2025届辽宁省名校联盟高三下学期5月份联合考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省名校联盟2025届高三下学期5月份联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则（）A.3 B. C.1 D.5【答案】A【解析】由，所以．故选：A．2.已知集合，则的子集个数为（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】根据题意，联立方程组，可得，所以，解得，即集合，所以集合的子集个数为2个．故选：C．3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以，又，所以，则，故．故选:D．4.已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点M在C上，且M在x轴上的射影为F，若，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设M在第一象限，则，则，即，所以．即，所以．则双曲线C的渐近线方程为，故选：B．5.在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，可得，则，所以.解法二：设，则，如图所示，取的中点P，连接，在正方形中，可得，在三角形中，因为是的中点，可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得,在中，由余弦定理得．故选:D．6.已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】由为奇函数，得，所以图象的对称中心为，令由的图象关于直线对称，得，由得，所以，则的一个周期为4，则则．故选：B.7.甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】掷骰子一共4次，基本事件共种情况，其中，得两分平局两人抛出的都是；共有1种；得三分平均两人均有两种情况，两人共种，以此类推，甲、乙平局一共有种情况，其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为．故选：B8.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，所以在上单调递减，又，则，即则，即．设，则在上单调递增，又．所以，即，所以有，则，即，综上，．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（）A.直线与圆C相离 B.的面积为12C.当最小时， D.点P到直线距离的最大值为【答案】AC【解析】由圆，可得圆心为，半径为，对于A中，圆心坐标到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以A正确；对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误；对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确；对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误．故选：AC.10.已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则（）A. B.C.的图象关于直线对称 D.在上单调递增【答案】BC【解析】因为函数，由，得或，所以或，设，则又由有且仅有三个极值点，则，可得，所以，所以A项错误，B项正确；由函数的对称轴方程为，当时，可得是函数的一条对称轴，所以C项正确；令，解得，当时，可得，所以是函数一个增区间，所以D项错误．故选：BC．11.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则的最大值为C.若，则的最小值为1D.若，则的最大值为【答案】BCD【解析】由题意得，A项错误；，所以（当且仅当时取等号），B项正确；，当且仅当时取等号，C项正确；，又因，所以，设，则，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，D项正确．故选:BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知具有线性相关的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，则_______．【答案】9【解析】由，可得，所以回归直线过样本中心点为，将其代入，可得.故答案为：.13.在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为_______．【答案】【解析】由利用正弦定理得，因为，所以，所以，的面积，所以，当且仅当时等号成立，．故答案为：．14.在平面直角坐标系中，设点（其中表示中较大的数）为两点的“切比雪夫距离”．若为函数上的动点，则两点的“切比雪夫距离”的最小值为_______．【答案】【解析】，在同一平面直角坐标系画出函数，的图象，如图所示：令，则，当时，，当时，，当时，，所以的最小值为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项积为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）当时，当时，成立，综上可得．（2）解法一：，，，，．解法二：，设，所以即，所以，所以的前n项和．16.如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，．（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接，因为，所以．因为是的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以，因为，所以．