数字信号处理实践与应用-MATLAB话数字信号处理（第2版） 课件 案例十七 - 复信号有如此妙用之希尔伯特变换

案例十七——复信号有如此妙用之希尔伯特变换内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤基于希尔伯特变换的时频分析AM（幅度调制）信号特征及解调思考题总结报告要求案例设置目的通过实验了解解析信号的构造方法以及解析信号在时频分析、包络解调、单边带调制、带通信号采样等场合的应用，理解实信号和复信号的频谱特性。相关基础理论1.解析信号及连续希尔伯特变换设x(n)为实信号，由DTFT定义和欧拉公式可知：（17.1）若按照数字角频率ω的取值进行划分，X(ejω)可以划分成三段：（17.2）仔细观察ω取大于0和小于0的部分，不难理解X(ejω)在ω取大于0和小于0的两部分是共轭关系，因此模值相同，所以实序列x(n)的频谱是关于ω=0偶对称的。若对X(ejω)做如下处理：在ω≥0时乘以－j，在ω<0时乘以j，并将处理后的结果记为Xꞌ(ejω)，ω=0时乘以0即（17.3）相关基础理论将实序列x(n)的DTFT结果X(ejω)与Xꞌ(ejω)进行如下的线性组合，不难发现组合的结果在在ω<0时结果变成了0，在ω≥0时X(ejω)的幅度加倍。从图形的角度看，|X(ejω)|关于ω=0偶对称，而|X(ejω)+jXꞌ(ejω)|是非对称图形，非零部分或非负频率处的幅度是|X(ejω)|的两倍。（17.4）综上，通过对实序列x(n)的DTFT结果X(ejω)进行分段处理，之后将处理后的结果与X(ejω)进行线性组合可以得到只包含X(ejω)非负频率的结果（其中的2倍可以通过乘以1/2或增益控制变成幅度保持不变），从而提高频谱资源效率，这种思想便是希尔伯特变换（HilbertTransform）。

相关基础理论设xr(t)是一个实信号，其傅里叶变换（连续时间傅里叶变换CTFT）为Xr(

jf

)，则可构造仅包含X(jf)非负频率分量的函数Xa(jf)（17.5）其中sgn(f)为符号函数，f<0时sgn(f)=-1，f=0时sgn(f)=0，f>0时sgn(f)=1。只保留了Xr(jf)非负频率分量的Xa(jf)对应的时域信号与xr(t)有什么关系呢？对Xa(jf)进行傅里叶逆变换得到的时域信号记为xa(t)，即（17.6）（17.7）其中符号“

”表示线性卷积。相关基础理论由式（17.7）可以看出Xa(jf)对应的时域信号xa(t)是个复信号，且实部就是原来的实信号xr(t)，而虚部也与xr(t)密切相关。由于xa(t)的傅里叶变换仅包含了Xr(jf)非负频率分量，没有负频率分量，因此xa(t)称作xr(t)的解析信号。若定义ha(t)为（17.8）（17.9）则解析信号xa(t)可以看成是实信号xa(t)与ha(t)卷积的结果，其中式（17.7）中的xi(t)是实值信号xr(t)的希尔伯特（Hilbert）变换结果。实值信号xr(t)

希尔伯特变换定义如下：（17.10）相关基础理论结合式（17.7）和式（17.8），构造实值信号对应解析信号的过程可用图17.1所示。对式（17.9）求希尔伯特变换核函数或单位冲击响应的傅里叶变换得到传递函数，即（17.11）进而可知解析信号xa(t)的实部xr(t)的傅里叶变换Xr(jf)与其虚部xi(t)的傅里叶变换Xi(jf)之间存在如下关系：（17.12）从这意义上讲，希尔伯特变换可以看成是90°的移相器。如实信号xr(t)=cos2πft，其希尔伯特变换的结果为xi(t)=sin2πft，相应的解析信号为xa(t)=xr(t)+jxr(t)=cos2πft+jsin2πft=ej2πft，信号的频谱由实信号的双边对称谱变成了复信号的单边谱，且仅有非负分量。图17.1解析信号构造相关基础理论另外，从Xr(jf)到Xa(jf)的关系是可逆的，即（17.13）其中Xa(

jf

)*表示Xa(

jf

)的复共轭。2．离散希尔伯特变换及其计算离散希尔伯特核函数的传递函数定义为（17.14）计算其离散傅里叶反变换得（17.15）相关基础理论h(n)随n变化的曲线如图17.2所示。结合式（17.15）和图17.2，容易看出离散希尔伯特变换的单位取样响应h(n)为无穷长序列，满足奇对称特性，而且h(n)

幅度的绝对值随着n对原点的远离而单调减小。希尔伯特变换的原理很容易理解，但是希尔伯特变换的计算却并不简单，离散希尔伯特变换通常有两种计算方法，一种是基于FIR的方法，另一种是基于FFT的方法。图17.2希尔伯特变换核函数（单位脉冲响应）相关基础理论3．基于希尔伯特变换的信号瞬时幅度和瞬时频率分析式（17.7）表明解析信号xa(t)由实部和虚部两部分组成，若将其表示为极坐标形式就可以得到信号的幅度和瞬时角度信息，即（17.16）其中瞬时幅度或极径|A(t)|和瞬时相位或角度

