数字信号处理实践与应用-MATLAB话数字信号处理（第2版） 课件 案例六-时域采样定理没你想象的那么简单

案例六——时域采样定理没你想象的那么简单内容概要案例设置目的相关基础理论情境任务及步骤低通信号采样定理探究带通信号采样定理探究思考题总结报告要求案例设置目的通过原理仿真，深刻理解低通信号采样定理和带通信号采样定理的准确含义，及其普适性和一致性。同时，熟悉在MATLAB平台下实现周期延拓的方法，了解实证法研究事物内在规律的方法。相关基础理论1．低通信号采样定理奈奎斯特采样定理，较为常用的描述是：若模拟信号xa(t)是带限信号，即|f|>fH，

Xa(jfH)=0，其中Xa(jf)=FT[xa(t)]，FT表示傅里叶变换，fH为信号的最高频率，则当采样速率Fs

2fH时，可以用采样得到的信号重建原模拟信号xa(t)，否则无法实现重建。如图6.1(a)所示，对模拟信号xa(t)的采样，在数学上描述为xa(t)与开关信号s(t)相乘。为理论分析简便，开关信号s(t)被简化为以T为周期的冲击串，即（6.1）其中g(t)为门函数，τ表示开关导通时间或门函数的宽度，T为开关的通断间隔或采样间隔。采样得到的离散时间信号xs(t)可以表示为（6.2）离散时间信号xs(t)、原模拟信号xa(t)与开关信号s(t)的频谱关系为（6.3）其中Xs(jf)=FT[xs(t)]，S(jf)=FT[s(t)],“

”表示卷积运算，Fs表示采样速率，与T的关系为Fs=1/T。

图6.1采样开关及其数学描述相关基础理论为了图示奈奎斯特采样定理的结论，很多教科书将带限的模拟信号xa(t)的频谱做了类似图6.2(a)的假设。确实这种情况下以Fs=2fH的采样速率对信号xa(t)进行采样，得到的频谱如图6.2(b)所示，频谱在周期延拓过程中，由于Xa(jf)相邻的两次移位之间仅有1点的重叠，而这点的幅度为0，因此叠加的结果不变，因此用图6.3所示截止频率在Fs/2理想低通滤波器对Xs(jf)进行滤波时，得到的频谱与原模拟信号xa(t)的频谱完全相同，即在此情况下完全可以精准重建信号xa(t)。若将带限的模拟信号xa(t)的频谱做了类似图6.4的假设，同样以Fs=2fH的采样速率对信号xa(t)进行采样，得到的频谱会是什么样呢？是否会产生失真呢？这样也是本案例要探究的一个题目。

图6.2采样前后频谱图6.3理想低通滤波器幅频响应图器图6.4带限信号幅频特性图相关基础理论带通信号也是一种带限信号，从频谱看带通信号的非零值区间为[-fL,-fH]

[fL,fH]，此区间之外频谱分量的幅度值为0，其中fL和fH分别为信号正频率频带的下界频率和上界频率，且有fH≥fL>0，带通信号带宽B=fH-fL。24GHz的车载雷达有两种工作模式，分别是带宽为250MHz（24.0~24.25GHz）的窄带（NB）模式，和带宽为5GHz（21.65~26.65GHz）的超宽带（UWB）模式。信号的带宽相对较小，因此此时按照Fs

2fH选择采样速率，Fs

会非常高，高到无法工程实现的地步。

（5.1）

图6.5车载雷达两种模式相关基础理论传统的带通信号采样定理认为，只要采样速率Fs不低于带通信号带宽的2倍，就可以用离散时间信号进行重建，而且有些教材提出最低采样速率取2~4B即可。陆续有学者指出传统带通信号采样定理存在的一些问题。J.D.Gaskell、杨福生等分别指出传统带通信号采样定理的描述并不准确，甚至出现误导，指出通常认为带通信号的最低采样率在带宽的2~4倍之间的结论，只是必要条件,不是充分条件，容许的采样率还要受约束:2fH/N

Fs

2fL/(N-1)，其中N为不超过fH/B的最大正整数。RodneyG.Vanghan等提出了通带位置的概念，并指出最小采样速率Fs=2B只有在fH是B的整倍数时才成立。关于带通信号欠采样速率的可容许范围也是本案例研究的一个重要内容。

（5.1）

相关基础理论为展示传统采样定理所描述的采样速率最低可取为带宽的两倍情形，图6.7和图6.8均假设信号频谱在频带上下界处的幅度为0，且两种情况都是信号最高频率是频带宽度整数倍的情况，图6.6是偶数倍（4倍），图6.7是奇数倍（5倍）。

图6.6四倍于信号带宽的信号采样Fsa=8BFsb=6BFsc=5BFsd=4BFse=3BFsf=2BFsx表示图x情况下的采样频率，x=a,b,c,d,e,f,g,Fsg=B频谱延拓过程中出现混叠相关基础理论为展示传统采样定理所描述的采样速率最低可取为带宽的两倍情形，图6.7和图6.8均假设信号频谱在频带上下界处的幅度为0，且两种情况都是信号最高频率是频带宽度整数倍的情况，图6.6是偶数倍（4倍），图6.7是奇数倍（5倍）。

