2024-2025学年下学期高二数学人教A版期末必刷常考题之列联表与独立性检验

第31页（共31页）2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之列联表与独立性检验一．选择题（共7小题）1．（2025•金川区校级二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．下列结论正确的是（）附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n(ad-bc)2(aA．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关2．（2025春•辽宁期中）为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如表，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（）男女近视240200不近视m50A．40 B．60 C．100 D．2403．（2025•辽宁模拟）某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，统计数据如下：生活习惯合计良好不够良好患有该疾病居民0.6n1.4n2n未患有该疾病居民1.2n0.8n2n合计1.8n2.2n4n若根据小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（）附：χ2=n(ad-bc)2(aA．60 B．76 C．80 D．1004．（2025春•温州期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的16，没接种且发病的占没接种的13，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某χ2α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．385．（2025•辽宁二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：分数锻炼合计坚持锻炼不坚持锻炼分数≥60010080180分数＜6005070120合计150150300依据小概率值α＝m的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（）附：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.056．（2025•西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm7．（2025春•烟台期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值x0.01＝6.635，则下列说法正确的是（）A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•辽宁期中）统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如表所示．α＝P（χ2≥k）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2，则（）A．若χ2＝12.502，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关 B．若χ2＝11.483，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B无关 C．若χ2＝11.004，则有95%的把握认为A与B有关 D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b（多选）9．（2025春•天心区校级期中）下列结论中，正确的有（）A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79 C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（D）＝1﹣P（D|C），则C，D相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001（多选）10．（2025•内蒙古二模）下列结论正确的是（）A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则在犯错误不超过1%的前提下，认为X与Y相关 B．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48 C．掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A＝“第一次向上的点数是1”，事件B＝“两次向上的点数之和是7”，则事件A与事件B相互独立 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为ŷ=0.4x+a，若其中一个散点坐标为（﹣a，5.4），则a三．填空题（共3小题）11．（2025春•浦东新区校级期中）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2＝．（结果精确到0.001）室外工作室内工作总计有呼吸系统疾病150无呼吸系统疾病100总计20012．（2025•昆明模拟）某研究性学习小组针对“使用大绿书APP的用户是否存在性别差异”，向40n（n∈N*）个人进行调查．用Ω表示所有调查对象构成的集合．以Ω为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于Ω中的每一名学生，X=0，调查对象为女性是大绿书APP的用户（Y＝1）不是大绿书APP的用户（Y＝0）男性（X＝1）8n12n女性（X＝0）12n8n若根据α＝0.05的独立性检验认为P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），则n的最小值为.（参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a13．（2025•长宁区二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）四．解答题（共2小题）14．（2025•湖州模拟）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：年龄（岁）少年组（18及以下）青年组（19﹣35）中年组（36﹣60）老年组（61及以上）调查人数70803020少年组、青年组、中年组、老年组分别有27，12，（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；（2）小华记少年组与青年组为“A组”，记中年组和老年组为“B组”．请完成以下列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？观影次数年龄层次合计A组B组1次2次合计附表：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b15．（2025•景德镇校级模拟）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：品牌性别AB男性1530女性3025（1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌B的概率；（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879

