2025届湖南省娄底市涟源市高三下学期冲刺模拟考试(一)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省娄底市涟源市2025届高三下学期冲刺模拟考试(一)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，得，则，所以，所以．故选：B．2.已知命题，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以的否定为，．故选：C．3.已知函数在上单调递增，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递增，所以只需要解得．故选：D．4.设，则“”是“复数为实数”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若复数为实数，则，即．又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件．故选：C．5.已知双曲线经过点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵双曲线经过点，∴．解得，又∵，则．∴双曲线的离心率．故选：C．6.一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出为2，上、下旋转面的面积比是，则的长度是（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】设与的交点为，，，则，，．由是直角，得，即，得．①又由上、下旋转面的面积比是，得，即，所以．②①②两式联立，整理得，解得（舍负值），可得，则．故选:A．7.已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】函数，，其图象的对称中心为点，代入直线方程得．则，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9．故选：D8.已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，作出函数的大致图象，如图．令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根；当时，关于的方程无实数根；当或时，关于的方程只有1个实数根．因为关于的方程有3个不同实数根，所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内．当为方程的根时，，且方程的另一根为．当时，方程的另一个根为，不符合题意；当时，方程的另一个根为，不符合题意．当为方程的根时，有，则或．当时，方程的另一个根为，不符合题意；当时，方程的另一个根为，不符合题意．所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内．令，则Δ>0,h(0)>0,h1<0,即综上所述，实数的取值范围是．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确；对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确；对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误；对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数图象，故D正确．故选：ABD10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）A.若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为B.若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C.若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D.若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差【答案】BC【解析】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有，解得，所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，所以公寓采光效果不变，故B正确；对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，且，所以，即,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故C正确；对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，又因为，所以，因为，所以,当时，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故D错误.故选：BC.11.数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）A.为等差数列 B.可能为常数列C.若为递增数列，则 D.若为递增数列，则【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以当时，；当时，．显然当时，上式也成立，所以．当时，因为，所以是以为公差的等差数列，故A正确；对于B，当时，为常数列，故B正确；对于C，若为递增数列，则，即，故C正确；对于D，若为递增数列，由可得，由，需使，即，因，故可得，解得，故，即D错误．故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数______．【答案】（答案不唯一）【解析】正弦函数的图象是周期为的波浪线.而在处，，，切线方程为，即.在处，，，切线方程为，即.可以看到和这两点处的切线重合，所以有自公切线.故答案为：（答案不唯一）.13.设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______．【答案】或【解析】因为，即，所以，且，即．由，得，因为向量在上的投影向量为，由题意得，所以．设向量与的夹角为，因为，所以，所以，即与的夹角是．所以与的夹角是或.故答案为：或.14.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】因为，所以，令，则，可得为奇函数，又因为，，当且仅当，即时等号成立；，当且仅当，即时等号成立；所以，可得在上为增函数，因为，所以在上恒成立，当时，显然成立；当，需满足，解得，综上，，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在矩形中，是的中点，连接交于点，将沿直线折起，使点到点的位置，刚好点在平面内的正投影是点．过作线段平行且等于，连接，，，．设，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：由题意，，又，，∴，∴，∴，∴．又∵平面，平面，∴．∵，，平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：由（1）可知，，，两两垂直．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．