图6.7五倍于信号带宽的信号采样采样前后频谱Fsa=8BFsb=7BFsc=6BFsd=5BFse=4BFsf=3BFsg=2BFsx表示图x情况下的采样频率，x=a,b,c,d,e,f,g,频谱延拓过程中出现混叠相关基础理论当信号最高频率不满足带宽整倍数时，你将看到类似图6.9这样的可选采样速率范围。图中标记为SectionI、II和III这样的夹角区域，分别是2fH/n

Fs

2fL/(n-1)中n=2,3,4时对应的可选采样速率范围。

情境任务及步骤、低通信号采样定理探究1.生成低通模拟信号频谱设fH=20，f

[-fH~fH]，Xf1=fH-|f|。其中Xf1表示低通模拟信号的幅度谱，即Xf1=|Xa(jf)|。对f进行离散化时，建议步进选择1或0.5。2.生成采样后信号频谱对模拟信号的幅度谱进行周期延拓。生成周期延拓信号Xsf，Xsf的定义参照式(6.3)，即Xsf=

┅+Xf1(f+2Fs)+Xf1(f+Fs)+Xf1(f)+Xf1(f-Fs)+Xf1(f-2Fs)+┅，建议Fs取fH,3fH/2,2fH,5fH/2这几个值。1）生成原模拟信号的各次移位选定一个采样速率Fs，生成原信号频谱的移位形式，要求频谱的左右移位至少各生成4个。以频谱左移为例，要生成Xf1(f+Fs)、Xf1(f+2Fs)、Xf1(f+3Fs)、Xf1(f+4Fs)。2）观察是否有频谱混叠发生在同样的频率范围区间显示原信号频谱及左右各次移位的频谱，并观察有无频谱混叠发生。以生成4次左右移位为例，频率范围可以选定为-5Fs~5Fs。可能用到的函数包括plot、axis、grid。情境任务及步骤3）生成周期延拓信号Xsf按照Xsf定义将原信号频谱与频谱的各次移位相加，得到周期延拓信号。而后，在新的图形窗口显示周期延拓信号，并观察有无混叠失真发生。3.探究混叠失真与Fs大小的关系改变Fs，重复步骤2的1)~3)，归纳总结无失真采样的条件。由于傅里叶变换是线性变换，因此只要频域内频谱没有失真，则时域就不会出现失真。4.挑战经典1）更换带限信号设fH=20，f

[-fH~fH]，Xf2=|f|，Xf2表示低通模拟信号的幅度谱。2）生成采样后频谱要求Fs取2fH,5fH/2,3fH这几个值，重复执行步骤2的1)~3)，探究混叠失真与Fs的关系。情境任务及步骤二、带通信号采样定理探究1.设定上界频率与带宽探究频带位置与采样频率的关系，可以选择带宽B不变，带通信号频带上界频率fH变化，或者带通信号频带上界频率不变，改变带宽B，这里采取后者。建议设定fH=10000Hz，带宽B从500（fH×5%）变化到5000（fH×50%），步进1%fH。2.设定采样频率预选范围根据设定的上界频率fH和带宽B，确定对应的频带下限fL。设定Fs预选变化范围为B~2fH-2B，步进为10。3.筛选当前带宽B下可用Fs1）确定频谱左右移位后频带左右边界的具体坐标建议各用一个矩阵分别存储原频谱正频带左移和负频带右移后频带左边界的坐标，比如前者记为LBoundarySHL，后者记为LBoundarySHR。情境任务及步骤2）确定频带移位是否出现频带重叠可以先将两矩阵中记录的频带左边界坐标，按照从小到大的顺序排列，而后将排序后的坐标矩阵对减，若对减后每个差值都不小于对应的带宽B，则可以确定该采样频率不会导致频段重叠。3）确定可用Fs集合记录2）中不会造成频带重叠的Fs，并遍历Fs整个预选变化范围，重复1）~3）。4.筛选不同带宽B下可用Fs遍历步骤1中设定的所有带宽取值，重复步骤2~3，确定不同带宽下可用的Fs集合。特别提示：因每种带宽下可用采样速率Fs的个数不同，建议用元包数组进行存储，同时存储当前的带宽B的值及对应的各可用Fs值。情境任务及步骤5.结果探究1）图示结果在新的图形窗口中，以fH/B为横轴，Fs/B为纵轴，画出不同带宽下可用采样速率的取值范围。为更加直观判断带通信号采样速率在Fs=2~4B时可实现无失真采样结论的普适性，建议画图加网格线基础上，画出Fs/B=2,3,4的参考线。特别提示：为避免MATLAB画图函数自动实现内插，要求用stem函数画fH/B~Fs/B图，不能用plot函数，参考线用plot函数画。2）结论印证根据理论公式2fH/N

Fs

2fL/(N-1)，其中N为不超过fH/B的最大正整数，以虚线形式画出fH/B~Fs/B图。思考题1.在探究低通信号和带通信号采样定理的过程中，进行周期延拓时只考虑了幅度谱，却未考虑相位谱，这里不考虑信号的相位谱，从判断是否有频谱混叠的角度看是否有影响？2.在探究带通信号采样定理过程中，原信号频谱并未特别指定是类似图6.2(a)形式的带限信号，还是图6.3(b)形式带限信号，对探究结果是否有影响呢？请参照低通信号采样定理探究进行分析。3.单音信号，比如我国市电是50Hz的单音信号，是一类非常特殊的带限信号，信号带宽为零，能否用2倍信号频率进行无失真采样呢？总结报告要求（1）情境任务总结报告中相关基础理论部分可以不写，书写情境任务时可适当进行归纳和总结，但至少