2024-2025学年下学期高二数学人教A版期末必刷常考题之离散型随机变量及其分布列

第24页（共24页）2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之离散型随机变量及其分布列一．选择题（共7小题）1．（2025•金川区校级二模）已知随机变量X的分布列如下：X123Pm2﹣2m120.4则数学期望E（X）＝（）A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．22．（2025春•天津校级期中）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（）A．27 B．13 C．14 3．（2025春•辽宁期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（）X0123Pa135a16A．712 B．512 C．56 4．（2025春•九龙坡区校级期中）设离散型随机变量X的分布列如下表所示．若随机变量Y＝|X|，则P（Y＝2）＝（）X﹣2012P0.10.40.20.3A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.65．（2025•山东校级一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（）A．116 B．532 C．564 6．（2025春•滨海新区校级期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.7，设Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（）A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.37．（2025春•沧州期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（）A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025•西安模拟）已知min{x1，x2，⋯，xn}表示x1，x2，⋯，xn中最小的数，max{x1，x2，⋯，xn}表示x1，x2，⋯，xn中最大的数．若数列{an}，{bn}都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，则（）A．X的值可能为4，5，6，7 B．Y的值可能为3，4，5，6 C．X≥6的概率为67D．X＞Y的概率为1216（多选）9．（2025春•浙江期中）下列说法中错误的有（）A．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱 B．决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好 C．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，则E（3X+2）＝3，D（3D．随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，则P（X≤1）＝0.3（多选）10．（2025春•滨湖区校级期中）已知随机变量X的分布列为P(X=A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1 B．a=C．P(0D．P三．填空题（共3小题）11．（2025春•南岸区期中）随机变量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m则P（X≤2）＝．12．（2025春•浙江期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用Y表示编号与盒子编号相同的小球数，则Y的分布列为．13．（2025春•溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝．四．解答题（共2小题）14．（2025春•青岛期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．（1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率；（2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数ξ的分布列；（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率．15．（2025春•石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为35和25，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列；（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．

2024-2025学年下学期高二数学人教A版（2019）期末必刷常考题之离散型随机变量及其分布列参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案DAABDAC二．多选题（共3小题）题号8910答案ACDACABC一．选择题（共7小题）1．（2025•金川区校级二模）已知随机变量X的分布列如下：X123Pm2﹣2m120.4则数学期望E（X）＝（）A．0.8 B．1.4 C．2m﹣3 D．2【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据概率之和为1得到方程，求出m2﹣2m＝0.4，利用期望公式得到答案．【解答】解：已知P（X＝1）＝m2﹣2m，P（X＝2）=12m2-m，P（由题意，m2-2m+12m2所以E(故选：D．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望相关知识，属于中档题．2．（2025春•天津校级期中）已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），则P（X＝2）＝（）A．27 B．13 C．14 【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】利用分布列的性质求出a，进而可得出答案．【解答】解：已知随机变量X的分布规律为P（X＝i）＝ai2（i＝1，2，3），根据随机变量分布列的性质可知概率和为1，则P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝3）＝a+4a+9a＝1，解得a=所以P(故选：A．【点评】本题考查了离散型随机变量分布列的性质，属于中档题．3．（2025春•辽宁期中）已知离散型随机变量X的分布列如下表：若离散型随机变量Y＝2X+1，则P（Y≥5）＝（）X0123Pa135a16A．712 B．512 C．56 【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的均值（数学期望）．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】由分布列中各概率之和为1求得参数a，进一步将所求变形为P（Y≥5）＝P（X＝2）+P（X＝3）即可求解．【解答】解：由题意a+13而P(故选：A．【点评】本题考查离散型随机事件概率分布列等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（2025春•九龙坡区校级期中）设离散型随机变量X的分布列如下表所示．若随机变量Y＝|X|，则P（Y＝2）＝（）X﹣2012P0.10.40.20.3A．0.7 B．0.4 C．0.3 D．0.6【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据给定的条件，利用分布列的性质求解．【解答】解：根据题意，随机变量Y＝|X|，则P（Y＝2）＝P（X＝﹣2）+P（X＝2）＝0.1+0.3＝0.4．故选：B．【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的性质，属于基础题．5．（2025•山东校级一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1～6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌X次，则P（X＝4）＝（）A．116 B．532 C．564 【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论．