因为，所以，所以，，．设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.（1）在学习三角函数时，某校数学学习小组的同学们通过研究得到这样两个公式：①；②．请你在①和②中任选一个进行证明．（如果选择两个分别进行证明，则按第一个证明过程给分）（2）在中，内角，，所对的边分则为，，，且，若的面积为，底边上的高为1，求的周长．（1）若选①，证明如下：．若选②，证明如下：，（2）解：由题意得，由正弦定理得，所以，即，因为在中，，所以．又因为，所以解得．因为面积为，所以，解得．由，解得．由余弦定理得，即，则，即，解得．故的周长为.17.已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，右焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为．过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与在轴上方的部分分别交于点，．（1）当为的上顶点时，求直线的斜率；（2）求四边形的面积的最大值．（1）解：由题意得解得所以椭圆的方程为，椭圆的上顶点坐标为，即．因为直线的斜率为，，所以直线的方程为．将其代入，整理得，解得或，因点在轴上方，所以．所以直线的斜率为．（2）由（1）及题意知，椭圆，，．如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点，和，，由对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是平行四边形面积的一半．显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线的方程为．代入，整理得，显然，设，，则于是．又点到直线的距离，所以四边形的面积．令，则，且，所以．因为函数在上单调递增，所以当时，取得最小值4，此时取得最大值318.“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负．甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为，甲、乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为，．现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗．经过数轮对抗后，当一方球队比另一方球队多进2个球时，比赛结束．假定甲、乙球队互不影响，各轮结果也互不影响．记在1轮对抗中，甲队踢进足球为事件，乙队踢进足球为事件．（1）求，；（2）经过1轮对抗，甲队与乙队踢进足球数之差为，求的概率分布列及数学期望；（3）求恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率．解：（1）依题意，，．（2）依题意，的可能取值为，，，，，，所以的分布列为01所以．（3）若乙队踢进0个球，则甲队比乙队多进2个球，且第4轮甲队进球，其概率为；若乙队踢进1个球，则甲队比乙队多进2个球，且第4轮甲队进球，乙队未进球，前3轮中不出现甲在前2轮进2球，乙在第3轮进球，其概率为；若乙队踢进2个球，则甲队比乙队多进2个球，且第4轮甲队进球，乙队未进球，其概率为，所以恰好在第4轮对抗后比赛结束且甲队获胜的概率为.19.请同学们阅读以下三段材料：①若函数导数为，则的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作；三阶导数的导数叫做的四阶导数，……一般地，阶导数的导数叫做的阶导数，即，．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的泰勒展开式为．根据以上三段材料，完成下面的题目：（1）求在点处的3阶泰勒展开式；（2）设在点处的3阶泰勒展开式为，试比较与的大小；（3）已知常数，证明：当无限大时，总有．（1）解：∵，，∴，，，∴，，，∴在点处的3阶泰勒展开式为．（2）解：依题意，得．令，则．∵，在上单调递增．又∵，∴在上，，单调递减；在上，，单调递增，∴，即，故（在时取等号）．（3）证明：已知常数，不妨令，则不等式．令，，求导得，当时，；当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减．当时，，，当时，由，得是函数的一个零点，又，而趋近于正无穷大时，趋近于，因此存在大于e的正数，使得，当时，．综上可知，对于，存在正数，使得当时，恒成立，∴对于，存在正数，使得，恒成立．已知常数，不妨令，，不等式．令，则函数在上单调递增，在上单调递减，∴令，，求导得，∴函数在上单调递增，值域为，∴存在，使得，当，即时，，恒成立．当，即时，函数有两个零点，，对于，恒成立．因此对于，存在正数，使得当时，恒成立，∴对于，存在正数，使得，恒成立．取，对于任意，成立，即当足够大时，总有湖南省娄底市涟源市2025届高三下学期冲刺模拟考试(一)数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解不等式，得，则，所以，所以．故选：B．2.已知命题，，则命题的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】命题，是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以的否定为，．故选：C．3.已知函数在上单调递增，则实数取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为在上单调递增，所以只需要解得．故选：D．4.设，则“”是“复数为实数”的（）A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若复数为实数，则，即．又是的真子集，故“”是“复数为实数”的充分不必要条件．故选：C．5.已知双曲线经过点，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵双曲线经过点，∴．解得，又∵，则．∴双曲线的离心率．故选：C．6.一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴．某同学将一个直角三角形硬纸板绕斜边所在的直线进行旋转，得到如图所示的旋转体．测量出为2，上、下旋转面的面积比是，则的长度是（）A. B. C.3 D.【答案】A【解析】设与的交点为，，，则，，．由是直角，得，即，得．①又由上、下旋转面的面积比是，得，即，所以．②①②两式联立，整理得，解得（舍负值），可得，则．故选:A．7.已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】函数，，其图象的对称中心为点，代入直线方程得．则，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9．故选：D8.已知函数，，若关于的方程有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，作出函数的大致图象，如图．令，由图可知，当时，关于的方程有2个不同的实数根；当时，关于的方程无实数根；当或时，关于的方程只有1个实数根．因为关于的方程有3个不同实数根，所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内，或一个根为0，另一个根在内．