2024-2025学年下学期高一数学北师大版期末必刷常考题之复数的三角表示

第19页（共19页）2024-2025学年下学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之复数的三角表示一．选择题（共7小题）1．（2024春•官渡区校级月考）已知复数z满足2i•z＝1﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．12 B．22 C．2 D2．（2024秋•江苏月考）已知复数z满足z3=1+3A．1+33i BC．1+63i 3．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）复数z＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：(-12+32i)3=(cos2π3+isin2π3)A．2(B．2(C．62D．64．（2024春•田家庵区校级期中）复数-1A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60° C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°5．（2023春•浙江期中）任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量OZ→=(a，b)所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θA．4π3 B．2π3 C．π6．（2023春•鼓楼区校级期中）复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转π4A．2 B．2i C．1 D．7．（2023•天河区校级开学）复数z=4iA．π4 B．7π4 C．3π二．多选题（共3小题）（多选）8．（2024春•弥勒市校级期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）A．复数eiπB．复数ei3对应的点位于第二象限 C．复数eiπ3D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆（多选）9．（2024•凌河区校级模拟）已知复数z满足|z|＝1且z=i•z，则zA．cosπ4-isin3C．cos34π+（多选）10．（2024春•尚义县校级月考）任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．当r＝1，θ=π3时，复数zB．当r＝2，θ=2π3时，zC．当r＝1，θ=2πD．|三．填空题（共3小题）11．（2022春•沙坪坝区校级月考）复数12+32i的三角形式是12．（2022春•闵行区校级期末）将复数化为三角形式：12-12i13．（2022秋•宝山区校级月考）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则arg（a+bi）＝．（用反三角形式书写）四．解答题（共2小题）14．（2024春•博望区校级期中）已知：①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；（1）求证：r1（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（2）设ω=-12（3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合．15．（2024春•浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．（1）若z=32-i（2）若z≠±i，复数ω满足ω+iω（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数z-z1z-

2024-2025学年下学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之复数的三角表示参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案BDDDBAB二．多选题（共3小题）题号8910答案ABDACBCD一．选择题（共7小题）1．（2024春•官渡区校级月考）已知复数z满足2i•z＝1﹣i，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．12 B．22 C．2 D【考点】复数的三角表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】由向量的四则运算以及模的运算公式求解即可．【解答】解：因为z=所以|z故选：B．【点评】本题考查了向量的四则运算以及模的运算公式的应用，属于基础题．2．（2024秋•江苏月考）已知复数z满足z3=1+3A．1+33i BC．1+63i 【考点】复数的代数形式与三角形式互化．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】设z＝rcosθ+risinθ（r＞0，θ∈[0，2π）），根据复数的三角形式计算可得答案．【解答】解：设z＝rcosθ+risinθ（r＞0，θ∈[0，2π）），所以z3可得r3两式相除可得tan3θ=即θ=因为θ∈[0，2π），所以θ=当θ=π9时，则r3sin(3×π9)=3，即r解得r=32，此时z=32（cos当θ=4π9时，则r3sin(3×4π9)=3，即当θ=7π9时，则r3sin(3×7π9)=解得r=32，此时z=32（cos当θ=10π9时，则r3sin(3×10π9)=3，即当θ=13π9时，则r3sin(3×13π9)=解得r=32，此时z=32（cos当θ=16π9时，则r3sin(3×16π9)=3，即故选：D．【点评】本题考查了复数的代数形式与三角形式的互化，考查了运算能力，是基础题．3．（2024•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三模）复数z＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）在复平面内对应点为Z，设r＝|OZ|，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosθ+isinθ）（n∈N*），例如：(-12+32i)3=(cos2π3+isin2π3)A．2(B．2(C．62D．6【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．【专题】综合法；数系的扩充和复数；能力层次；运算求解．【答案】D【分析】结合已知运算法则检验各选项即可判断．【解答】解：因为z3＝1+i=2（2结合选项可知，A，B显然错误；若z=62（cos5π4+isin5π4），则z3=2（cos15π4若z=62（cos17π12+isin17π12），则z3=2（cos17π4故选：D．