2025届河南省豫东部分名校高三下学期模拟测试（三）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省豫东部分名校2025届高三下学期模拟测试（三）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的实部与虚部之和为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由复数，可得，则，所以复数的实部与虚部之和为.故选：D.2.如表是某公司员工月收入的资料.月收入/元45000180001000055005000340033001000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）A.平均数和众数 B.平均数和中位数C.中位数和众数 D.平均数和方差【答案】C【解析】公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平；月收入由小到大排列，3400为第13个数，因此该公司员工月收入的中位数为3400元；在25名员工中在此数据及以上的有13人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平，而25名员工月收入的平均数元受极端数据45000、18000等影响，平均数偏离多数人的收入水平，而方差是表征数据波动大小的量，所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数.故选：C3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C．4.已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，因为，所以，即，由于，所以，由可知，所以，而，由可知，即的方程为．故C正确.故选：C.5.已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，，由，得，即，当且仅当同向共线时取等号，于，解得，所以的最大值为.故选：B6.存在三个实数，使其分别满足下述两个等式：（1）（2）其中M表示三个实数中的最小值，则（）A.M的最大值是 B.M的最大值是C.M的最小值是 D.M的最小值是【答案】B【解析】由已知得，中必有个正数，1个负数，设，，则，因为，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故选：B．7.对于两个实数，我们定义：，有下列说法：①；②；③若，则.其中说法正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】两个实数，.①，故①错误；②，故②正确；③若，由定义可得，令，，则等式左边，右边，故左边右边，即满足条件，但当，时，,即，不满足，故③错误；综上所述，三个说法中正确的只有1个.故选：B.8.已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的定义域是，，令，所以，令，解得；令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增．要使恰有两个极值点，则，解得，此时，所以在上有唯一的零点，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以在上有唯一的零点，综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号，所以a的取值范围是．故选：D．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减【答案】ABD【解析】因为点在函数的图象上，所以，且，所以.故A正确；因为，由，，得函数的对称中心为：，，当时，得对称中心为：，故B正确；.其对称轴为：，，所以不是函数的对称轴，故C错误；，由，，.所以函数的单调减区间为：，，因为，，所以函数在区间上单调递减，故D正确.故选：ABD10.设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（）A.若，则是环B.若，则存在的一个环，含有8个元素C.若，则存在的一个环，含有4个元素且D.若，则存在的一个环，含有7个元素且【答案】ABC【解析】由题意知：①，②若，则且，对于A，全集且，满足且当时，可得且，所以A正确；对于B，由的子集，共8个元素，若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确；对于C，若，可得，所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确；对于D，若，可得，，，，，且，所以集合中至少有8个元素，所以D错误.故选：ABC.11.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：若，则）A.B.C.D.取得最大值时，的估计值为53【答案】ACD【解析】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确；对于B，由，得，又，于是，即，因此，即，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，，设，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值时，的估计值为53，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为_________.【答案】【解析】由题意知，，，所以，解得；又，所以，所以椭圆的离心率为．故答案为：．13.在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，，则的值为____．【答案】【解析】因为，所以＝，又，故解方程组，得由余弦定理得，解得.故答案为：14.已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是__________；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为__________．【答案】①.②.【解析】圆台外接球的球心必在圆台的轴线上，因为在圆台外，则球心在下底面下方，设到下底面的距离为，则，所以，所以，所以圆台的外接球表面积为，易知在时单调递减，且，所以．故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由，得，即，当时，，两式相减得，化简得，当时，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，所以，所以.16.已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．（1）求E的方程；（2）设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程．解：（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0，此时直线AB、CD均与抛物线相交，设，则，联立方程，消去可得，则，可得，若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）可知：，，，且，则，即，同理可得：，由题意可知：，则，因为，解得，则，，即，.17.如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；（2）若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：折叠前，因为四边形是菱形，所以，由于分别是边，的中点，所以，所以，折叠过程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）解：存在，理由如下：当平面平面时，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知，，设，则，平面的法向量为，，设平面的法向量为，则，故可设，设平面与平面所成角为，由于平面与平面所成角的余弦值为，所以，解得,所以当是的靠近的三等分点时，平面与平面所成角的余弦值为.18.在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为．（1）若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球条件下，求第3次也没有摸到红球的概率；（2）某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案：方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止．方案二：从袋中进行有放回摸球次．分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理．解：（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，则，，所以；（2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，则的可能取值为：，且，，，，，，所以的分布列为：01则，“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为，所以的分布列为：，即的分布列为：01所以，则，因为，，所以“方案二”估计的值更合理.19.