2024届天津市河东区高三下学期二模数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市河东区2024届高三下学期二模数学试卷一、选择题1.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴,又，∴，故选:D.2.已知，为非零实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，同号且非零，则，所以.当时，如，则，无法得到.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.函数的图像为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根据函数为奇函数，舍去B,C再根据x等于1时，函数值大于零，舍去D故选：A.4.已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，且，故；，，故，又因为函数在上单调递减，所以，故选：C5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（）A.的最小正周期为 B.C.是图象的一条对称轴 D.为奇函数【答案】C【解析】依题意，，函数的周期，A正确；，B正确；因，即不是图象的一条对称轴，C不正确；定义域为R，，为奇函数，D正确.故选：C6.已知直线与圆相交于两点，且，则实数（）A或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圆，即的半径为，圆心为，因为，所以点到直线的距离为，所以，解得或.故选：A.7.下列说法中正确的是（）A.具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本的中心，则B.数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5C.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大D.若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强【答案】D【解析】对于A,把代入，可得，解得，故A错误；对于B，数据3，4，2，8，1，5，8，6，即1，2，3，4，5，6，8，8的中位数为，故B错误；对于C，将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故C错误；对于D，若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，，因为，则甲组数据的线性相关性更强，故D正确．故选：D．8.如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为.设长方体的长、宽、高分别为，则.平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为.故选：A.9.双曲线的左、右焦点分别为，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】记与的周长分别为与，设与的内切圆半径为，则，根据，得，又与的周长之和为，所以．因为，又，所以可得．又，所以．由可得，即，化简得，所以离心率．故选：A二、填空题10.是虚数单位，复数_________．【答案】【解析】.故答案为：.11.在的展开式中的系数为，则实数__________．【答案】【解析】因为展开式的通项公式，令，则，即，故答案为：．12.甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P______，______.【答案】【解析】甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则，，，，，，，，，，，，（B）．故答案为：；．13.，，且恒成立，则的最大值为_____．【答案】4【解析】由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案为：4．14.如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________.【答案】6【解析】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，所以，，则；，显然，当为的中点时，，所以故答案为：6；．15.已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为____________.【答案】,,．【解析】依题意画出的图象如图所示：因为函数，所以，当直线与相切时，由，得，，解得，由图可知，①当时，函数的图象与的图象无交点，不满足题意；②当时，函数的图象与的图象交于点，不满足题意；③时，当经过函数图象上的点时，恰好经过函数图象上的点，则要使方根恰有2个不同的实数根，只需，即，故；④当时，函数图象与的图象有3个交点，不满足题意；⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意．综上，或．所以的取值范围为：,,．故答案为：,,．三、解答题16.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）设，，求和的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．（2）在中，由余弦定理及，，，有，故．可得．又因为，故．因此，，所以，17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中为棱上的点，且,为棱上的点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取中点，连接交于，设交于，由已知得四边形为边长是2的正方形，是中点，因为，，，所以，所以，所以、、、四点共圆，所以，所以，因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设，因为，所以，所以由（1）知平面的法向量为，，2，，，，，设平面的法向量为，，，，令，，2，，设二面角的大小为，，故平面与平面的夹角的余弦值．（3）解：因为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；18.已知椭圆的左焦点为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．解：（1）由题知，椭圆的右焦点为，且过点，结合椭圆定义，所以，所以．又，所以，则的标准方程为．（2）设直线的方程为，，，由，得，易知，所以，，直线的方程为，令得，，同理可得，所以，为定值．19.已知数列是公差不为零的等差数列，满足，，正项数列的前项和为，且．（1）求数列和的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；…；在和之间插入个数，，…，，使，，，，成等差数列．（ⅰ）求；（ⅱ）求的值．（1）设数列的公差为，由题意知，，解得，所以，因为数列的前项和为，且满足，当时，，当时，，经验证当时，也满足上式，综上得，．（2）（ⅰ）在和之间插入个数，，，因为，，，…，成等差数列，所以设公差为，，则．（ⅱ）设，则，设，即，，．所以，．20.已知函数，其中为正实数.（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有两个极值点，求证：（1）解：因为，所以，则,所以的值为1．