2025届安徽省A10联盟高三下学期4月质检考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，所以．故选：B.2.已知向量，若，则实数（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，因为，所以，解得，故选:C.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，则．故选：D.4.已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】A【解析】对于A项，若，则或．对于B，C，D项，显然成立，故选:A.5.2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（）A.120种 B.150种 C.180种 D.300种【答案】B【解析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2．当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法；当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法，所以不同的安排方法有种．故选:B.6.记为数列的前项和，若为等比数列，则（）A.64 B.32 C.16 D.8【答案】A【解析】为等比数列，的首项为，第二项为，第三项，的公比为当时，，显然当时也符合，．故选：A.7.已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由题意，设，则，即．因为渐近线方程为，所以，因为，所以.故选：D.8.已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（）A.-e B.-1 C. D.【答案】C【解析】因为，所以，而，故，又在定义域上单调递增，则，于是．设，则，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得零分．9.一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（）A.该组数据的平均数为50 B.该组数据的中位数为50C.该组数据的方差为3 D.该组数据的第80百分位数为51.5【答案】AB【解析】对于A，平均数为，A正确；对于B，中位数为，B正确；对于C，方差为，C错误；对于D，由，得第80百分位数为52，D错误.故选：AB10.已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A. B.当时，C.可以为 D.周长的最小值是11【答案】ABD【解析】设直线AB的解析式为，联立，消去得，．由抛物线定义知，，，当且仅当时等号成立，故A正确；设点到直线AB的距离为，则，，即，解得或（负值舍去），则．故B正确；，故C错误；由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，的最小值为6，又周长的最小值是11，故D正确．故选：ABD.11.由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（）A.的图象关于直线对称 B.在区间上先增后减C.的值域为 D.在区间上有11个零点【答案】ACD【解析】易知“优生成函数”为，因为，所以关于直线对称，故A正确；显然，所以是函数的周期，所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，设，则，求导得，故在区间上单调递增，故B错误；由关于对称及是函数的周期知，只需考查时的值域，因为，在区间上单调递增，故当时，．当时，，求导得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故当时，，故C正确；易知在区间上，零点分别为，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________.【答案】【解析】因为圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，从而，解得，则圆的方程为，故圆的半径为．故答案为：13.在棱长为2的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【解析】如图，为的中点，平面，平面平面平面正方体的棱长为2，，，的外接圆半径为所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积．设圆柱的外接球半径为，则三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：14.已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________．【答案】【解析】函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，得，解得或或，则，同理可得，由，得，即，即，即，令，则这两条直线的斜率之和为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求周长的最大值．解：（1）由正弦定理及，得，，，．（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．16.如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．（1）证明：在四棱锥中，，，则，，在中，，则，即，于是，由平面，平面，得，又平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，而平面，则，又，因此是二面角的平面角，在中，，则，由是的中点，得，于是，所以平面与平面的夹角的正弦值为.17.已知椭圆的短轴长为，且离心率为．（1）求的方程；（2）若分别是左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，，解得椭圆的方程为．（2）假设存在点，使得，则．设，则，，直线BQ的方程为．点在直线BQ上，，点是直线上不同于点的一点，，解得点在椭圆上，，解得或，当时，，解得；当时，，解得，存在点，使得，点的坐标为或．18.某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为．（1）求该运动员第二次投篮命中的概率；（2）记该运动员前两次投篮命中的次数为，求的分布列和数学期望；（3）设第次投篮命中的概率为，求证：．（1）解：设事件“第次投篮命中”，则“第次投篮未命中”，，易知与是互斥事件，所以由全概率公式得该运动员第二次投篮命中的概率为．（2）解：由题意得，，的所有取值为0,1,2，,所以的分布列为012所以．（3）证明：由题意得，；当时，即，变形为，所以数列是以为公比的等比数列，又，于是，即，所以．19.已知曲线在点处切线方程为，其中为常数．