2025届甘肃省白银市靖远县多校高三下学期5月冲刺联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考数学试题一、单选题1．2i1-3A．3+i B．-3+i C【答案】C【解析】2i故选：C.2．若sin20∘=m(0<m<1)，则sinA．1-2m2 BC．1-m2 D【答案】A【解析】sin130故选：A.3．已知集合M=x∣x>0，集合N=x∣x≥1，则（A．0∈M B．M∩N=MC．N⊆M D．M∪N=【答案】C【解析】因为集合M=x∣x>0，集合N=所以N⊆M，则M∩N=N,M∪N=M，故A，B，D项错误，C项正确.故选：C.4．已知向量a=2,0,b=m,1，且a与b的夹角为A．33 B．2 C．±3 D【答案】D【解析】由cosπ解得m=3或m=-3（因m>0故选：D.5．若a2-4a+6bA．a+1>b B．a+b>6C．logab>2 D【答案】D【解析】∵a∴a=2,b=3等号成立，∴a+1=b,a+b=5<6,log故选：D.6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A．63 B．79 C．59【答案】B【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x，则A13,0,2,M故异面直线A1M和BN夹角的余弦值为A1故选：B.7．暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（

）A．23 B．35 C．56【答案】C【解析】记事件A为“甲在第一科室实习”，事件B为“甲与乙不在同一科室实习”，∵样本点的总数为nΩ=C事件A,B同时发生的情况种数为nAB∴PA=n∴PB∣A故选：C.8．如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A,B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N，则四边形CMNFA．12 B．8 C．6 D．7【答案】D【解析】抛物线E:y2=4x的焦点F1,0，则直线因为四边形CMNF为梯形，且FC//设Ax1,所以y1+y作MK⊥x轴于点K，则MK=2因为直线AB的斜率为1，所以△FMC为等腰直角三角形，故FK=所以MN=所以四边形CMNF的面积为12故选：D.二、多选题9．已知一组样本点xi,yii=1,2,3,⋯,8组成一个样本，得到的经验回归方程为y=2x+a，且其平均数为x=1.5,y=3.25A．aB．增加两个样本点后x的平均数为1.2C．bD．在新的经验回归方程中，当x=2时，y的估计值为4.2【答案】ABD【解析】对于A，由y=2x+a过点(1.5,3.25)，得3.25=2×1.5+a对于B，增加两个样本点后x的平均数为1.5×8-1+110=1.2，对于C，增加两个样本点后y的平均数为3.25×8+1+310=3，则3=1.5×1.2+b，解得b对于D，新的经验回归方程为y=1.5x+1.2，当x=2时，y=4.2，D故选：ABD10．如图所示，将椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0A．长半轴长为6 B．短半轴长为2C．焦距为4 D．离心率为3【答案】AD【解析】∵2xy∴-x2+∵该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，∴a=6,b=2,∴椭圆M的焦距为∴椭圆M的离心率e=26=33,∴A，D故选：AD.11．已知函数fx=ax(x-b)2，且A．fxB．当b>0时，fC．当b<0时，fx的极小值为D．当a<0,b=3时，fx在区间a,3上的最小值为【答案】ACD【解析】∵当a=-1,b=0时，fx=-x3，函数∴函数fx无极值，故A∵当b>0时，fa且a2b>0,b-3a>0，则a2∵当b<0时，f'x=a∴当x<b或x>b3时，f'x<0则f(x)在(-∞,b),(b3,+∞)∴fx在x=b处取得极小值fb=0,∵当a<0,b=3时，同上分析知fx在a,1上为减函数，在1,3∴当x=1时，fx在区间a,3∴f(x)min=f1故选：ACD.三、填空题12．若函数fx=tanωx+π4【答案】3【解析】因为函数fx=tan所以T=πω=故答案为：3.13．已知数列an满足a1=a2=1,【答案】m-1【解析】∵a∴a将这n个式子的左右两边分别相加可得Sn∴S∴S故答案为：m-1.14．已知正四棱锥P-ABCD的高为3，侧面与底面所成的角为π3，球O1与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球O2,O3,O4,⋯，使得球On+1n∈N,n≥1与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球【答案】43π【解析】如图，在四棱锥P-ABCD中，点O为底面正方形的中心，则PO⊥底面ABCD，令E为CD的中点，连接PO,PE,OE，记球Oi的半径为ri，设四棱锥的高为h,M为球O1侧面与底面所成的角为∠PEO=∴∠OPE=π∴r1=13设Sn由于3rn=h-3rn+1=h-2S∴r∴球On的表面积为4故答案为：43π；四、解答题15．