2024届河北省邢台市部分高中高三二模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邢台市部分高中2024届高三二模数学试题第I卷（选择题）一、选择题1.下列集合关系不成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A：因为，故A正确；B：由空集的定义可知，故B正确；C：由图可知C正确；D：因为空集中不包含任何元素，故D错误；故选：D.2.若，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以的虚部为，故选：D.3.已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（）A B. C.或1 D.或1【答案】B【解析】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，又，所以，解得或（舍），所以.故选：B4.已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以.所以：，所以.故选：A.5.已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，.所以，由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立；当时，.故B成立.故选：B6.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数的最小正周期B.函数的图象关于点中心对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增【答案】D【解析】对于A，函数的最小正周期，A错误；对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误；对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误；对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此函数在区间上单调递增，D正确.故选：D.7.已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称；由于时，曲线的方程为，即，故结合曲线对称性，作出曲线C如图：而表示曲线C上的点到直线的距离，可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，当时，曲线的方程为，即，此时d的最小值为，当时，曲线的方程为，即，此时d的最大值为，故的最小值与最大值之和为，所以的最小值与最大值之和为，故选：C．8.设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，过作，设，则，所以，设抛物线在点处的切线的方程为，由，消得到，由，得到，所以由题有，即，所以，又，所以，得到为的角平分线，又，所以，又均为直角三角形，所以，得到，所以，故答案：B.二、选择题9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2【答案】BCD【解析】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；对B：，则其第80百分位数是，故B正确；对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.故选：BCD.10.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（）A. B. C. D.2【答案】AB【解析】依题意，在上恒成立，当时，，令，则，，故当时，，当时，，故，故，则不等式成立；当时，令，因为，，故在内必有零点，设为，则，则，故，不合题意，舍去；综上所述，.故选：AB.11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，P为线段上的动点，E为线段上的动点，MN为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（）A.当平面时，为的中点B.三棱锥外接球的表面积为C.若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为D.三棱锥体积的最大值为8【答案】ACD【解析】由题设，长轴长，短轴长，则，得分别是中点，而柱体中为矩形，连接，由，，∴四边形为平行四边形，，当平面时，平面，平面平面，则，有，中，是中点，则为的中点，A选项正确；，，，则中，，，外接圆半径为，，则平面，三棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为，B选项错误；点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，令，则，又，则，，，，由椭圆性质知，则当或时，的最大值为，C选项正确；由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，，令，且，则，，当时，有最大值，在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，则椭圆方程为，设，联立椭圆得，，，，令，，由对勾函数性质可知在上递增，，综上，三棱锥体积的最大值为，D选项正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题12.已知，则______.【答案】3【解析】的通项为，所以展开式中的系数为，的通项为，所以展开式中的系数为，所以.故答案为：3.13.如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________．【答案】【解析】由题意设，因为面积为，所以，根据题意有：，所以，则长方体的体积为，，令，有，所以时，，函数在上单调递增，时，，函数在上单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为.故答案为：14.在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是__________．【答案】【解析】如图，在中，由正弦定理：可得：，因，则，即.设，则，在中，设，由正弦定理，，则得：，由余弦定理可得：，即.在中，由余弦定理，,因，则，则当时，即时，，此时.故答案为：.四、解答题15.如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为直径，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则所以令，则，，所以．设平面的法向量为，则，取．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．16.已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求证：．（1）解：由，当时，，则，当时，，两式相减得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2）证明：由（1）知．当时，；当时，，所以，所以，所以当时，．综上，．17.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值.解：（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3，，，，，所以的分布列为：0123P.（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,则由，又，所以，则，又，所以，设，所以，由二次函数可知当时取最大值，所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为.18.将上各点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），所得曲线为E．记，，过点p的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D．（1）求E的方程：（2）设直线AB，CD的倾斜角分别为，．当今时，（i）求值：（ii）若有最大值，求的取值范围．（1）解：设所求轨迹上的任意点为，与对应的点为，根据题意，可得，即，代入方程，可得，整理得，所以曲线的轨迹方程为.（2）解：（i）设直线的方程为，，联立方程组，整理得，则，且，可得，所以，可得，所以，同理可得，又因为三点共线，可得，即，所以，所以.