（2）解：因为，所以，所以，又由（1）知，且平面，所以平面，因为为四棱台，底面为正方形，四棱台的上下底面对应边平行且比例相同，所以四边形为正方形，上下面平行所以平面，.因为点是的中点，，所以.所以且，所以四边形为平行四边形所以.又平面，所以平面．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，．设平面的法向量为，则令．设直线与平面所成角为，则，化简得，即，所以．17.某农业兴趣小组为比较长效肥和缓释肥这两种肥料作用，进行了一个季度的对比试验，长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的同一种植物分别对应第组．分别从第组各随机抽取20株并测出株高，得到的60个样本数据分组整理如下表所示：株高（单位：厘米）第1组（长效肥）21062第2组（缓释肥）3881第3组（未施肥）8561（1）从第一组20株植物中随机抽取2株，求至少有一株株高在内的概率；（2）为了进一步研究，从这三组植物中各随机抽取1株，记这3株植物中恰有X株的株高在内，求X的分布列和数学期望（假设植物的生长情况相互独立，用频率估计概率）；（3）已知这三组植物的平均株高分别为，株高的方差分别为，求样本的平均数和方差．解：（1）设事件“从第一组20株植物中随机抽取2株，至少有一株株高在”，则．（2）X的可能取值为，则，，，，的分布列为0123．（3）样本平均数为，所以样本的方差为，又，类似的，，成立，所以.所以样本的平均数为9.3，方差为6.83.18.已知函数．（1）当时，求的零点；（2）若恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：．（1）解：的定义域为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，则的零点为1．（2）解：恒成立，即．设，则，当时，，所以在上单调递减，当时，所以上单调递增，所以，即．则实数的取值范围为（3）证明：由（2）可知，当时，有成立，当且仅当时等号成立，取，则，所以，即．由，即，当且仅当时等号成立，取，得，所以，即．综上，19.已知椭圆分别为椭圆的右顶点和上顶点，过椭圆上的一点M（异于点）且斜率为2的直线与直线交于点，直线与椭圆的另一个交点为N．（1）求椭圆的方程；（2）若M在第一象限，求四边形面积的最大值；（3）证明：直线经过定点．（1）求解：由已知可得，所以椭圆的方程为．（2）解法一：因为，，所以，即，因为，即关于直线对称，所以四边形的面积，即，且为M到直线的距离，因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值．直线的方程为，设，则M到直线的距离为，，因为，所以，所以，所以当时，．解法二：因为，所以，即，因为，即关于直线对称，所以四边形的面积，即，且为M到直线的距离，因为，所以的最大值即为点M到直线的距离的最大值．直线的方程为，若点M到直线的距离最大，即过点M作椭圆C的切线与直线平行时距离最大，设该切线方程为，联立，，因为点M在第一象限内，所以（正值舍去），所以点M到直线的距离的最大值为，，当时，．（3）证明：解法一：设直线的方程为，点关于直线对称，则又，且，所以，，即．联立，所以所以，化简得，即，则或．若，则点M与点A重合，不符合题意（舍）；若，则直线过定点．解法二：因为且，不妨取点M在第一象限，所以为的平分线，所以，设直线的斜率分别为，因为，所以，即，所以，即．经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立．联立整理得，因为且，所以，所以，同理可得，由已知可得直线斜率存在，设直线的方程为，因为在直线上，所以，所以，同理可得，所以是关于k的方程的两个根，则所以，所以，故直线过定点．解法三：因为且，不妨取点M在第一象限，所以为的平分线，所以，设直线的斜率分别为，因为，所以，即，所以，即．①经检验，点M在第二、三、四象限或，上式也成立．设直线的方程为，把椭圆向左平移2个单位长度，得，即，联立，即，即（等式两端同除），所以是方程的两个根，由韦达定理得②把②代入①得，，则，解得此时直线过定点，向右平移2个单位长度，得直线过点．辽宁省名校联盟2025届高三下学期5月份联合考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则（）A.3 B. C.1 D.5【答案】A【解析】由，所以．故选：A．2.已知集合，则的子集个数为（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】根据题意，联立方程组，可得，所以，解得，即集合，所以集合的子集个数为2个．故选：C．3.已知向量满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，所以，又，所以，则，故．故选:D．4.已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为F，点M在C上，且M在x轴上的射影为F，若，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不妨设M在第一象限，则，则，即，所以．即，所以．则双曲线C的渐近线方程为，故选：B．5.在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，可得，则，所以.解法二：设，则，如图所示，取的中点P，连接，在正方形中，可得，在三角形中，因为是的中点，可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得,在中，由余弦定理得．故选:D．6.已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（）A. B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】由为奇函数，得，所以图象的对称中心为，令由的图象关于直线对称，得，由得，所以，则的一个周期为4，则则．故选：B.7.