在如图所示的多面体中，DB⊥平面ABC,EA//BD,AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2,M是AB（1）求证：平面CEM⊥平面AEM.（2）求平面EMC与平面BCD夹角的余弦值.量，由面面夹角的余弦值的坐标运算求解即可.（1）证明∵AC=BC,M是AB的中点，∴CM⊥AB.∵DB⊥平面ABC,EA//∴EA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,∴CM⊥EA，∵EA∩AB=A,EA⊂平面AEM,AB⊂平面AEM，∴CM⊥平面AEM,∵CM⊂平面CEM,∴平面CEM⊥平面AEM.（2）解：以M为原点，分别以MB,MC所在直线为x,y轴，过点M且竖直向上的直线为z轴，建立如图所示的坐标系，则M0,0,0则ME=设平面EMC的法向量为m=则-2x1+z设平面BCD的法向量为n=则-2x2+2记平面EMC与平面BCD夹角为θ，∴cos∴平面EMC与平面BCD夹角的余弦值为6616．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sin（1）求A的值.（2）已知b=2,asin（i）求a的值；（ii）求△ABC的面积.解：（1）∵2sin∴2sin∵sin∴2sin∴2cos∵A∈0,（2）（i）∵a∴由正弦定理得a2∵b=2,∴由（1）知A=π∴由余弦定理得cosA=解得c=2,∴a（ii）△ABC的面积为1217．已知双曲线C:x2a2-（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l:y=kx+tkt≠0与双曲线C交于不同的两点P,Q，且在由点P,Q与M0,1构成的三角形中，∠MPQ=∠MQP，求实数t解：（1）∵渐近线方程为y=±2又∵a∴双曲线C的方程为x2（2）∵直线l与双曲线C交于不同的两点P,Q，由x22-∴Δ=16k2∴t2+1>2设Px1,∴y∴线段PQ的中点坐标为2kt1-2∴线段PQ的垂直平分线的方程为y-t1-2k又在由点P,Q与M0,1构成的三角形中，∠MPQ=∠MQP∴点M不在直线PQ上，而是在线段PQ的垂直平分线上，∴1≠t,1=3t又t2∴3t<1且t2+3t>0，解得t<-3，或∴实数t的取值范围是-∞18．已知函数fx=x+asinx,gx=bln（1）求实数b的值.（2）当a=-1时，证明：当x>0时，fx（3）当a=13时，若存在0<x1<（1）解：∵gx∵曲线y=gx在点1,0处的切线方程为y=-x+1,∴（2）证明：∵当a=-1时，fx∴f'x∴fx在0,+∴当x>0时，fx（3）证明：∵当a=13时，当0<x1<∴x得x2由（2）可知，当x>0时，fx∴x2-∴ln设Mx则M'∴当x>1时，Mx>M1∴ln∴4⋅x∴x19．若数列an1≤n≤k,n∈N*,k∈N*满足an∈0,1，则称数列an为k项0-1数列.集合M（1）求集合Mk（2）求概率PX=m（3）若X的期望EX>16，求k解：（1）∵根据数列中1的个数可得集合Mk中元素的个数为∴集合Mk中共有2k（2）∵数列an,b∴X不能取0,X的所有可能取值为1,2,⋯,k.∵当X=mm=1,2,⋯,k时，数列an,bn∴从k项中选择m项，an和bn在m项中的某一项数字相同，其余k-m∵X=i=1kai-bi∴概率PX=m（3）∵随机变量X的分布列为X123...kPCCC...CmC∴E=k令ck=k⋅∴数列ck是递增函数∵c∴c31甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考数学试题一、单选题1．2i1-3A．3+i B．-3+i C【答案】C【解析】2i故选：C.2．若sin20∘=m(0<m<1)，则sinA．1-2m2 BC．1-m2 D【答案】A【解析】sin130故选：A.3．已知集合M=x∣x>0，集合N=x∣x≥1，则（A．0∈M B．M∩N=MC．N⊆M D．M∪N=【答案】C【解析】因为集合M=x∣x>0，集合N=所以N⊆M，则M∩N=N,M∪N=M，故A，B，D项错误，C项正确.故选：C.4．已知向量a=2,0,b=m,1，且a与b的夹角为A．33 B．2 C．±3 D【答案】D【解析】由cosπ解得m=3或m=-3（因m>0故选：D.5．若a2-4a+6bA．a+1>b B．a+b>6C．logab>2 D【答案】D【解析】∵a∴a=2,b=3等号成立，∴a+1=b,a+b=5<6,log故选：D.6．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A．63 B．79 C．59【答案】B【解析】以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x，则A13,0,2,M故异面直线A1M和BN夹角的余弦值为A1故选：B.7．暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（

