2025届河北省NT20名校联合体高三下学期第二次调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省NT20名校联合体2025届高三下学期第二次调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，，则，故．故选：B．2.复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故的虚部是.故选：A．3.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果，向上的点数之和为4的倍数，共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况，所以概率为．故选：B．4.等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为，所以右焦点到渐近线的距离为.故选：C．5.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，则，则，故选：C．6.已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高，上底面半径，下底面半径，设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以，所以.故选：D．7.已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因为恒成立，所以为的一条对称轴，那么，所以，解得，，与的图象如图所示：由图可知，曲线与的交点个数为4．故选：B8.若存在，使得成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，则，对求导，所以，当时，，，所以，在上单调递减．当时，，当时，，所以的值域是．又,,，所以，那么．设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（）附：若，则，，．A.这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36B.这300份问卷中得分超过88分的约有48份C.D.若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布【答案】BC【解析】由题意知，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据期望是，方差是，标准差是，所以A错误；由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选：BC．10.已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（）A.是等比数列 B.是等比数列C. D.【答案】AB【解析】设，则，则，解得或，当时，，因，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以①，故A正确；当时，，因，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以②，故B正确；①②两式作差得，，故C错误；数列的前项和为，数列的前项和为，则，故D错误．故选：AB．11.已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（）A.B.若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2C.若，则恒过点D.若直线过点F，则【答案】ACD【解析】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确；对于B，设，则，两式作差得，所以直线的斜率为，故B错误；对于对于C，设：，联立直线和抛物线，则，，，所以．因为，所以，所以，解得，所以直线恒过点，故C正确；对于D，由A得，可设：，联立直线和抛物线，则，，，所以，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，，且，则_______．【答案】【解析】由题意得，，又，则，解得．故答案为：．13.的展开式中的系数为_______（用数字作答）．【答案】120【解析】的展开式的通项式，当时，，当时，，的展开式中含的系数为．故答案为：120．14.已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则________．【答案】-2025【解析】由为偶函数得，则．两边同时求导，得①．所以的图象关于点对称，即，由的图象关于点对称，得②．①-②，得，所以，又，所以，即的周期为4，，，．故答案为-2025．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，，求B；（2）若，求的面积解：（1）由正弦定理可知，解得．又因为，所以或．代入均可满足，所以或．（2）由，，均大于0，所以A，B均为锐角，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，，故，又，所以只能是，即，此时，即为等腰直角三角形，所以．面积．16.为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．（1）试求频率分布直方图中值；（2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；（3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望．解：（1）由频率分布直方图可知，，解得．（2）设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A，“该学生是‘运动爱好者’”为事件B，则，，所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为.（3）由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人，所以．，，．则的分布列为012则．17.已知平行六面体如图所示，，．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明：在平行六面体中，因为，设，则，，因为，所以，所以，，在中，，，所以，又因为平面，所以平面；（2）解：由（1）已得，且平面，故平面，故可以D坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立坐标系，则，，，，，，，，设平面法向量为，则，则，令，则，因为，，则，则，所以，又，设平面的法向量为，则，则，令，则，因，设二面角的平面角为，由图知为锐角，则，即二面角的余弦值是.18.平面直角坐标系中，圆A的方程为，点B的坐标为，点P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交半径于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．（1）求点Q的轨迹E的方程；（2）过点A作一条直线与点Q的轨迹E相交于M，N两点，满足，点H满足，问：点H是否在一条定直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，请说明理由．解：（1）如图，由题意知所以Q点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．设椭圆的方程为，则，，，所以椭圆方程为．（2）如图，解法一：设，，，，由可得，则，即①由可得则，即②所以，整理得③当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立得，消去得，，，代入③得，又因为，所以．直线斜率不存在时，不妨取，，则，，则，，解得，综上可得，点在一条定直线上，直线方程为．