2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之列联表与独立性检验参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BBCBDAD二．多选题（共3小题）题号8910答案ACDBCBC一．选择题（共7小题）1．（2025•金川区校级二模）某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20．下列结论正确的是（）附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2=n(ad-bc)2(aA．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 B．依据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 C．有99.9%的把握认为是否接受去外地长时间出差与性别有关 D．是否接受去外地长时间出差与性别无关【考点】独立性检验．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】求得卡方值，比对临界值，逐个判断即可．【解答】解：在男、女职工中各随机抽取了100人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为40和20，由题意，列出2×2列联表：接受不接受合计男4060100女2080100合计60140200零假设为H0：是否接受去外地长时间出差与性别相互独立，即是否接受去外地长时间出差与性别无关，所以χ2根据小概率值α＝0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为是否接受去外地长时间出差与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.005．故选：B．【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．2．（2025春•辽宁期中）为了了解性别与视力之间的关系，一个调查机构得到2×2列联表如表，则当m取下面何值时，性别与视力无关的可能性最大（）男女近视240200不近视m50A．40 B．60 C．100 D．240【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，则240×50＝200m，进而求出m的值．【解答】解：依题意，要使性别与视力无关的可能性最大，则240×50＝200m，解得m＝60．故选：B．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．3．（2025•辽宁模拟）某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯（生活习惯分良好和不够良好）的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，统计数据如下：生活习惯合计良好不够良好患有该疾病居民0.6n1.4n2n未患有该疾病居民1.2n0.8n2n合计1.8n2.2n4n若根据小概率值α＝0.01（x0.01＝6.635）的独立性检验，分析发现居民是否患有该疾病与生活习惯有关联，则从该地区抽取居民人数至少为（）附：χ2=n(ad-bc)2(aA．60 B．76 C．80 D．100【考点】独立性检验．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】由卡方的计算结合题意可得．【解答】解：某医疗研究机构为了解某种地方性疾病与当地居民的生活习惯的关系，现从该地区随机抽取4n（n∈N*）名居民，根据题意，χ2又n∈N*，所以n≥19，且0.6n，1.4n，1.2n，0.8n均为整数，所以n的最小值为20，则从该地区抽取居民人数至少为80．故选：C．【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．4．（2025春•温州期中）为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的16，没接种且发病的占没接种的13，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某χ2α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8415.6357.87910.828A．35 B．36 C．37 D．38【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表，计算χ2的值，令χ2＞3.841求出k的取值范围即可．【解答】解：设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下：发病没发病合计接种k35k2k没接种k32kk合计2k7k3k则χ2的观测值χ2=3因为本次测查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论，于是χ2＞3.841，即χ2=3k即3k＞3.841×28，解得k＞35.85，所以kmin＝36．故选：B．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．5．（2025•辽宁二模）某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：分数锻炼合计坚持锻炼不坚持锻炼分数≥60010080180分数＜6005070120合计150150300依据小概率值α＝m的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是（）附：χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A．0.001 B．0.005 C．0.01 D．0.05【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】计算χ2的值，再与临界值比较即可．【解答】解：零假设H0：高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼无关，由题意可知，χ2=300×(100×70-80×50)因为3.841＜5.556＜6.635，因为依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关．故选：D．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．6．（2025•西城区二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小…”．他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…．已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm【考点】实际推断原理和假设检验；归纳推理．【专题】对应思想；归纳法；推理和证明；逻辑思维．【答案】A【分析】由复印纸的拼接关系以及长与宽比值不变的特点，代入计算，即可得到结果．【解答】解：A4纸的宽为210mm，设其长为xmm，若两张A4纸的宽拼在一起，则A3纸的宽为210mm，长为2xmm，且210x若两张A4纸的长拼在一起，即A3纸的宽为xmm，长为420mm，A2纸的宽为420mm，长为2xmm，A1纸的宽为2xmm，长为840mm，由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，可得210x=x420，解得x≈297，则2所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm．故选：A．【点评】本题考查利用归纳推理求解实际问题，属中档题．7．（2025春•烟台期中）根据吸烟与患肺癌这两个分类变量的样本数据，计算得出χ2≈6.816，经查阅χ2独立性检验的小概率值和相应的临界值x0.01＝6.635，则下列说法正确的是（）A．在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌 B．若某人吸烟，那么他有99%的可能患肺癌 C．若某人患肺癌，那么他有99%的可能为吸烟者 D．吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%【考点】独立性检验．【专题】函数思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据独立性检验的性质求解．【解答】解：因为计算得出χ2≈6.816＞6.635，所以吸烟与患肺癌有关联，此推断犯错误的概率不大于1%，即有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关联，但是并不是在100个吸烟的人中就会有99人患肺癌．