）A．23 B．35 C．56【答案】C【解析】记事件A为“甲在第一科室实习”，事件B为“甲与乙不在同一科室实习”，∵样本点的总数为nΩ=C事件A,B同时发生的情况种数为nAB∴PA=n∴PB∣A故选：C.8．如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交抛物线E于A,B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C,MN⊥y轴于点N，则四边形CMNFA．12 B．8 C．6 D．7【答案】D【解析】抛物线E:y2=4x的焦点F1,0，则直线因为四边形CMNF为梯形，且FC//设Ax1,所以y1+y作MK⊥x轴于点K，则MK=2因为直线AB的斜率为1，所以△FMC为等腰直角三角形，故FK=所以MN=所以四边形CMNF的面积为12故选：D.二、多选题9．已知一组样本点xi,yii=1,2,3,⋯,8组成一个样本，得到的经验回归方程为y=2x+a，且其平均数为x=1.5,y=3.25A．aB．增加两个样本点后x的平均数为1.2C．bD．在新的经验回归方程中，当x=2时，y的估计值为4.2【答案】ABD【解析】对于A，由y=2x+a过点(1.5,3.25)，得3.25=2×1.5+a对于B，增加两个样本点后x的平均数为1.5×8-1+110=1.2，对于C，增加两个样本点后y的平均数为3.25×8+1+310=3，则3=1.5×1.2+b，解得b对于D，新的经验回归方程为y=1.5x+1.2，当x=2时，y=4.2，D故选：ABD10．如图所示，将椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0A．长半轴长为6 B．短半轴长为2C．焦距为4 D．离心率为3【答案】AD【解析】∵2xy∴-x2+∵该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，∴a=6,b=2,∴椭圆M的焦距为∴椭圆M的离心率e=26=33,∴A，D故选：AD.11．已知函数fx=ax(x-b)2，且A．fxB．当b>0时，fC．当b<0时，fx的极小值为D．当a<0,b=3时，fx在区间a,3上的最小值为【答案】ACD【解析】∵当a=-1,b=0时，fx=-x3，函数∴函数fx无极值，故A∵当b>0时，fa且a2b>0,b-3a>0，则a2∵当b<0时，f'x=a∴当x<b或x>b3时，f'x<0则f(x)在(-∞,b),(b3,+∞)∴fx在x=b处取得极小值fb=0,∵当a<0,b=3时，同上分析知fx在a,1上为减函数，在1,3∴当x=1时，fx在区间a,3∴f(x)min=f1故选：ACD.三、填空题12．若函数fx=tanωx+π4【答案】3【解析】因为函数fx=tan所以T=πω=故答案为：3.13．已知数列an满足a1=a2=1,【答案】m-1【解析】∵a∴a将这n个式子的左右两边分别相加可得Sn∴S∴S故答案为：m-1.14．已知正四棱锥P-ABCD的高为3，侧面与底面所成的角为π3，球O1与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球O2,O3,O4,⋯，使得球On+1n∈N,n≥1与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球【答案】43π【解析】如图，在四棱锥P-ABCD中，点O为底面正方形的中心，则PO⊥底面ABCD，令E为CD的中点，连接PO,PE,OE，记球Oi的半径为ri，设四棱锥的高为h,M为球O1侧面与底面所成的角为∠PEO=∴∠OPE=π∴r1=13设Sn由于3rn=h-3rn+1=h-2S∴r∴球On的表面积为4故答案为：43π；四、解答题15．在如图所示的多面体中，DB⊥平面ABC,EA//BD,AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2,M是AB（1）求证：平面CEM⊥平面AEM.（2）求平面EMC与平面BCD夹角的余弦值.量，由面面夹角的余弦值的坐标运算求解即可.（1）证明∵AC=BC,M是AB的中点，∴CM⊥AB.∵DB⊥平面ABC,EA//∴EA⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,∴CM⊥EA，∵EA∩AB=A,EA⊂平面AEM,AB⊂平面AEM，∴CM⊥平面AEM,∵CM⊂平面CEM,∴平面CEM⊥平面AEM.（2）解：以M为原点，分别以MB,MC所在直线为x,y轴，过点M且竖直向上的直线为z轴，建立如图所示的坐标系，则M0,0,0则ME=设平面EMC的法向量为m=则-2x1+z设平面BCD的法向量为n=则-2x2+2记平面EMC与平面BCD夹角为θ，∴cos∴平面EMC与平面BCD夹角的余弦值为6616．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sin（1）求A的值.（2）已知b=2,asin（i）求a的值；（ii）求△ABC的面积.解：（1）∵2sin∴2sin∵sin∴2sin∴2cos∵A∈0,（2）（i）∵a∴由正弦定理得a2∵b=2,∴由（1）知A=π∴由余弦定理得cosA=解得c=2,∴a（ii）△ABC的面积为1217．已知双曲线C:x2a2-（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l:y=kx+tkt≠0与双曲线C交于不同的两点P,Q，且在由点P,Q与M0,1构成的三角形中，∠MPQ=∠MQP，求实数t解：（1）∵渐近线方程为y=±2又∵a∴双曲线C的方程为x