（ii）设直线的方程为，其中，由（i）知，直线的斜率为，则，当且仅当时，即时，等号成立，联立方程组，整理得，则，解得，若有最大值，则，又因为，所以实数的取值范围为，19.在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：①且（或，）；②在点的附近区域内两者都可导，且；③（可为实数，也可为），则．（1）用洛必达法则求；（2）函数（，），判断并说明的零点个数；（3）已知，，，求的解析式．参考公式：，．解：（1）（2），，所以，．当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，，，当时，，所以仅在时存在1个零点．（3），所以，，…，将各式相乘得，两侧同时运算极限，所以，即，令，原式可化为，又，由（1）得，故，由题意函数定义域为，综上，河北省邢台市部分高中2024届高三二模数学试题第I卷（选择题）一、选择题1.下列集合关系不成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A：因为，故A正确；B：由空集的定义可知，故B正确；C：由图可知C正确；D：因为空集中不包含任何元素，故D错误；故选：D.2.若，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以的虚部为，故选：D.3.已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则的第5项为（）A B. C.或1 D.或1【答案】B【解析】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，又，所以，解得或（舍），所以.故选：B4.已知平面内的向量在向量上的投影向量为，且，则的值为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因为，又，所以.所以：，所以.故选：A.5.已知函数的图像在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，.所以，由因为在，两个不同点处的切线相互平行，所以，又，所以，故CD错误；因为且，所以，故A不成立；当时，.故B成立.故选：B6.已知函数，则下列结论中正确的是（）A.函数的最小正周期B.函数的图象关于点中心对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在区间上单调递增【答案】D【解析】对于A，函数的最小正周期，A错误；对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误；对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误；对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，因此函数在区间上单调递增，D正确.故选：D.7.已知实数满足，则的最小值与最大值之和为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由题意知点在曲线上，曲线C关于原点以及坐标轴均对称；由于时，曲线的方程为，即，故结合曲线对称性，作出曲线C如图：而表示曲线C上的点到直线的距离，可知取最小值和最大值时，位于曲线在第一、三象限内的圆弧上，当时，曲线的方程为，即，此时d的最小值为，当时，曲线的方程为，即，此时d的最大值为，故的最小值与最大值之和为，所以的最小值与最大值之和为，故选：C．8.设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，过作，设，则，所以，设抛物线在点处的切线的方程为，由，消得到，由，得到，所以由题有，即，所以，又，所以，得到为的角平分线，又，所以，又均为直角三角形，所以，得到，所以，故答案：B.二、选择题9.下列命题为真命题的是（）A.若样本数据的方差为2，则数据的方差为17B.一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C.用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好D.以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2【答案】BCD【解析】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；对B：，则其第80百分位数是，故B正确；对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.故选：BCD.10.若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的值可以是（）A. B. C. D.2【答案】AB【解析】依题意，在上恒成立，当时，，令，则，，故当时，，当时，，故，故，则不等式成立；当时，令，因为，，故在内必有零点，设为，则，则，故，不合题意，舍去；综上所述，.故选：AB.11.把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，，P为线段上的动点，E为线段上的动点，MN为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（）A.当平面时，为的中点B.三棱锥外接球的表面积为C.若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为D.三棱锥体积的最大值为8【答案】ACD【解析】由题设，长轴长，短轴长，则，得分别是中点，而柱体中为矩形，连接，由，，∴四边形为平行四边形，，当平面时，平面，平面平面，则，有，中，是中点，则为的中点，A选项正确；，，，则中，，，外接圆半径为，，则平面，三棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为，B选项错误；点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，令，则，又，则，，，，由椭圆性质知，则当或时，的最大值为，C选项正确；由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，，令，且，则，，当时，有最大值，在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，则椭圆方程为，设，联立椭圆得，，，，令，，由对勾函数性质可知在上递增，，综上，三棱锥体积的最大值为，D选项正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、填空题12.已知，则______.【答案】3【解析】的通项为，所以展开式中的系数为，的通项为，所以展开式中的系数为，所以.故答案为：3.13.如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为________．【答案】【解析】由题意设，因为面积为，所以，根据题意有：，所以，则长方体的体积为，，令，有，所以时，，函数在上单调递增，时，，函数在上单调递减，所以当时，取得最大值，最大值为.故答案为：14.在中，，，点D与点B分别在直线AC的两侧，且，，则BD的长度的最大值是__________．【答案】【解析】如图，在中，由正弦定理：可得：，因，则，即.设，则，在中，设，由正弦定理，，则得：，由余弦定理可得：，即.在中，由余弦定理，,因，则，则当时，即时，，此时.故答案为：.四、解答题15.如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接，，则且，又且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面．过点作直线的垂线交于点，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为为直径，所以，所以，，．在等腰梯形中，，，所以，所以，，，，，所以，，，，设平面的法向量为，则所以令，则，，所以．设平面的法向量为，则，取．设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面的夹角的余弦值为．16.已知数列的前项和为，且．（1）求的通项公式；（2）求证：．（1）解：由，当时，，则，当时，，两式相减得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以．（2）证明：由（1）知．当时，；当时，，所以，所以，所以当时，．综上，．17.“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望；（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、