【解答】解：甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率p1若甲胜，则结果有（2，1）、（3，2）、（4，1）、（4，3）、（5，2）、（5，4）、（6，1）、（6，3）、（6，5），共9种，所以甲胜的概率为p2=96×6=各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为(1若平局2次，则最后1次不能是平局，另外2次甲全胜或乙全胜，概率为C3若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为C2所以P(故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．6．（2025春•滨海新区校级期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.7，设Y＝2X﹣1，那么D（Y）的值是（）A．0.84 B．0.7 C．0.4 D．0.3【考点】两点分布（0﹣1分布）．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解．【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，所以D（X）＝0.7×（1﹣0.7）＝0.21，又Y＝2X﹣1，所以D（Y）＝D（2X﹣1）＝22D（X）＝4×0.21＝0.84．故选：A．【点评】本题主要考查了两点分布的期望公式，考查了期望的性质，属于基础题．7．（2025春•沧州期中）篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从3分投篮区域投篮命中计3分，没有命中得0分．已知某篮球运动员三分球命中的概率为0.4，设其投三分球一次的得分为X，则D（X）＝（）A．1.2 B．2.4 C．2.16 D．2.52【考点】两点分布（0﹣1分布）．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】根据已知条件，结合期望、方差公式，即可求解．【解答】解：得分X的期望E（X）＝3×0.4＝1.2，E（X2）＝32×0.4＝3.6，故D（X）＝E（X2）﹣[（EX）]2＝3.6﹣1.44＝2.16．故选：C．【点评】本题主要考查期望、方差的应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2025•西安模拟）已知min{x1，x2，⋯，xn}表示x1，x2，⋯，xn中最小的数，max{x1，x2，⋯，xn}表示x1，x2，⋯，xn中最大的数．若数列{an}，{bn}都只有8项，且都是由数字1，2，3，4，5，6，7，8随机排列而成的（每个数字都出现，但不重复出现），记X＝min{max{a1，a2，a3，a4}，max{a5，a6，a7，a8}，Y＝max{min{b1，b2，b3，b4}，min{b5，b6，b7，b8}}，则（）A．X的值可能为4，5，6，7 B．Y的值可能为3，4，5，6 C．X≥6的概率为67D．X＞Y的概率为1216【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】先确定满足条件的X，Y的个数，再结合定义确定X的可能取值，确定取各值的方法数，由此可得X取各值的概率，再求Y的值及取各值的概率，结合概率加法和乘法公式求结论．【解答】解：将1，2，3，4，5，6，7，8平均分成2组，有C8对于A，C，X的值可能为4，5，6，7，故A正确；不妨设max{a1，a2，a3，a4}＜max{a5，a6，a7，a8}，若a1，a2，a3，a4中的最大值为4，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有1种情况，此时X＝4，若a1，a2，a3，a4中的最大值为5，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有C43=4种情况，此时X若a1，a2，a3，a4中的最大值为6，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有C53=10种情况，此时X若a1，a2，a3，a4中的最大值为7，则a5，a6，a7，a8中的最大值为8，有C63=20种情况，此时X所以P(X=4)=135，PP（X≥6）＝P（X＝6）+P（X＝7）=67，故对于B，D，Y的值可能为2，3，4，5，故B错误；不妨设min{b1，b2，b3，b4}＞min{b5，b6，b7，b8}，若b1，b2，b3，b4中的最小值为5，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有1种情况，此时Y＝5，若b1，b2，b3，b4中的最小值为4，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有C43=4种情况，此时Y若b1，b2，b3，b4中的最小值为3，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有C53=10种情况，此时Y若b1，b2，b3，b4中的最小值为2，则b5，b6，b7，b8中的最小值为1，有C63=20种情况，此时Y所以P(Y=5)=135，PP（X＞Y）＝P（X＝4）•[P（Y＝3）+P（Y＝2）]+P（X＝5）•[P（Y＝4）+P（Y＝3）+P（Y＝2）]+P(X故选：ACD．【点评】本题考查了古典概型及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．（多选）9．（2025春•浙江期中）下列说法中错误的有（）A．相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱 B．决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好 C．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=23，则E（3X+2）＝3，D（3D．随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，则P（X≤1）＝0.3【考点】两点分布（0﹣1分布）；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】AC【分析】根据相关系数的概念即可判断A；根据决定系数的概念判断B；根据两点分布的均值与方差公式及均值与方差的性质即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D．【解答】解：对于选项A：|r|值越小，表明两个变量相关性越弱，故A错误；对于选项B，决定系数R2越接近1，表明模型的拟合效果越好，故B正确；对于选项C，若随机变量X服从两点分布，其中P(则P（X＝1）＝1﹣P（X＝0）＝1-2所以E(X)=所以E(3X+2)=3×1对于选项D，随机变量X～N（3，σ2），若P（X≤5）＝0.7，则P（X≤1）＝P（X≥5）＝1﹣0.7＝0.3，故D正确．故选：AC．【点评】本题主要考查了相关系数的性质，考查了期望和方差的性质，以及正态分布曲线的对称性，属于基础题．（多选）10．（2025春•滨湖区校级期中）已知随机变量X的分布列为P(X=A．P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝1 B．a=C．P(0D．P【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ABC【分析】根据分布列的性质，列出方程求得a=【解答】解：因为X的分布列为P(所以P(解得a=则P（X＝1）=29，P（0≤X＜2）故选：ABC．【点评】本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质，属于基础题．三．填空题（共3小题）11．（2025春•南岸区期中）随机变量X的分布列如表所示：X1234P0.1m0.32m则P（X≤2）＝0.3．【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.3．【分析】根据题意，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答．【解答】解：根据题意，由分布列的性质得，0.1+m+0.3+2m＝1，解得m＝0.2，所以P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.1+0.2＝0.3．