已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系.（1）若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由；①；②.（2）若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称；（3）已知函数与具有关系，令.①判断函数的单调性；②证明：.解：（1）根据题意知的定义域为，值域为，①的定义域为，值域为，满足（i）（ii），，所以与①不具有关系；②的定义域为，值域为，满足（i）（ii），，满足（iii），所以与②具有关系.（2）设上任一点为，上任意一点为则，若与具有关系，则，则，，这就意味着与互为反函数，则互为反函数的图象关于直线对称；（3）①由(2)知若与具有关系，则与互为反函数，函数，则函数，，对求导，可得，令，，当时，，单调递减，当时，单调递增，所以，所以，则单调递增.②根据题意知，当时，，令，则，令，则，所以单调递增，则，所以，则单调递增，则，所以，则河南省豫东部分名校2025届高三下学期模拟测试（三）数学试题一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则的实部与虚部之和为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】由复数，可得，则，所以复数的实部与虚部之和为.故选：D.2.如表是某公司员工月收入的资料.月收入/元45000180001000055005000340033001000人数111361111能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）A.平均数和众数 B.平均数和中位数C.中位数和众数 D.平均数和方差【答案】C【解析】公司共有员工1+1+1+3+6+1+11+1=25人，该公司员工月收入的众数为3300元，在25名员工中有13人这此数据之上，因此众数能够反映该公司全体员工月收入水平；月收入由小到大排列，3400为第13个数，因此该公司员工月收入的中位数为3400元；在25名员工中在此数据及以上的有13人，则中位数也能够反映该公司全体员工月收入水平，而25名员工月收入的平均数元受极端数据45000、18000等影响，平均数偏离多数人的收入水平，而方差是表征数据波动大小的量，所以能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是中位数和众数.故选：C3.“其身正，不令而行；其身不正，虽令不从”出自《论语·子路》．意思是：当政者本身言行端正，不用发号施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻；如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守．根据上述材料，“身正”是“令行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】其身正，不令而行，即身正令行，故“身正”是“令行”的充分条件；又其身不正，虽令不从，即令行身正，所以“身正”是“令行”的必要条件，综合知“身正”是“令行”的充要条件，故选：C．4.已知抛物线，过的焦点的直线交于两点，交的准线于，且，则的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记的准线与轴交点为，过分别作准线的垂线，垂足为，因为，所以，即，由于，所以，由可知，所以，而，由可知，即的方程为．故C正确.故选：C.5.已知平面向量满足，与的夹角为且，则的最大值为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】依题意，，由，得，即，当且仅当同向共线时取等号，于，解得，所以的最大值为.故选：B6.存在三个实数，使其分别满足下述两个等式：（1）（2）其中M表示三个实数中的最小值，则（）A.M的最大值是 B.M的最大值是C.M的最小值是 D.M的最小值是【答案】B【解析】由已知得，中必有个正数，1个负数，设，，则，因为，所以，所以，即，所以，由得，，即，所以，故选：B．7.对于两个实数，我们定义：，有下列说法：①；②；③若，则.其中说法正确的有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】两个实数，.①，故①错误；②，故②正确；③若，由定义可得，令，，则等式左边，右边，故左边右边，即满足条件，但当，时，,即，不满足，故③错误；综上所述，三个说法中正确的只有1个.故选：B.8.已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的定义域是，，令，所以，令，解得；令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增．要使恰有两个极值点，则，解得，此时，所以在上有唯一的零点，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，所以，所以在上有唯一的零点，综上，当时，在上有两个不同的零点，且零点两侧的函数异号，所以a的取值范围是．故选：D．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数在上单调递减【答案】ABD【解析】因为点在函数的图象上，所以，且，所以.故A正确；因为，由，，得函数的对称中心为：，，当时，得对称中心为：，故B正确；.其对称轴为：，，所以不是函数的对称轴，故C错误；，由，，.所以函数的单调减区间为：，，因为，，所以函数在区间上单调递减，故D正确.故选：ABD10.设是一个非空集合，是的子集构成的集合，如果同时满足：①，②若，则且，那么称是的一个环.则下列说法正确的是（）A.若，则是环B.若，则存在的一个环，含有8个元素C.若，则存在的一个环，含有4个元素且D.若，则存在的一个环，含有7个元素且【答案】ABC【解析】由题意知：①，②若，则且，对于A，全集且，满足且当时，可得且，所以A正确；对于B，由的子集，共8个元素，若是的子集构成的集合，所以集合有8个元素，所以B正确；对于C，若，可得，所以是个环，其中中含有4个元素，所以C正确；对于D，若，可得，，，，，且，所以集合中至少有8个元素，所以D错误.故选：ABC.11.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（）（参考数据：若，则）A.B.C.D.取得最大值时，的估计值为53【答案】ACD【解析】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确；对于B，由，得，又，于是，即，因此，即，则，B错误；对于C，，C正确；对于D，，设，，解得，，由，解得，即，所以取得最大值时，的估计值为53，D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设椭圆：的左、右焦点分别为，，过作平行于轴的直线交于两点，若，，则C的离心率为_________.【答案】【解析】由题意知，，，所以，解得；又，所以，所以椭圆的离心率为．故答案为：．13.在中，内角所对的边分别为.已知的面积为，，，则的值为____．【答案】【解析】因为，所以＝，又，故解方程组，得由余弦定理得，解得.故答案为：14.已知圆台的上､下底半径分别为和，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围是__________；若，圆台的高为，且，则圆台外接球表面积的最大值为__________．【答案】①.②.【解析】圆台外接球的球心必在圆台的轴线上，因为在圆台外，则球心在下底面下方，设到下底面的距离为，则，所以，所以，所以圆台的外接球表面积为，易知在时单调递减，且，所以．故答案为：．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.解：（1）由，得，即，当时，，两式相减得，化简得，当时，，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）由（1）知，所以，所以.16.已知抛物线的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．（1）求E的方程；（2）设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且，求直线AB和CD的方程．解：（1）由题意可知：，直线的斜率存在且不为0，此时直线AB、CD均与抛物线相交，设，则，联立方程，消去可得，则，可得，若，根据抛物线的对称性不妨令直线的倾斜角为，即，可得，解得，所以抛物线的方程为.（2）由（1）可知：，，，且，则，即，同理可得：，由题意可知：，则，因为，解得，则，，即，.17.如图1，在边长为4的菱形中，，点M，N分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；（2）若平面平面，线段上是否存在一点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明：折叠前，因为四边形是菱形，所以，由于分别是边，的中点，所以，所以，折叠过程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）解：存在，理由如下：当平面平面时，由于平面平面，平面，，所以平面，由