（1）①求的值；②证明：只有一个零点．（2）若函数，且存在正实数，使得成立，求实数的取值范围．解：（1）①由题意得，，则，解得．易得，则，因为点在直线上，所以，解得．②由①知，，记，则，所以在上单调递增，又，所以由零点存在定理知，存在唯一零点，使得，故函数只有一个零点．（2）因为存在正实数，使得成立，所以存在正实数，使得成立，即存在正实数，使得成立．令，则，由（1）②知，有唯一解在上单调递增，所以当时，，当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，所以．由，得，即，即，亦即．易得在上单调递增，由，得，所以，即，所以，故，即的取值范围为.安徽省A10联盟2025届高三下学期4月质检考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，，所以．故选：B.2.已知向量，若，则实数（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，，因为，所以，解得，故选:C.3.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，则．故选：D.4.已知是两个不重合的平面，是两条不同的直线，则下列命题中错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】A【解析】对于A项，若，则或．对于B，C，D项，显然成立，故选:A.5.2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（）A.120种 B.150种 C.180种 D.300种【答案】B【解析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2．当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法；当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法，所以不同的安排方法有种．故选:B.6.记为数列的前项和，若为等比数列，则（）A.64 B.32 C.16 D.8【答案】A【解析】为等比数列，的首项为，第二项为，第三项，的公比为当时，，显然当时也符合，．故选：A.7.已知是双曲线上的任意一点，过作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，由题意，设，则，即．因为渐近线方程为，所以，因为，所以.故选：D.8.已知函数和，若存在实数，使得，则的最小值为（）A.-e B.-1 C. D.【答案】C【解析】因为，所以，而，故，又在定义域上单调递增，则，于是．设，则，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错的得零分．9.一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（）A.该组数据的平均数为50 B.该组数据的中位数为50C.该组数据的方差为3 D.该组数据的第80百分位数为51.5【答案】AB【解析】对于A，平均数为，A正确；对于B，中位数为，B正确；对于C，方差为，C错误；对于D，由，得第80百分位数为52，D错误.故选：AB10.已知为坐标原点，，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，则（）A. B.当时，C.可以为 D.周长的最小值是11【答案】ABD【解析】设直线AB的解析式为，联立，消去得，．由抛物线定义知，，，当且仅当时等号成立，故A正确；设点到直线AB的距离为，则，，即，解得或（负值舍去），则．故B正确；，故C错误；由抛物线的定义知，的最小值是点到抛物线准线的距离，的最小值为6，又周长的最小值是11，故D正确．故选：ABD.11.由函数相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”．已知，其优生成函数记为，则（）A.的图象关于直线对称 B.在区间上先增后减C.的值域为 D.在区间上有11个零点【答案】ACD【解析】易知“优生成函数”为，因为，所以关于直线对称，故A正确；显然，所以是函数的周期，所以在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，设，则，求导得，故在区间上单调递增，故B错误；由关于对称及是函数的周期知，只需考查时的值域，因为，在区间上单调递增，故当时，．当时，，求导得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，故当时，，故C正确；易知在区间上，零点分别为，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知圆上存在两点关于直线对称，则圆的半径为________.【答案】【解析】因为圆上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心，从而，解得，则圆的方程为，故圆的半径为．故答案为：13.在棱长为2的正方体中，是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【解析】如图，为的中点，平面，平面平面平面正方体的棱长为2，，，的外接圆半径为所求问题等价于求以为半径的底面圆，高为的圆柱的外接球表面积．设圆柱的外接球半径为，则三棱锥的外接球的表面积为．故答案为：14.已知函数，若过点的两条互相垂直的直线分别与的图象交于另外的点和，且四边形ABCD为正方形，则这两条直线的斜率之和为________．【答案】【解析】函数的图象关于点中心对称，不妨设直线AC的方程为，由，得，解得或或，则，同理可得，由，得，即，即，即，令，则这两条直线的斜率之和为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．15.已知的内角所对的边分别为，且．（1）求；（2）若，求周长的最大值．解：（1）由正弦定理及，得，，，．（2）设的外接圆半径为，由及正弦定理，得，．由余弦定理得，，，当且仅当时取等号，，周长的最大值为9．16.如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．（1）证明：在四棱锥中，，，则，，在中，，则，即，于是，由平面，平面，得，又平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，平面，而平面，则，又，因此是二面角的平面角，在中，，则，由是的中点，得，于是，所以平面与平面的夹角的正弦值为.17.已知椭圆的短轴长为，且离心率为．（1）求的方程；（2）若分别是左、右顶点，设直线与轴交于点，点是直线上不同于点的一点，直线BQ与交于另一点，直线AM与交于点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意得，，解得椭圆的方程为．（2）假设存在点，使得，则．设，则，，直线BQ的方程为．点在直线BQ上，，