（2）解：，函数的定义域为，若,即,则,此时的单调减区间为;若,即,则的两根为,此时的单调减区间为,,单调减区间为．（3）证明：由（2）知，当时，函数有两个极值点,且．因要证,只需证．构造函数，则，在上单调递增,又,且在定义域上不间断,由零点存在定理，可知在上唯一实根,且．则在上递减,上递增,所以的最小值为．因,当时,,则,所以恒成立．所以,所以，得证．天津市河东区2024届高三下学期二模数学试卷一、选择题1.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，∴,又，∴，故选:D.2.已知，为非零实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，同号且非零，则，所以.当时，如，则，无法得到.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A3.函数的图像为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】先根据函数为奇函数，舍去B,C再根据x等于1时，函数值大于零，舍去D故选：A.4.已知函数，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，且，故；，，故，又因为函数在上单调递减，所以，故选：C5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法不正确的是（）A.的最小正周期为 B.C.是图象的一条对称轴 D.为奇函数【答案】C【解析】依题意，，函数的周期，A正确；，B正确；因，即不是图象的一条对称轴，C不正确；定义域为R，，为奇函数，D正确.故选：C6.已知直线与圆相交于两点，且，则实数（）A或 B. C.或 D.【答案】A【解析】圆，即的半径为，圆心为，因为，所以点到直线的距离为，所以，解得或.故选：A.7.下列说法中正确的是（）A.具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本的中心，则B.数据3，4，2，8，1，5，8，6的中位数为5C.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大D.若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则甲组数据的线性相关性更强【答案】D【解析】对于A,把代入，可得，解得，故A错误；对于B，数据3，4，2，8，1，5，8，6，即1，2，3，4，5，6，8，8的中位数为，故B错误；对于C，将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故C错误；对于D，若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，，因为，则甲组数据的线性相关性更强，故D正确．故选：D．8.如图，已知长方体的体积为是棱的中点，平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为.设长方体的长、宽、高分别为，则.平面将长方体分割成两部分，则体积较小的一部分的体积为.故选：A.9.双曲线的左、右焦点分别为，Q为线段上一点，P为双曲线上第一象限内一点，，与的周长之和为，且它们的内切圆半径相等，则双曲线的离心率为（）A.2 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】记与的周长分别为与，设与的内切圆半径为，则，根据，得，又与的周长之和为，所以．因为，又，所以可得．又，所以．由可得，即，化简得，所以离心率．故选：A二、填空题10.是虚数单位，复数_________．【答案】【解析】.故答案为：.11.在的展开式中的系数为，则实数__________．【答案】【解析】因为展开式的通项公式，令，则，即，故答案为：．12.甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）.先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球.分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则P______，______.【答案】【解析】甲袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有4个红球，1个白球和1个黑球（除颜色外，球的大小、形状完全相同）．先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球．分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则，，，，，，，，，，，，（B）．故答案为：；．13.，，且恒成立，则的最大值为_____．【答案】4【解析】由于恒成立，且即恒成立只要的最小值即可，，故，因此故答案为：4．14.如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为__________.若在线段上有一个动点，则的最小值为_________.【答案】6【解析】由已知得正方形与正方形的中心重合，不妨设为，所以，，则；，显然，当为的中点时，，所以故答案为：6；．15.已知函数，，若方程恰有2个不同的实数根，则实数的取值范围为____________.【答案】,,．【解析】依题意画出的图象如图所示：因为函数，所以，当直线与相切时，由，得，，解得，由图可知，①当时，函数的图象与的图象无交点，不满足题意；②当时，函数的图象与的图象交于点，不满足题意；③时，当经过函数图象上的点时，恰好经过函数图象上的点，则要使方根恰有2个不同的实数根，只需，即，故；④当时，函数图象与的图象有3个交点，不满足题意；⑤当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意．综上，或．所以的取值范围为：,,．故答案为：,,．三、解答题16.在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）设，，求和的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得．（2）在中，由余弦定理及，，，有，故．可得．又因为，故．因此，，所以，17.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中为棱上的点，且,为棱上的点，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的的余弦值；（3）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：取中点，连接交于，设交于，由已知得四边形为边长是2的正方形，是中点，因为，，，所以，所以，所以、、、四点共圆，所以，所以，因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，设，因为，所以，所以由（1）知平面的法向量为，，2，，，，，设平面的法向量为，，，，令，，2，，设二面角的大小为，，故平面与平面的夹角的余弦值．（3）解：因为，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；18.已知椭圆的左焦点为，且过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的