甲、乙两人玩掷骰子游戏，规则如下：每人各掷骰子两次，以两次骰子的点数之和作为投掷者的得分，若得分不同，得分多的一方获胜，若得分相同视为平局，则甲获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】掷骰子一共4次，基本事件共种情况，其中，得两分平局两人抛出的都是；共有1种；得三分平均两人均有两种情况，两人共种，以此类推，甲、乙平局一共有种情况，其余甲、乙获胜机会均等，各575种情况，所以甲获胜的概率为．故选：B8.设，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，所以在上单调递减，又，则，即则，即．设，则在上单调递增，又．所以，即，所以有，则，即，综上，．故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线与x轴、y轴交于两点，点P为圆上的动点，则（）A.直线与圆C相离 B.的面积为12C.当最小时， D.点P到直线距离的最大值为【答案】AC【解析】由圆，可得圆心为，半径为，对于A中，圆心坐标到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以A正确；对于B中，由点C到直线的距离为，则的面积，所以B项错误；对于C中，如图所示，当最小时，直线与圆相切，此时，所以C正确；对于D中，由点P到直线距离的最大值为，所以D错误．故选：AC.10.已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则（）A. B.C.的图象关于直线对称 D.在上单调递增【答案】BC【解析】因为函数，由，得或，所以或，设，则又由有且仅有三个极值点，则，可得，所以，所以A项错误，B项正确；由函数的对称轴方程为，当时，可得是函数的一条对称轴，所以C项正确；令，解得，当时，可得，所以是函数一个增区间，所以D项错误．故选：BC．11.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则的最大值为C.若，则的最小值为1D.若，则的最大值为【答案】BCD【解析】由题意得，A项错误；，所以（当且仅当时取等号），B项正确；，当且仅当时取等号，C项正确；，又因，所以，设，则，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，D项正确．故选:BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知具有线性相关的变量，设其样本点为，经验回归方程为，若，则_______．【答案】9【解析】由，可得，所以回归直线过样本中心点为，将其代入，可得.故答案为：.13.在中，内角所对的边分别为，且，则面积的最大值为_______．【答案】【解析】由利用正弦定理得，因为，所以，所以，的面积，所以，当且仅当时等号成立，．故答案为：．14.在平面直角坐标系中，设点（其中表示中较大的数）为两点的“切比雪夫距离”．若为函数上的动点，则两点的“切比雪夫距离”的最小值为_______．【答案】【解析】，在同一平面直角坐标系画出函数，的图象，如图所示：令，则，当时，，当时，，当时，，所以的最小值为．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前n项积为，且．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．解：（1）当时，当时，成立，综上可得．（2）解法一：，，，，．解法二：，设，所以即，所以，所以的前n项和．16.如图，在四棱台中，底面为正方形，为的中点，．（1）求证：；（2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接，因为，所以．因为是的中点，所以，因为，平面，所以平面，所以，因为，所以．（2）解：因为，所以，所以，又由（1）知，且平面，所以平面，因为为四棱台，底面为正方形，四棱台的上下底面对应边平行且比例相同，所以四边形为正方形，上下面平行所以平面，.因为点是的中点，，所以.所以且，所以四边形为平行四边形所以.又平面，所以平面．以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则，．设平面的法向量为，则令．设直线与平面所成角为，则，化简得，即，所以．17.某农业兴趣小组为比较长效肥和缓释肥这两种肥料作用，进行了一个季度的对比试验，长效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的同一种植物分别对应第组．分别从第组各随机抽取20株并测出株高，得到的60个样本数据分组整理如下表所示：株高（单位：厘米）第1组（长效肥）21062第2组（缓释肥）3881第3组（未施肥）8561（1）从第一组20株植物中随机抽取2株，求至少有一株株高在内的概率；（2）为了进一步研究，从这三组植物中各随机抽取1株，记这3株植物中恰有X株的株高在内，求X的分布列和数学期望（假设植物的生长情况相互独立，用频率估计概率）；（3）已知这三组植物的平均株高分别为，株高的方差分别为，求样本的平均数和方差．解：（1）设事件“从第一组20株植物中随机抽取2株，至少有一株株高在”，则．（2）X的可能取值为，则，，，，的分布列为0123．（3）样本平均数为，所以样本的方差为，又，类似的，，成立，所以.所以样本的平均数为9.3，方差为6.83.18.已知函数．（1）当时，求的零点；（2）若恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：．（1）解：的定义域为，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，，则的零点为1．（2）解：恒成立，即．设，则，当时，，所以在上单调递减，当时，所以上单调递增，所以，即．则实数的取值范围为（3）证明：由（2）可知，当时，有成立，当且仅当时等号成立，取，则，所以，即．由，即，当且仅当时等号成立，取，得，所以，即．综上，19.已知椭圆分别为椭圆的右顶点和上顶点，过椭圆上的一点M（异于点）