(t)分别定义为（17.17）（17.18）角度

(t)相对时间的变化率，即为解析信号的瞬时频率，即（17.19）解析信号xa(t)

的频谱特性与实值信号xr(t)

在正频率段的分布特性完全相同，时域上比实值信号多了一维或一个自由度，也因此对解析信号的分析比对实值信号本身的分析能获得更多的信息。解析信号xa(t)的瞬时幅度|A(t)|有些场合也称为包络，直接反映了xr(t)的幅度变化情况；解析信号xa(t)的瞬时相位

(t)是因希尔伯特变换得到一种特征，单位是弧度，其对于时间的导数——瞬时频率f(t)的单位是Hz。

情境任务及步骤一、基于希尔伯特变换的时频分析1．拆解希尔伯特变换设序列x(n)={1,2,3,4,5}。（1）按照DTFT的定义写出X(ejω)=DTFT[x(n)]。（2）计算X(ejω)的值。ω取-π~π，步进间隔为π/10。计算X(ejω)各点值时，可以调用函数polyval。该函数的用法可以通过查阅MATLAB中的Help进行学习。（3）计算Xꞌ(ejω)的值。按照式（17.3）计算出X(ejω)各离散ω点对应的Xꞌ(ejω)值。（4）计算Xa(ejω)。按照式（17.4）计算出Xa(ejω)在各离散点的值，其中Xa(ejω)=X(ejω)+j×Xꞌ(ejω)。之后输出Xa(ejω)和X(ejω)在各离散点上的值，ω取-π~π，步进间隔为π/10，并将观察到的结果记录到实验报告中。情境任务及步骤2．固定单频信号的时频分析设xr1(t)为一单音（频）信号，xr1(t)=cos(2

f0

t)，f0=10，试分析其瞬时频率。（1）生成符合要求的固定频率单频信号。采样频率Fs取10倍的f0，信号持续时间td定为50s，生成单频信号记为xr1(t)。（2）构造单频信号对应的解析信号。调用MATLAB函数希尔伯特得到xr1(t)的解析信号xa1(t)。函数希尔伯特的函数说明和调用语法可以通过MATLAB中的Help进行学习。（3）计算解析信号的瞬时相位。调用MATLAB函数angle计算解析信号xa1(t)的瞬时相位θ1(t)。函数angle的函数说明和调用语法可以通过MATLAB中的Help进行学习。情境任务及步骤（4）计算瞬时频率。调用MATLAB函数diff计算瞬时相位θ1(t)对于时间t的导数，结果记为f1(t)。函数diff的函数说明和调用语法可以通过MATLAB中的Help进行学习。值得注意的是要考虑瞬时相位θ1(t)求差分前是否需要用函数unwrap进行解卷绕。（5）结果展示。创建一个图形窗口，并将图形窗口一分为二。在一个图形子窗口中显示xr1(t)～t的波形，要求显示10个周期的长度。在另外一个子窗口显示瞬时频率的波形f1(t)～t。两个子窗口都要求加注图题和横坐标，并加网格线。对比f1(t)～t与f0的关系，并将结论写于情境任务总结报告中。情境任务及步骤3．Chirp（线性调频）信号的时频分析设xr2(t)为一Chirp信号，

，试分析其瞬时频率。（1）生成符合要求的Chirp信号。采样频率Fs取100，信号持续时间td定为50s，kf=(fend-f1)/td/2，fend=10Hz，生成的Chirp信号记为xr2(t)。（2）构造Chirp信号对应的解析信号。调用MATLAB函数希尔伯特得到xr2(t)的解析信号xa2(t)。（3）计算解析信号的瞬时相位。调用MATLAB函数angle计算解析信号xa2(t)的瞬时相位θ2(t)。（4）计算瞬时频率。调用MATLAB函数diff计算瞬时相位θ2(t)对于时间t的导数，结果记为f2(t)。情境任务及步骤（5）结果展示。创建一个图形窗口，并将图形窗口一分为二。在一个图形子窗口中显示xr2(t)～t的波形，要求显示0～10s的长度。在另外一个子窗口显示f2(t)～t的波形。两个子窗口都要求加注图题和横坐标，并加网格线。观察f2(t)～t的变换情况，并写于情境任务总结报告中。情境任务及步骤二、AM（幅度调制）信号特征及解调1．AM信号的生成及其频谱特征（1）生成AM信号。设AM信号表示式为xr3(t)=Uc[1+km×m(t)]cos(2

fc

t)，其中m(t)=cos(2

2

t)，fc=10，km=1/2，Uc=1。采样频率Fs取100，信号持续时间t定为50s，生成的Chirp信号记为xr3(t)。（2）构造AM信号对应的解析信号。调用MATLAB函数希尔伯特得到xr3(t)的解析信号xa3(t)。（3）分析信号的频谱特性。调用MATLAB函数fft计算m(t)、xr3(t)和xa3(t)的傅里叶变换，结果分别记为MT