苏教版高一下册数学必修第二册-13.3.1 空间图形的表面积－同步练习【含答案】

苏教版高一下册数学必修第二册-13.3.1空间图形的表面积同步练习[A基础达标]1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D．eq\r(3)∶22．若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是()A．4π2 B．3π2C．2π2 D．π23．圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为()A．81π B．100πC．14π D．169π4．一个正四棱锥的底面边长为2，高为eq\r(3)，则该正四棱锥的全面积为()A．8 B．12C．16 D．205．若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为eq\f(\r(33),6)a，则此正三棱台的侧面积为()A．a2 B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(9,2)a2 D．eq\f(3,2)a26．正四棱台的上、下两底面边长分别是方程x2－9x＋18＝0的两根，其侧面积等于两底面面积之和，则其侧面梯形的高为________．7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．8．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．9．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积．10．设正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[B能力提升]11．如图所示，△ABC的三条边长分别为AB＝4，AC＝3，BC＝5，现将此三角形以BC边所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为()A．eq\f(48,5)π B．eq\f(36,5)πC．eq\f(84,5)π D．eq\f(12,5)π12．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为()A．eq\f(9,4) B．3C．12 D．3613．已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为()A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)C．2∶eq\r(2) D．3∶eq\r(6)14．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是多少？[C拓展探究]15．正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底的平面所截，得到正六棱台和较小的棱锥．(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；(2)若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面积与全面积．参考答案[A基础达标]1.解析：选C．设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，所以其母线长l＝eq\r(5)r.所以S侧＝πrl＝eq\r(5)πr2，S底＝πr2.故选C．2．解析：选A．由题意侧面展开图的边长为2π×1＝2π，面积为(2π)2＝4π2.故选A．3．解析：选B．设圆台上底半径为r，则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r＝2.然后由圆台侧面积公式得，s＝π(r1＋r2)l＝π(2＋8)×10＝100π.4．解析：选B．由题得侧面三角形的斜高为eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，所以该四棱锥的全面积为22＋4·eq\f(1,2)·2·2＝12.故选B．5．解析：选C．如图，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1分别是AC，A1C1的中点，过D1作D1E⊥OD于点E.在直角梯形ODD1O1中，OD＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×2a＝eq\f(\r(3),3)a，O1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×a＝eq\f(\r(3),6)a，所以DE＝OD－O1D1＝eq\f(\r(3),6)a.在Rt△DED1中，D1E＝eq\f(\r(33),6)a，则D1D＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(33),6)a))\s\up12(2))＝eq\r(\f(3,36)a2＋\f(33,36)a2)＝a.所以S侧＝3×eq\f(1,2)(a＋2a)a＝eq\f(9,2)a2.故选C．6．解析：解方程x2－9x＋18＝0得x＝3或x＝6，所以棱台的上下底面边长分别为3，6.设棱台的斜高为h，则4×eq\f(1,2)×(3＋6)h＝32＋62＝45，所以h＝eq\f(5,2).即答案为eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)7．解析：因为圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径r＝eq\f(1,2)a，母线长l＝a，故圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)＝eq\f(3,2)a2π，因为圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，故圆锥的底面半径r＝eq\f(1,2)a，母线长l＝a，故圆锥的表面积S＝πr(r＋l)＝eq\f(3,4)a2π，故它们的表面积之比为2∶1，故答案为2∶1.答案：2∶18．解析：原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为eq\f(1,3)a，每个小正方体的表面积S1＝eq\f(1,9)a2×6＝eq\f(2,3)a2，所以27个小正方体的表面积是eq\f(2,3)a2×27＝18a2.答案：18a29．解：如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，过B1作B1F⊥BC，垂足为F，在Rt△B1FB中，BF＝eq\f(1,2)×(8－4)＝2，B1B＝8，故B1F＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15)，所以S梯形BB1C1C＝eq\f(1,2)×(8＋4)×2eq\r(15)＝12eq\r(15)，故四棱台的侧面积S侧＝4×12eq\r(15)＝48eq\r(15)，所以四棱台的表面积S表＝48eq\r(15)＋4×4＋8×8＝80＋48eq\r(15).10．解：如图所示，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SE，则SE＝h′.因为S侧＝2S底，所以3×eq\f(1,2)ah′＝eq\f(\r(3),4)a2×2，所以a＝eq\r(3)h′.因为SO⊥OE，且OE＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)×eq\r(3)h′，所以由SO2＋OE2＝SE2，得32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))eq\s\up12(2)＝h′2，所以h′＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)h′＝6，所以S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3)，所以S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).[B能力提升]11．解析：选C．A点到BC的距离d＝eq\f(AB·AC,BC)＝eq\f(12,5)，得到的立体几何体为两个圆锥，该圆锥底面周长为l＝2π·d＝eq\f(24π,5)，所以表面积为S＝eq\f(1,2)l·AB＋eq\f(1,2)l·AC＝eq\f(84,5)π，故选C．12．解析：选B．根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r，R，设圆锥的母线长为L，截得小圆锥的母线长为l，因为圆台的上、下底面互相平行，所以eq\f(l,L)＝eq\f(r,R)＝eq\f(1,4)，可得L＝4l.因为圆台的母线长9，可得L－l＝9，所以eq\f(3,4)L＝9，解得L＝12，所以截去的圆锥的母线长为12－9＝3；故选B．13．解析：选B．棱锥B′­ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝eq\r(2)，S△B′AC＝eq\f(\r(3),2).三棱锥的表面积S锥＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝2eq\r(3)∶6＝1∶eq\r(3)；故选B．14．解：如图①是棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2eq\r(2)，其面积为8.[C拓展探究]15．解：(1)设小棱锥的底面边长为a，斜高为h，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2h，所以S大棱锥侧＝6×eq\f(1,2)×2a×2h＝12ah，S小棱锥侧＝6×eq\f(1,2)ah＝3ah，所以棱台的侧面积为12ah－3ah＝9ah，因此，大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4∶1∶3.(2)因为小棱锥底面边长为4cm，所以大棱锥底面边长为8cm，又因为大棱锥的侧棱长为12cm，所以斜高为eq\r(122－42)＝8eq\r(2)(cm)，所以S大棱锥侧＝6×eq\f(1,2)×8×8eq\r(2)＝192eq\r(2)(cm2)，所以棱台的侧面积为eq\f(3,4)×192eq\r(2)＝144eq\r(2)(cm2)，