故选：D．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025春•辽宁期中）统计学中，常用的显著性水平α以及对应的分位数k如表所示．α＝P（χ2≥k）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828在检验A与B是否有关的过程中，根据已知数据计算得χ2，则（）A．若χ2＝12.502，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关 B．若χ2＝11.483，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B无关 C．若χ2＝11.004，则有95%的把握认为A与B有关 D．若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】根据独立性检验的性质判断．【解答】解：对于A，若χ2＝12.502＞10.828，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故A正确；对于B，若χ2＝11.483＞10.828，则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为A与B有关，故A错误；对于C，若χ2＝11.004＞3.841，则有95%的把握认为A与B有关，故C正确；对于D，若P（χ2＜6）＝a，P（χ2＜7）＝b，则a≤b，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．（多选）9．（2025春•天心区校级期中）下列结论中，正确的有（）A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5 B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79 C．若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（D）＝1﹣P（D|C），则C，D相互独立 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001【考点】独立性检验；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；百分位数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】根据百分位数的定义可判断A，根据正态分布曲线的对称性可判断B，根据条件概率公式，以及独立事件的定义可判断C，根据独立性检验的性质可判断D．【解答】解：对于A，数据4，1，6，2，9，5，8从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，9，因为7×70%＝4.9，所以数据的第70百分位数为6，故A错误；对于B，若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤﹣2）＝P（ξ≥4）＝0.21，所以P（ξ≤4）＝1﹣0.21＝0.79，故B正确；对于C，若0＜P（C）＜1，0＜P（D）＜1，且P（D）＝1﹣P（D|C），则1﹣P（D）＝1-P所以P（C）﹣P（C）P（D）＝P（C）﹣P（DC），所以P（DC）＝P（C）P（D），所以C，D相互独立，故C正确；对于D，因为χ2＝9.632＜10.828，所以依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y没有关联，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了百分位数的定义，考查了正态分布曲线的对称性，以及独立性检验的性质，属于基础题．（多选）10．（2025•内蒙古二模）下列结论正确的是（）A．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2＝4.245，已知P（χ2≥6.635）＝0.01，则在犯错误不超过1%的前提下，认为X与Y相关 B．已知随机变量X～B（n，p），若E（X）＝36，D（X）＝9，则n＝48 C．掷一枚质地均匀的骰子两次．事件A＝“第一次向上的点数是1”，事件B＝“两次向上的点数之和是7”，则事件A与事件B相互独立 D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为ŷ=0.4x+a，若其中一个散点坐标为（﹣a，5.4），则a【考点】独立性检验；样本相关系数；经验回归方程与经验回归直线．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BC【分析】根据独立性检验的性质可判断A，根据二项分布的期望公式和方差公式可判断B，根据独立事件的定义可判断C，根据回归直线的性质可判断D．【解答】解：对于A，因为P（χ2≥6.635）＝0.01，而χ2＝4.245＜6.635，所以认为X与Y独立，故A错误；对于B，由题意可知，E(X)=np=36对于C，由题意可知，P（A）=1×66×6=16，P（B）=66×6所以P（AB）＝P（A）P（B），所以事件A与事件B相互独立，故C正确；对于D，散点图中的散点不一定在回归直线方程上，故D错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了二项分布的期望公式和方差公式，以及独立事件的定义，属于基础题．三．填空题（共3小题）11．（2025春•浦东新区校级期中）随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了的严重的影响．现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康状况，得到2×2列联表如下，则χ2＝3.968．（结果精确到0.001）室外工作室内工作总计有呼吸系统疾病150无呼吸系统疾病100总计200【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】3.968．【分析】由题意，根据2×2列联表中所给数据补全列表，将数据代入公式得χ2【解答】解：根据题意，补全列联表：室外工作室内工作总计有呼吸系统疾病150200350无呼吸系统疾病50100150总计200300500则χ2故答案为：3.968．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．12．（2025•昆明模拟）某研究性学习小组针对“使用大绿书APP的用户是否存在性别差异”，向40n（n∈N*）个人进行调查．用Ω表示所有调查对象构成的集合．以Ω为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量X和Y如下：对于Ω中的每一名学生，X=0，调查对象为女性是大绿书APP的用户（Y＝1）不是大绿书APP的用户（Y＝0）男性（X＝1）8n12n女性（X＝0）12n8n若根据α＝0.05的独立性检验认为P（Y＝1|X＝0）＞P（Y＝1|X＝1）（其中x0.05＝3.841），则n的最小值为3.（参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a【考点】独立性检验．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】3．【分析】根据题意，由χ2的公式代入计算，列出不等式，即可得到结果．【解答】解：根据题意可知，χ2即n＞3.841×58故答案为：3．【点评】本题考查了独立性检验，属于基础题．13．（2025•长宁区二模）为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量χ2≈3.468，则可推断拒绝原假设H0．（填“拒绝”或“接受”，规定显著性水平α＝0.1，P（χ2≥2.706）≈0.1．）【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】拒绝．【分析】根据独立性检验的性质求解．【解答】解：由题意可知，χ2≈3.468＞2.707，所以可推断拒绝原假设H0．故答案为：拒绝．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．四．解答题（共2小题）14．