解法二：设，，，，由可得，则，即①由可得，则，即②所以，整理得③当直线的斜率不存在或不为0时，设直线方程为，联立，消去得，，代入③得当直线的斜率为0时，，，则，恒成立，点H在上也成立，综上可得，点H在一条定直线上，直线方程为．19.对数运算可以使一些复杂的数学计算变得简单，比如函数：，通常为了便于求导，我们可以作变形：．（1）求的单调区间；（2）已知．①若数列满足，，求数列的通项公式；②求证：．解：（1），令，解得，令，解得所以的单调递增区间为，递减区间为（2）①由题意可知，，那么两边同时取对数可得所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，所以，所以②设函数，当时，，当时，，所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减则，即在上恒成立所以，即．河北省NT20名校联合体2025届高三下学期第二次调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题知，，则，故．故选：B．2.复数，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故的虚部是.故选：A．3.抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果，向上的点数之和为4的倍数，共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况，所以概率为．故选：B．4.等轴双曲线C过点，则双曲线C的右焦点到其中一条渐近线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】设等轴双曲线方程为，代入点，可得，所以双曲线方程为，所以双曲线的右焦点为，渐近线方程为，所以右焦点到渐近线的距离为.故选：C．5.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，则，则，故选：C．6.已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为60°，那么圆台的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高，上底面半径，下底面半径，设外接球的半径为，球心到上底面的距离为，则，解得，所以，所以.故选：D．7.已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】因为恒成立，所以为的一条对称轴，那么，所以，解得，，与的图象如图所示：由图可知，曲线与的交点个数为4．故选：B8.若存在，使得成立，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，则，对求导，所以，当时，，，所以，在上单调递减．当时，，当时，，所以的值域是．又,,，所以，那么．设，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某汽车4S店在周末举行新车发布会，并向所有到场的观众发放了一份相关的问卷．该发布会结束后，共收回问卷300份．据统计，这300份问卷的得分（满分为100分）近似服从正态分布，下列说法正确的是（）附：若，则，，．A.这300份问卷得分数据的期望是82，标准差是36B.这300份问卷中得分超过88分的约有48份C.D.若在其他4S店举行该发布会并发放问卷，得到的问卷得分数据也服从正态分布【答案】BC【解析】由题意知，该问卷得分数据服从正态分布，可得数据期望是，方差是，标准差是，所以A错误；由，可得300×0.1585≈48，所以该问卷中得分超过88分的约有48份，所以B正确；由正态分布概率密度曲线的对称性，可得，所以C正确；由同一份问卷发放到不同4S店，得到的数据不一定相同，所以D错误．故选：BC．10.已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（）A.是等比数列 B.是等比数列C. D.【答案】AB【解析】设，则，则，解得或，当时，，因，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，所以①，故A正确；当时，，因，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以②，故B正确；①②两式作差得，，故C错误；数列的前项和为，数列的前项和为，则，故D错误．故选：AB．11.已知抛物线E：的焦点为F，准线交y轴于点P，抛物线E上一点到点F的距离为6，点A，B是抛物线C上的两点，点M是的中点，则下列说法正确的是（）A.B.若中点M的横坐标为4，则直线的斜率为2C.若，则恒过点D.若直线过点F，则【答案】ACD【解析】对于A，由题意可知，点到点F的距离为，解得，故A正确；对于B，设，则，两式作差得，所以直线的斜率为，故B错误；对于对于C，设：，联立直线和抛物线，则，，，所以．因为，所以，所以，解得，所以直线恒过点，故C正确；对于D，由A得，可设：，联立直线和抛物线，则，，，所以，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知平面向量，，且，则_______．【答案】【解析】由题意得，，又，则，解得．故答案为：．13.的展开式中的系数为_______（用数字作答）．【答案】120【解析】的展开式的通项式，当时，，当时，，的展开式中含的系数为．故答案为：120．14.已知定义在上的函数的导函数为，为偶函数，且，则________．【答案】-2025【解析】由为偶函数得，则．两边同时求导，得①．所以的图象关于点对称，即，由的图象关于点对称，得②．①-②，得，所以，又，所以，即的周期为4，，，．故答案为-2025．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）若，，求B；（2）若，求的面积解：（1）由正弦定理可知，解得．又因为，所以或．代入均可满足，所以或．（2）由，，均大于0，所以A，B均为锐角，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，，故，又，所以只能是，即，此时，即为等腰直角三角形，所以．面积．16.为了落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划，现对某高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间（单位：分钟）的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”．（1）试求频率分布直方图中值；（2）用样本估计总体，已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟，求该学生是“运动爱好者”的概率；（3）从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学，用随机变量表示每天平均运动时间在分钟之间的学生数，求的分布列及期望．解：（1）由频率分布直方图可知，，解得．（2）设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A，“该学生是‘运动爱好者’”为事件B，则，，所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为.（3）由题意可知，样本中共有“运动爱好者”学生25人，运动时间在分钟之间的学生有5人，所以．，，．则的分布列为012则．17.已知平行六面体如图所示，，．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明：在平行六面体中，因为，设，则，，因为，所以，所以，，在中，，，所以，又因为平面，所以平面；（2）解：由（1）已得，且平面，故平面，故可以D坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立坐标系，则，，，，，，，，设平面