【点评】本题主要考查了复数复数的四则运算，属于基础题．4．（2024春•田家庵区校级期中）复数-1A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60° C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°【考点】复数的代数形式与三角形式互化．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】利用复数的三角形式即可得解．【解答】解：令z=则r＝|z|＝1，所以cosθ=因为0°≤θ＜360°，所以θ＝120°，-12+32i的三角形式是故选：D．【点评】本题考查复数的三角形式，属于基础题．5．（2023春•浙江期中）任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R）都可以表示成z＝r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模：θ是以x轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量OZ→=(a，b)所在射线为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角．我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θA．4π3 B．2π3 C．π【考点】复数的辐角和辐角主值．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】由题意求出复数﹣1+3i【解答】解：由题意可得|﹣1+3i|=(-1则﹣1+3i＝2（-12+32所以arg（﹣1+3i）=故选：B．【点评】本题考查了复数的三角表示，涉及到三角函数的性质，属于基础题．6．（2023春•鼓楼区校级期中）复数z＝1﹣i，将复数z的对应向量按逆时针方向旋转π4A．2 B．2i C．1 D．【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】化简z＝1﹣i=2（cos（-π4）+isin（-π4）），从而由可得新复数为2（cos（-π4+π【解答】解：z＝1﹣i=2（cos（-π4）+isin将复数z的对应向量按逆时针方向旋转π42（cos（-π4+π4）+isin故选：A．【点评】本题考查了复数的代数形式与三角形式的转化，属于基础题．7．（2023•天河区校级开学）复数z=4iA．π4 B．7π4 C．3π【考点】复数的辐角和辐角主值．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】先对z化简，再结合共轭复数的定义，以及复数辐角主值的定义，即可求解．【解答】解：z=故z=2-2故z的辐角主值为7π故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．二．多选题（共3小题）（多选）8．（2024春•弥勒市校级期中）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix＝cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（e为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）A．复数eiπB．复数ei3对应的点位于第二象限 C．复数eiπ3D．复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半圆【考点】复数的三角表示．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】根据给定的公式，结合复数的相关概念逐项分析判断即得．【解答】解：对于A，eiπ2=cos对于B，ei3＝cos3+isin3，而π2＜3＜π，即cos3＜0，sin3＞0，则复数e对于C，eiπ3=cosπ3对于D，eiθ＝cosθ+isinθ，|eiθ|＝|cosθ+isinθ|＝1，复数eiθ（θ∈[0，π]）在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，D正确．故选：ABD．【点评】本题主要考查复数的指数形式，属于基础题．（多选）9．（2024•凌河区校级模拟）已知复数z满足|z|＝1且z=i•z，则zA．cosπ4-isin3C．cos34π+【考点】复数的代数形式与三角形式互化；共轭复数；复数的除法运算．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的概念与运算以及复数的乘法运算依次判断选项即可．【解答】解：对于A：若z=cosπ∴|z|=(22对于B：若z=cos3|z|=(-22对于C：若z=cos3|z|=(-22对于D：若z=cosπ|z|=(22故选：AC．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．（多选）10．（2024春•尚义县校级月考）任何一个复数z＝a+bi（其中a，b∈R）都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式．法国数学家棣莫弗发现：zn＝[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ）（n∈N*），我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（）A．当r＝1，θ=π3时，复数zB．当r＝2，θ=2π3时，zC．当r＝1，θ=2πD．|【考点】复数乘、除运算的三角表示及其几何意义；纯虚数；共轭复数；复数的乘法及乘方运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BCD【分析】用给定的定理，结合纯虚数、共轭复数及复数乘法依次判断即得．【解答】解：对于A，z3＝cosπ+isinπ＝﹣1，z3为实数，故A错误；对于B，z=2(cos2π3+isin2π3)，z3＝8（对于C，z=cos2π3对于D，z＝r（cosθ+isinθ），则z⋅z=故选：BCD．【点评】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．三．填空题（共3小题）11．（2022春•沙坪坝区校级月考）复数12+32i的三角形式是cosπ3【考点】复数的代数形式与三角形式互化．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】cosπ3+isin【分析】直接化复数的代数形式为三角形式即可．【解答】解：复数12+32i=故答案为：cosπ3+isin【点评】本题考查复数代数形式与三角形式的互化，是基础题．12．（2022春•闵行区校级期末）将复数化为三角形式：12-12i【考点】复数的代数形式与三角形式互化．