（2025•湖州模拟）中国春节档电影《哪吒之魔童闹海》票房突破百亿，是中国第一部冲入全球影史票房前5的作品．同学小华在某影院用简单随机抽样的方法调查了200位观影人观看该电影的次数，并对他们的观影次数作出统计，具体如下：年龄（岁）少年组（18及以下）青年组（19﹣35）中年组（36﹣60）老年组（61及以上）调查人数70803020少年组、青年组、中年组、老年组分别有27，12，（1）求这200位观众观看该电影的平均次数；（2）小华记少年组与青年组为“A组”，记中年组和老年组为“B组”．请完成以下列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观影次数与年龄层次有关联？观影次数年龄层次合计A组B组1次2次合计附表：α0.10.050.01xα2.7063.8416.635参考公式：χ2=n(ad-bc)2(a+b【考点】独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）1.36；（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为观影次数与年龄层次有关联．【分析】（1）根据平均数定义可解；（2）根据独立性检验相关知识可解．【解答】解：（1）已知少年组、青年组、中年组、老年组分别有27，12，则少年组看了2次有70×27=20人，看了青年组看了2次有80×12=40人，看了中年组看了2次有30×415=8人，看了老年组看了2次有20×15=4人，看了平均次数为20×2+50+40×2+40+8×2+22+4×2+16200=（2）根据题意可得：观影次数年龄层次合计A组B组1次90381282次601272合计15050200由列联表可得χ2=200×(90×12-38×60)2128×72×150×50故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为观影次数与年龄层次有关联．【点评】本题考查平均数以及独立性检验相关知识，属于中档题．15．（2025•景德镇校级模拟）某商店为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，同时记录了他们的性别，得到如下所示的列联表：品牌性别AB男性1530女性3025（1）根据上表，用频率估计概率，求女性消费者偏好品牌B的概率；（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断消费者对该产品品牌的偏好是否与性别有关联．附：χ2=n(ad-bc)2(aα0.1000.0500.0100.005xα2.7063.8416.6357.879【考点】独立性检验．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）511（2）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联．【分析】（1）根据表格数据，应用古典概型的概率求法求概率即可；（2）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想得结论．【解答】解：已知为了解消费者对某产品不同品牌（A，B）的偏好是否与他们的性别有关，随机调查收集了100名消费者对该产品这两个品牌的偏好数据，（1）由表格数据知，女性消费者偏好品牌B的概率P=（2）列联表如下，品牌性别AB男性153045女性3025554555100由题设，χ2所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，消费者对该产品品牌的偏好与性别有关联．【点评】本题考查独立性检验相关知识，属于中档题．

考点卡片1．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．2．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型4：正态分布的应用典例1：2011年中国汽车销售量达到1700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1200×0.15＝180辆．点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有x1+典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，19），问在一次正常的试验中，取1000个零件时，不属于区间（3，5]解∵X～N（4，19），∴μ＝4，σ=∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．3．百分位数【知识点的认识】百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0，1），总体的p分位数有这样的特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p．四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是14【解题方法点拨】一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100﹣p）%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下：①按从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数．【命题方向】理解连续变量的百分位数的统计含义，考察百分位数的计算，学会用样本估计总体的百分位数．4．样本相关系数【知识点的认识】1、概念：相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度．于是，著名统计学家卡尔•皮尔逊设计了统计指标﹣﹣相关系数．相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数．2、相关系数用r表示，计算公式为其中：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．3、残差：相关指数R2用来刻画回归的效果，其计算公式是在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方．显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好．【解题方法点拨】建立回归模型的基本步骤：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个是预报变量；（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程：ŷ=b（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；（5）得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适当．当回归方程不是形如：ŷ=b5．经验回归方程与经验回归直线【知识点的认识】线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析．变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点将散布在某一直线周围．因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数．【解题方法点拨】例：对于线性回归方程ŷ=1.5解：x=1+7+5+13+195所以y=1.5×9+45=13.5+45=58.5故答案为：58.5．方法就是根据线性回归直线必过样本中心（x，y），求出x，代入即可求y．这里面可以看出线性规划这类题解【命题方向】这类题记住公式就可以了，也是高考中一个比较重要的点．6．独立性检验【知识点的认识】1、分类变量：如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．其中n＝a+b+c+d（考试给出）3、2×2列联表：4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．5、解题步骤：（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2