故答案为：0.3．【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题．12．（2025春•浙江期中）将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个小盒只能装一个小球，用Y表示编号与盒子编号相同的小球数，则Y的分布列为Y0124P381314124【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】对应思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】Y0124P381314124【分析】由题意，得到Y的所有可能取值和相对应的概率，进而可解．【解答】解：易知Y的所有可能取值取值为0，1，2，3，4，若Y＝4，此时所有小球与盒子编号相同，共有一种排列方式，所以P(若Y＝3，此时有3个小球与盒子编号相同，显然最后一组编号必相同，所以Y的所有可能取值不包括3；若Y＝2，此时有2个小球与盒子编号相同，显然剩余两组编号必然不同，所以P(若Y＝1，此时有1个小球与盒子编号相同，剩余三组编号共有两种排列方式，所以P(若Y＝0，此时没有小球与盒子编号相同，因为P（Y＝0）+P（Y＝1）+P（Y＝2）+P（Y＝4）＝1，所以P(则Y的分布列为：Y0124P381314124故答案为：Y0124P381314124【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．13．（2025春•溧阳市期中）已知随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，设Y＝2X﹣1，那么P（Y＝﹣1）＝0.7．【考点】两点分布（0﹣1分布）．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】0.7．【分析】结合两点分布的定义即可得答案．【解答】解：因为随机变量X服从两点分布，且P（X＝1）＝0.3，所以P（X＝0）＝0.7，因为Y＝2X﹣1，所以P（Y＝﹣1）＝P（X＝0）＝0.7．故答案为：0.7．【点评】本题主要考查两点分布的应用，属于基础题．四．解答题（共2小题）14．（2025春•青岛期中）甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．（1）从甲箱中随机摸出3个球，求这3个球中恰有2个红球的概率；（2）先从甲箱中随机摸出1个球，再从乙箱中随机摸出1个球，求这两次摸出的球中红球个数ξ的分布列；（3）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球，求摸到红球的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）512；（2）分布列见解答；（3）7【分析】（1）结合组合数知识及古典概型的概率公式求解即可；（2）由题意可得ξ的所有取值为0，1，2，进而求解即可．；（3）分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可．【解答】解：（1）由题意，这3个球中恰有2个红球的概率为C5（2）由题意，ξ的所有取值为0，1，2，则P(P(P(则ξ的分布列为：ξ012P1101225（3）从甲箱中摸红球：掷到点数为1或2的概率为26=1故从甲箱中摸到红球的概率为P1从乙箱中摸红球：掷到点数为3，4，5，6的概率为46=2故从乙箱中摸到红球的概率为P2综上所述：摸到红球的概率为：16【点评】本题考查古典概型的概率求解，分布列的求法，计数原理的应用，属于中档题．15．（2025春•石家庄期中）我校高二年级组织“风华杯”篮球比赛，甲、乙两班进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为35和25，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为（1）求甲班第二场比赛获胜的概率；（2）用X表示比赛结束时比赛场数，求X的分布列；（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，求甲班比赛获胜的概率．【考点】离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）1120（2）分布列见解析；（3）56125【分析】（1）根据全概率公式，即可求解；（2）由题意可得X＝2，3，从而再根据对立事件的概率与独立事件的概率公式，即可求解X的分布列；（3）根据对立事件与独立事件的概率公式，条件概率公式，即可求解．【解答】解：（1）先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛，在规则允许的情况下，甲班球员M都会参赛，他上场与不上场甲班一场比赛获胜的概率分别为35和25，且球员M每场比赛犯规4次以上的概率为设Ai为“第i场甲队获胜”，Bi为“球员M第i场上场比赛”，i＝1，2，3，根据全概率公式可得P(（2）由题意可得X＝2，3，又P(A1)=3∴P(A1∴P(∴P(所以X的分布列为：X23P5110049100（3）已知球员M在第一场比赛中犯规4次以上，∵p(B2∴甲班比赛获胜的概率为：P(【点评】本题考查了全概率公式和离散型随机变量的分布列，属于中档题．

考点卡片1．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．离散型随机变量及其分布列【知识点的认识】1、相关概念；（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．2、离散型随机变量（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．3、离散型随机变量的分布列．（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．3．离散型随机变量的均值（数学期望）【知识点的认识】1、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．4．两点分布（0-1分布）【知识点的认识】﹣0﹣1分布：也称为伯努利分布，只有两个可能取值（0或1），用于描述事件发生的概率．【解题方法点拨】﹣计算0﹣1分布的期望和方差时，使用伯努利分布的性质和公式．【命题方向】﹣主要考察0﹣1分布的性质和应用问题．5．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=12πσe-(x-μ)22σ2，x∈（﹣∞，+∞），其中实数（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为12πσ，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂2．正态分布（1）正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=abφμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质正态曲线φμ，σ（x）=12πσe（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值12（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．【命题方向】题型一：概率密度曲线基础考察典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=18πA．10与8B．10与2C．8与10D．2与10解析：由18πe-(x-10)答案：B．典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣12P（2≤X≤4）＝0.5-12×0.6826＝题型二：正态曲线的性质典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由12πσ=1φμ，σ（x）=142πe-（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．典例2：设两个正态分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ=12×（0.9544＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ=12×（1﹣0.9544求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例2：随机变量ξ服从正