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】22【分析】根据复数的三角表示的定义计算即可．【解答】解：复数12-1设θ为复数的辐角主值，θ∈[0，2π），又cos7所以12故答案为：22【点评】本题主要考查复数的三角表示，考查转化能力，属于中档题．13．（2022秋•宝山区校级月考）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则arg（a+bi）＝π﹣arctan3．（用反三角形式书写）【考点】复数的辐角和辐角主值．【专题】计算题；对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】π﹣arctan3【分析】首先根据题意得到a＝﹣1，b＝3，从而得到幅角的正切值为﹣3，再求arg（﹣1+3i）即可．【解答】解：因为a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，所以a＝﹣1，b＝3．所以arg（a+bi）＝arg（﹣1+3i），幅角的正切值为﹣3，（﹣1，3）在第二象限，因为arg(-1+3i)∈(π2，故答案为：π﹣arctan3．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．四．解答题（共2小题）14．（2024春•博望区校级期中）已知：①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ→所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；（1）求证：r1（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（2）设ω=-12（3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合．【考点】复数的三角表示．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）证明见解析；（2）-1（3）{1，【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明；（2）根据题意，将复数ω化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果．【解答】（1）证明：r1（cosθ1+isinθ1）•r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cosθ1cosθ2﹣sinθ1sinθ2+（cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）i]＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；（2）ω=则ω2024（3）设x＝cosθ+isinθ，则x6＝（cosθ+isinθ）6＝cos6θ+isin6θ＝1，因此sin6θ＝0，cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，解得θ=取k＝0，1，2，3，4，5，则对应的θ依次为0，因此对应的x依次为1，可得所求的集合是{1，【点评】本题考查复数的三角表示，考查运算求解能力，是基础题．15．（2024春•浦东新区校级月考）已知i为虚数单位，复数z满足|z|＝1．（1）若z=32-i（2）若z≠±i，复数ω满足ω+iω-（3）已知复平面上点A，B对应的复数分别为z1＝2，z2＝﹣3．记复数z-z1z-【考点】复数的代数形式与三角形式互化．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）π6（2）以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1），理由见解析；（3）[π【分析】（1）求得复数z，可求辐角主值；（2）设z＝a+bi（a，b∈R），z-iz+i=-2aia2+(b+1)（3）设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，设z﹣z1的一个辐角为α，z﹣z2的一个辐角为β，可得tanφ=tan(α-β)=5ba-5，令a＝cost，b＝sint，0【解答】解：（1）z+i=32-所以z+i的辐角主值为π6（2）由题意设z＝a+bi（a，b∈R），a≠0，则a2+b2＝1，z-又因为ω+所以ω+iω-i为纯虚数或0，设ω＝x+yi（x所以ω+iω即x2+y2＝1，且ω≠i．所以ω是以（0，0）为圆心、半径为1的圆，不含点（0，1）；（3）设z＝a+bi（a，b∈R），则a2+b2＝1，设z﹣z1的一个辐角为α，z﹣z2的一个辐角为β，tanφ=令a＝cost，b＝sint，0≤t＜2π，设k=5sint解得k范围为[-若Im（z）≥0，则φ的范围是[π若Im（z）＜0，则φ的范围是(π所以φ的范围是[π【点评】本题考查复数的运算性质的应用，复角主值的求法，属于中档题．

考点卡片1．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．2．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．3．复数的乘法及乘方运算【知识点的认识】﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．【解题方法点拨】﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．【命题方向】﹣复数乘法运算：考查复数乘法及其性质．﹣复数的乘方：如何使用复数的乘方运算解决问题，如幂运算和多项式根．（3i﹣2）（i+4）﹣i＝_____．解：依题意，（3i﹣2）（i+4）﹣i＝3i2+12i﹣2i﹣8﹣i＝﹣11+9i．4．复数的除法运算【知识点的认识】复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1【解题方法点拨】﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．【命题方向】﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．i是虚数单位，2i1+解：2i1+i5．复数的三角表示【知识点的认识】在复平面中，我们设r=|OZ|，θ是以x则a＝rcosθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），我们把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，其中r是复数的模，(2)(2)+2【解题方法点拨】（1）复数的三角形式Z＝r（cosθ+isinθ）满足以下条件：①r≥0；②加号连接；③cos在前，sin在后；④θ前后一致，可为任意值．（2）代数式化三角式的步骤：①先求复数的模；②决定辐角