当为方程的根时，，且方程的另一根为．当时，方程的另一个根为，不符合题意；当时，方程的另一个根为，不符合题意．当为方程的根时，有，则或．当时，方程的另一个根为，不符合题意；当时，方程的另一个根为，不符合题意．所以关于的方程的一个根在内，另一个根在内．令，则Δ>0,h(0)>0,h1<0,即综上所述，实数的取值范围是．故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数，其图象平移后可得到函数的图象的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A，函数的图象向右平移1个单位长度可得到函数的图象，故A正确；对于B，函数的图象向上平移2个单位长度可得到函数的图象，故B正确；对于C，函数的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍可得到函数的图象，故C错误；对于D，函数，其图象向左平移个单位长度可得到函数图象，故D正确．故选：ABD10.一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于15%，且这个比值越大，通风效果越好．（）A.若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为B.若窗户面积和地面面积都增加原来的10%，则教室通风效果不变C.若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好D.若窗户面积第一次增加了m%，第二次增加了,地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差【答案】BC【解析】对于A，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有，解得，所以，这所公寓的窗户面积至少为，故A错误；对于B，记窗户面积为a和地板面积为b，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，所以公寓采光效果不变，故B正确；对于C，记窗户面积为a和地板面积为b，同时增加的面积为c.由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，且，所以，即,所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了，故C正确；对于D，记窗户面积为a和地板面积为b，则窗户增加后的面积为,地板增加后的面积为，由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，因为，又因为，所以，因为，所以,当时，采光效果不变，所以无法判断公寓的采光效果是否变差了，故D错误.故选：BC.11.数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）A.为等差数列 B.可能为常数列C.若为递增数列，则 D.若为递增数列，则【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以当时，；当时，．显然当时，上式也成立，所以．当时，因为，所以是以为公差的等差数列，故A正确；对于B，当时，为常数列，故B正确；对于C，若为递增数列，则，即，故C正确；对于D，若为递增数列，由可得，由，需使，即，因，故可得，解得，故，即D错误．故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若函数的图象上不同两点处的切线重合，则称这条切线为自公切线，请写出一个有自公切线的函数______．【答案】（答案不唯一）【解析】正弦函数的图象是周期为的波浪线.而在处，，，切线方程为，即.在处，，，切线方程为，即.可以看到和这两点处的切线重合，所以有自公切线.故答案为：（答案不唯一）.13.设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是______．【答案】或【解析】因为，即，所以，且，即．由，得，因为向量在上的投影向量为，由题意得，所以．设向量与的夹角为，因为，所以，所以，即与的夹角是．所以与的夹角是或.故答案为：或.14.函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是_____【答案】【解析】因为，所以，令，则，可得为奇函数，又因为，，当且仅当，即时等号成立；，当且仅当，即时等号成立；所以，可得在上为增函数，因为，所以在上恒成立，当时，显然成立；当，需满足，解得，综上，，故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在矩形中，是的中点，连接交于点，将沿直线折起，使点到点的位置，刚好点在平面内的正投影是点．过作线段平行且等于，连接，，，．设，．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：由题意，，又，，∴，∴，∴，∴．又∵平面，平面，∴．∵，，平面，∴平面．又∵平面，∴．（2）解：由（1）可知，，，两两垂直．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．因为，所以，所以，，．设平面的一个法向量为，则即令，则，，所以．设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.16.（1）在学习三角函数时，某校数学学习小组的同学们通过研究得到这样两个公式：①；②．请你在①和②中任选一个进行证明．（如果选择两个分别进行证明，则按第一个证明过程给分）（2）在中，内角，，所对的边分则为，，，且，若的面积为，底边上的高为1，求的周长．（1）若选①，证明如下：．若选②，证明如下：，（2）解：由题意得，由正弦定理得，所以，即，因为在中，，所以．又因为，所以解得．因为面积为，所以，解得．由，解得．由余弦定理得，即，则，即，解得．故的周长为.17.已知椭圆的中心在坐标原点，左焦点为，右焦点为，其四个顶点的连线围成的四边形面积为．过椭圆的左、右焦点作两条平行直线，与在轴上方的部分分别交于点，．（1）当为的上顶点时，求直线的斜率；（2）求四边形的面积的最大值．（1）解：由题意得解得所以椭圆的方程为，椭圆的上顶点坐标为，即．因为直线的斜率为，，所以直线的方程为．将其代入，整理得，解得或，因点在轴上方，所以．所以直线的斜率为．（2）由（1）及题意知，椭圆，，．如图，设过点，的两条平行线分别交椭圆于点，和，，由对称性可知，四边形是平行四边形，且四边形的面积是平行四边形面积的一半．显然这两条平行线的斜率不可能是0（否则不能构成四边形），可设直线的方程为．代入，整理得，显然，设，，则于是．又点到直线的距离，所以四边形的面积．令，则，且，所以．因为函数在上单调递增，所以当时，取得最小值4，此时取得最大值318.“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，已知甲、乙两支足球队常规时间比赛是平局，需要进行点球比赛决定胜负．甲、乙两队每位球员在对方没有守门员守球的情况下将足球踢进对方球门的概率均为，甲、乙两队守门员扑出对方球员点球的概率分别为，．现甲、乙两队进行点球大赛，每次由一方队员踢球，另一方守门员进行守球，轮流进行，两队各有一名球员踢球结束为1轮对抗．经过数轮对抗