2024-2025学年浙江省嘉兴市八校高二下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省嘉兴市八校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数求导正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选：A.2.若的展开式中常数项为32，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】的展开式通项为.故常数项为，得.故选：A.3.若随机变量，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，解得.故选：A.4.从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（

）A.56 B.28 C.24 D.12【答案】D【解析】所抽取男生人数为，因此女生人数为2，抽取方法数共有种．故选：D．5.某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，根据题意可得，，，故．故选：B．6.三次函数在上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对函数求导，得因为函数在上是减函数，则在上恒成立，即恒成立，当，即时，恒成立；当，即时，，则，即，因为，所以，即；又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以.故选：A．7.已知函数定义域为，部分对应值如表，导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有（）A.函数的极大值点有个B.函数在上是减函数C.若时，的最大值是，则的最大值为4D.当时，函数有个零点【答案】ABD【解析】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；作出函数图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.故选：ABD.8.已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】令，由数的图象恒在函数图象的上方得在上恒成立，即即可，所以，令有或，由，所以，由有或，由有，所以在上单调递减，在单调递增，所以只需F-故选：D.二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（）A B.C. D.【答案】ACD【解析】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为故，故选项A正确；对于选项B：，故选项B错误；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：，故D正确.故选：ACD10.已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（）A. B.展开式的各项系数和为243C.展开式中奇数项的二项式系数和为16 D.展开式中有理项一共有3项【答案】BCD【解析】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数，且与最大，所以，解得，A错误；B选项，中，令得，，故展开式的各项系数和为243，B正确；C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；D选项，展开式通项公式为，，且为整数，当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.故选：BCD11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，若有三个零点，则b的取值范围为B.若满足，则C.若过点可作出曲线的三条切线，则D.若存在极值点，且，其中，则【答案】ACD【解析】对于A，，当时，，，令，解得或，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时取得极大值，当时取得极小值，有三个零点，，解得，故选项A正确；对于B，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，解得，故选项B错误；对于C，，，设切点为，则切线的斜率化简，得由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，记，令，解得或，当时取得极大值，当时，取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以，解得，故选项C正确；对于D，，，当，在上单调递增；当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；存在极值点，由得令，，于是，所以，化简得：，，，于是，.故选项D正确；故选：ACD.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______．【答案】3【解析】函数，可得，所以切线的斜率为，解得，故答案是3.13.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________．【答案】【解析】因为在内取值的概率为，服从正态分布，所以，且，所以，所以，所以在内取值的概率为，故答案为：.14.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为_____________．【答案】84【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种.考点：计数原理的运用．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数有极小值．（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值．解：（1），令，解得或，令，解得，所以单调递减区间为，单调递增区间为，．（2）由（1）知，的极小值为，解得．∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，的极大值为又，，所以在上的最大值为，最小值为．16.设，且．（1）求与的值；（2）求的值．解：（1）由，得，取，得，所以.（2）由（1）知，，当时，，当时，，因此，所以.17.张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望.解：（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则.（2）依题意，的可能取值为0，1，2.则；；，随机变量的分布列为：012.18.随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人.（1）第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列;（2）第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.①求最后一名同学来自组条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率;②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望.解：（1）设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；随机变量的可取值：30，35，40，45的分布列：30354045（2）①设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试.则②设所需时间为，的可取值：90,，93，96，，，，120（）则∴19.已知函数．（1）若，求证：．（2）讨论函数的极值；（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）时，，，当，，函数单调递减当时，，函数单调递增∴，故．（2）由题知．，，①当时，，所以在上单调递减，没有极值；②当时，，得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．故在处取得极小值，无极大值．（3）不妨令，不难证明，当且仅当取等号，所以，当时，，由（1）知，当，时，在上单调递减，恒成立；所以不等式在上恒成立，只能．当时，，由（1）知在上单调递减，所以，不满足题意．当时，设，因为，，所以，，，，，即，所以在上单调递增，又，所以时，恒成立，即恒成立，故当时，使得不等式在上恒成立．此时的最小值是1．浙江省嘉兴市八校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列函数求导正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选：A.2.若的展开式中常数项为32，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】的展开式通项为.故常数项为，得.故选：A.3.若随机变量，且，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，解得.故选：A.4.从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（

）A.56 B.28 C.24 D.12【答案】D【解析】所抽取男生人数为，因此女生人数为2，抽取方法数共有种．故选：D．5.某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，根据题意可得，，，故．故选：B．6.三次函数在上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对函数求导，得因为函数在上是减函数，则在上恒成立，即恒成立，当，即时，恒成立；当，即时，，则，即，因为，所以，即；又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以.故选：A．7.已知函数定义域为，部分对应值如表，导函数的图象如图所示.下列关于函数的结论正确的有（）A.函数的极大值点有个B.函数在上是减函数C.若时，的最大值是，则的最大值为4D.当时，函数有个零点【答案】ABD【解析】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；作出函数图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.故选：ABD.8.已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（）A. B.C.或 D.【答案】D【解析】令，由数的图象恒在函数图象的上方得在上恒成立，即即可，所以，令有或，由，所以，由有或，由有，所以在上单调递减，在单调递增，所以只需F-故选：D.二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（）A B.C. D.【答案】ACD【解析】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为故，故选项A正确；对于选项B：，故选项B错误；对于选项C：，故选项C正确；对于选项D：，故D正确.故选：ACD10.已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（）A. B.展开式的各项系数和为243C.展开式中奇数项的二项式系数和为16 D.展开式中有理项一共有3项【答案】BCD【解析】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数，且与最大，所以，解得，A错误；B选项，中，令得，，故展开式的各项系数和为243，B正确；C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确；D选项，展开式通项公式为，，且为整数，当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，综上，展开式中有理项一共有3项，D正确.故选：BCD11.已知函数，则下列结论正确的是（）A.当时，若有三个零点，则b的取值范围为B.若满足，则C.若过点可作出曲线的三条切线，则D.若存在极值点，且，其中，则【答案】ACD【解析】对于A，，当时，，，令，解得或，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时取得极大值，当时取得极小值，有三个零点，，解得，故选项A正确；对于B，满足，根据函数的对称可知的对称点为，将其代入，得，解得，故选项B错误；对于C，，，设切点为，则切线的斜率化简，得由条件可知该方程有三个实根，有三个实根，记，令，解得或，当时取得极大值，当时，取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以，解得，故选项C正确；对于D，，，当，在上单调递增；当，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；存在极值点，由得令，，于是，所以，化简得：，，，于是，.故选项D正确；故选：ACD.非选择题部分三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______．【答案】3【解析】函数，可得，所以切线的斜率为，解得，故答案是3.13.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______________．【答案】【解析】因为在内取值的概率为，服从正态分布，所以，且，所以，所以，所以在内取值的概率为，故答案为：.14.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为_____________．【答案】84【解析】甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，①当有二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；②有二所医院分1人另一所医院分3人.有种.故满足条件的分法共有种.考点：计数原理的运用．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数有极小值．（1）求的单调区间；（2）求在上的最大值和最小值．解：（1），令，解得或，令，解得，所以单调递减区间为，单调递增区间为，．（2）由（1）知，的极小值为，解得．∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，的极大值为又，，所以在上的最大值为，最小值为．16.设，且．（1）求与的值；（2）求的值．解：（1）由，得，取，得，所以.（2）由（1）知，，当时，，当时，，因此，所以.17.张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望.解：（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则.（2）依题意，的可能取值为0，1，2.则；；，随机变量的分布列为：012.18.随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生